Un sottoinsieme è un insieme che ha per elementi alcuni elementi di un insieme dato.
In particolare, spesso si considerano sottoinsiemi che hanno per elementi tutti gli oggetti che soddisfano una certa proprietà. Per esempio - all’interno della classe - si può prendere il sottoinsieme di tutti gli studenti con i capelli biondi, oppure di tutti gli studenti con la maglietta nera, oppure di tutti gli studenti che hanno il nome che finisce con la lettera A.

In figura è mostrato in rosso il sottoinsieme degli studenti con la maglietta viola.

I SOTTOINSIEMI CON LE TAVOLE DI ZERMELO

Come visto nell'esempio precedente, spesso i sottoinsiemi sono indicati tracciando una linea chiusa attorno agli elementi che appartengono al sottoinsieme. Un metodo alternativo  - che useremo in questa attività con le tavole di Zermelo - consiste nel tracciare una linea chiusa per ogni elemento che appartiene al sottoinsieme, come mostrato nella figura a destra nell'immagine seguente.

Quando si sceglie quest'ultima notazione è fondamentale usare sempre lo stesso colore, in modo che ad ogni colore sia associato un sottoinsieme (in figura il colore rosso è associato alla proprietà "avere la maglietta viola").

Una volta scelta una tavola di Zermelo ed enunciata una proprietà, si chiede ad uno studente di fare un cerchio intorno a quegli elementi della tavola che rispettino la proprietà data.

È più facile svolgere l’attività sulla L.I.M., anche se usando tavole di Zermelo plastificate si può svolgere l'attività con un pennarlo o un marker che si cancelli facilmente.

La prima cosa da notare è che se un elemento è cerchiato allora rispetta la proprietà enunciata dall'insegnante, se non è cerchiato non rispetta la proprietà. In figura, ad esempio, i pesci non cerchiati sono quelli non arancioni. Abbiamo quindi individuato il sottoinsieme dei pesci arancioni.

Si può procedere scegliendo un’altra proprietà, sempre sulla stessa tavola, cambiando però il colore con cui fare i cerchi.

Abbiamo ora quindi individuato anche il sottoinsieme dei pesci che guardano verso destra, cerchiandoli in verde.

Con riferimento alla figura, notiamo che per ogni pesce si verifica una di queste tre situazioni:

1. Il pesce non è cerchiato né in rosso né in verde. Il pesce non gode di nessuna delle due proprietà: è un pesce non arancione che guarda verso sinistra.
2. Il pesce è cerchiato una sola volta. Il pesce gode di una delle due proprietà: o è un pesce non arancione che guarda verso destra oppure è un pesce arancione che guarda verso sinistra.
3. Il pesce è cerchiato due volte. Il pesce gode di tutte e due le proprietà: il pesce è un pesce arancione e guarda verso destra.

Facciamo ora riferimento ai concetti visti nell'attività Unione e intersezione.
A partire dai due sottoinsiemi citati (quello dei pesci arancioni e quello dei pesci che guardano verso destra) abbiamo quindi:

• nel caso 1, il pesce non appartiene all'unione dei due sottoinsiemi
• nel caso 2, il pesce appartiene all'unione dei due sottoinsiemi ma non all'intersezione
• nel caso 3, il pesce appartiene all'intersezione dei due sottoinsiemi

Quindi l'unione è formata da tutti i pesci che hanno almeno un cerchio, mentre l'intersezione dai pesci che hanno due cerchi.

Facciamo ora un altro esempio, considerando una tavola con delle persone.

Con riferimento alla figura, notiamo che per ogni persona si verifica una di queste tre situazioni:

1. La persona non è cerchiata né in rosso né in blu. La persona non gode di nessuna delle due proprietà: è una persona senza valigia in mano e senza cravatta rossa. Questa circostanza non si presenta per nessuna persona della tavola.
2. La persona è cerchiata una sola volta. La persona gode di una delle due proprietà: o è una persona con la valigia in mano ma senza cravatta rossa oppure è una persona con la cravatta rossa ma senza valigia in mano.
3. La persona è cerchiata due volte. La persona gode di tutte e due le proprietà: ha la cravatta rossa e la valigia in mano.

Notiamo infine che, in quest'ultimo esempio della tavola con le persone, l'unione dei due sottoinsiemi (quello delle persone con la cravatta rossa e quello delle persone con la valigia in mano) è tutto l'insieme, cioè corrisponde all'intera tavola.

In un secondo momento, si possono prendere in considerazione proprietà negative. Per esempio, si chiede "cerchia tutti coloro che non hanno la maglietta rossa", oppure "cerchia tutti i numeri non divisibili per 5".