IL GIOCO DEL REVERSI

Il Reversi (anche noto come Othello) è un gioco da tavolo fra due giocatori. Ogni giocatore ha a disposizione 18 pedine, da un lato nere e dall'altro bianche. Si gioca su una plancia come quella in figura, dove compaiono 36 punti, disposti a forma di quadrato. Le pedine vengono disposte sui punti.

A ciascun giocatore è assegnato un colore, bianco o nero: il giocatore bianco dispone le pedine in modo che mostrino la faccia bianca mentre il nero viceversa. All'inizio della partita si dispongono quattro pedine come in figura.

Comincia il giocatore nero e, ad ogni mossa, ciascun giocatore dispone una pedina sulla plancia in modo da "imprigionare" almeno una pedina dell'avversario fra la nuova pedina disposta e un'altra pedina del proprio colore già sulla plancia. Le pedine possono essere imprigionate sia in orizzontale, sia in verticale, sia in diagonale. Tutte le pedine imprigionate vengono rovesciate diventando del colore di chi ha catturato le pedine. È importante notare che una stessa mossa può imprigionare più pedine avversarie, anche in direzioni diverse; in ogni caso, una mossa è lecita se imprigiona almeno una pedina avversaria. Nell'esempio in figura, il bianco mette una pedina alla destra di una pedina nera, imprigionandone due. Le pedine così imprigionate vengono conquistate.

La partita termina in due situazioni differenti: quando la plancia è stata completamente coperta da pedine o quando il giocatore di turno non ha mosse lecite (cioè non può catturare, con nessuna mossa, nemmeno una pedina avversaria). Quando la partita termina si contano le pedine di ogni colore: chi ha più pedine vince la partita. Nelle figure seguenti mostriamo un esempio di inizio partita.

Si noti che, all'ultima mossa, il nero imprigiona due pedine bianche lungo due direzioni differenti.

Sottolineiamo che ci sono diverse varianti del gioco che differiscono da quella qui esposta. In particolare si usa in genere una scacchiera 8x8.

INTRODURRE IL REVERSI IN CLASSE

Si stampano le plance presenti nella sezione ALLEGATI (in ogni file plancia.pdf sono presenti due plance da ritagliare) e si preparano le pedine: nella sezione ALLEGATI sono presenti due pdf pedine, entrambi pronti per essere stampati fronte-retro, uno con pedine circolari e un altro, probabilmente più facile da ritagliare, con pedine ottagonali. Probabilmente conviene stampare le pedine su cartoncino in modo da renderle più resistenti. Ogni studente ha a disposizione 18 pedine, da un lato nere e dall'altro bianche.

Si dividono gli studenti in coppie e si consegna la plancia chiedendo di descriverla. Dopo una breve discussione si consegnano le pedine e si propone un gioco preliminare. I giocatori, bianco e nero, dispongono a turno pedine del proprio colore sulla plancia: l'unica regola è che una pedina (tranne chiaramente la prima) può essere disposta sulla plancia solo se è vicina ad una pedina dell'altro colore.

Per vicina intendiamo - come mostrato in figura - sia orizzontalmente, sia verticalmente, sia in diagonale. Il punto segnato in rosso in figura ha 8 vicini, segnati in verde. Se un punto è sul bordo della figura ha 5 vicini e, nel caso in cui sia un angolo, ne ha 3.

Questo gioco preliminare non ha un obiettivo se non quello di cercare di creare, insieme con l'altro giocatore, una configurazione di pedine gradevole, per esempio simmetrica.
Si procede dunque spiegando le regole del Reversi. Suggeriamo un possibile percorso per introdurre il gioco:

1. Ad ogni turno ogni giocatore mette una pedina del proprio colore. Questa nuova pedina deve imprigionare delle pedine avversarie.
2. Imprigionare una o più pedine avversarie vuol dire che queste sono comprese fra due pedine del proprio colore, in orizzontale, verticale o diagonale senza lasciare spazi vuoti in mezzo.
3. Le pedine imprigionate dalla nuova pedina inserita ad ogni turno vengono conquistate e vengono girate cambiando colore. Da qui il nome Reversi (to reverse in inglese vuol dire invertire).
4. Ad ogni turno è obbligatorio imprigionare, e quindi conquistare, almeno una pedina dell'avversario.
5. Il gioco termina quando non è più possibile fare una mossa, perché non si possono imprigionare pedine dell'avversario o perché non ci sono più posti liberi per inserire nuove pedine.
6. Vince chi ha più pedine del proprio colore. Nel caso le pedine bianche siano tante quante le pedine nere la partita finisce in parità, è cioè patta.

Nella sezione ALLEGATI si trova il file regole_reversi.pdf pronto per essere stampato e consegnato alla classe come ripasso delle regole.

Si consiglia, di tanto in tanto, di cambiare le coppie in modo tale che ogni studente abbia opportunità di sfidare più avversari. Giocare a Reversi, indipendentemente dal percorso di Dekart, può diventare un'abitudine per la classe.

I PUNTI NEL PIANO CARTESIANO

Tutta la classe dispone le plance in modo che la scritta "DEKART - www.oiler.education" sia in basso. Si chiama uno studente e si chiede di mettere una pedina a suo piacimento sulla plancia vuota. Lo studente descrive quindi alla classe dove ha posto la pedina, in modo che tutti possano collocarla come lui. L'unico vincolo è che lo studente non può mostrare la propria disposizione ma è costretto a descriverla a parole. Ripetendo l'esperienza più volte, si stabilisce che il vertice in basso a sinistra del quadrato verrà chiamato origine e a partire da quel punto si conteranno i passi a destra e in alto necessari per arrivare al punto scelto. Ad esempio, per arrivare al punto rosso mostrato in figura, bisognare fare 3 passi a destra e 4 in alto. Per arrivare al punto blu, 5 passi a destra e nessuno (cioè 0) in alto.

È quindi spontaneo introdurre una scrittura sintentica con numeri per indicare i punti, nel seguente modo: "(passi a destra, passi in alto)". Fornire la scrittura appena indicata per descrivere un punto equivale a fornire le coordinate del punto. Sottolineiamo che, a volte, si usa il punto e virgola per separare i due numeri, ottenendo scritture del tipo (4; 6). La scrittura è meno diffusa, ma può evitare le confusione con i numeri decimali: (4, 6) è il punto di coordiante 4 e 6 e non ha niente a che vedere con il numero decimale 4,6.

DALLE COORDINATE AL PUNTO: DEKART GAME

Con l'ausilio della L.I.M. o nel laboratorio di informatica, si gioca a DEKART GAME (disponibile su www.oiler.education/dekart, dove si trovano anche le istruzioni del gioco), selezionando esclusivamente la modalità PUNTO. Lo scopo del gioco è individure più punti possibile in un tempo fissato. In figura mostriamo l'esempio dove viene chiesto all'utente di trovare il punto (5, 10).

DAI PUNTI ALLE COORDINATE: LA LEGGE DEI PUNTI

Se da un lato è importante - note le coordinate - saper individure un punto nel piano, è altrettanto importante il procedimento inverso: dato un punto scrivere le sue coordinate. Osserviamo la figura seguente, dove sono evidenziati in arancione alcuni punti.

I punti in arancione sono (1, 1), (3, 3), (6, 6), (7, 7). Come si nota, i punti rispettano tutti una semplice legge, le due coordinate sono uguali fra loro. Questi non sono chiaramente gli unici punti a rispettare la legge indicata: anche altri, come (0, 0) o (2, 2), la rispettano.
Le tredici schede di esercizi che si trovano nella sezione ALLEGATI (esercizio_legge.pdf) propongono situazioni analoghe: dapprima si dovranno scrivere le coordinate dei punti evidenziati, quindi cercare una legge che le descriva, infine segnare tutti i punti del piano che rispettano la legge fornita. Si suggerisce di far svolgere il lavoro in coppia o in piccoli gruppi. Fra gli ALLEGATI si trova inoltre esercizio_legge_libero.odt con cui l'insegnate può creare esercizi personalizzati. Trovare la legge che descrive i punti non è sempre semplice, è importante quindi lasciare il tempo agli studenti per formulare varie ipotesi e verificarle, per poi eventualmente modificarle.

Una legge, o una regola, è un qualcosa che vale per tutti punti di un insieme, cioè che non cambia al variare del punto: siamo quindi in presenza di una costante. Il discorso è profondamente legato a quanto si trova in Tales (disponibile su oiler.education/scuola/materiali/primaria/tales), specialmente nelle sezioni Parallele e differenza costante, Somma costante, Ellisse e prodotto costante.

SOLUZIONE esercizio_legge

Alcuni fra gli esercizi proposti non sono semplici, consigliamo quindi di lasciare alla classe il tempo necessario per ragionarci e formulare le proprie congetture - dividendo all'occasione gli studenti in piccoli gruppi di lavoro. Un aspetto importante è che la stessa legge può essere descritta da più frasi equivalenti: dire, ad esempio, "la prima coordinata è uguale alla seconda" equivale a dire "la differenza fra le due coordinate è 0". È inoltre importante sottolineare che la legge che descrive un certo insieme di punti non è necessariamente unica: per esempio, l'insieme dei punti (0, 0) e (1, 1) può essere descritto sia dalla legge "la seconda coordinata è uguale alla prima" sia dalla legge "la seconda coordinata è uguale al quadrato della prima". Nel primo caso seguono la legge anche i punti (2, 2), (3, 3), etc. mentre nel secondo i punti (2, 4), (3, 9), (4, 16), etc. Tuttavia, negli esercizi proposti la legge è ragionevolmente unica.

1) La legge è: le due coordinate sono uguali fra loro. Rispettano quindi la legge i punti (0, 0), (1, 1), (2, 2), etc.
2) La legge è: la prima coordinata è uguale alla seconda coordinata più 1 o, equivalentemente, la differenza fra la prima e la seconda coordinata è 1. Rispettano quindi la legge i punti (1, 0), (2, 1), (3, 2), etc.
3) La legge è: la prima coordinata è uguale alla seconda coordinata più 2. Rispettano quindi la legge i punti (2, 0), (3, 1), (4, 2), etc.
4) La legge è: la somma delle due coordinate è uguale a 10.
5) La legge è: la seconda coordinata è il doppo della prima. Rispettano quindi la legge i punti (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), etc.
6) La legge è: la somma delle due coordinate è uguale a 8.
7) La legge è: la seconda coordinata è il triplo della prima. Rispettano quindi la legge i punti (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9).
8) La legge è: la seconda coordinata è sempre 3.
9) La legge è: la prima coordinata è sempre 2.
10) La legge è: la seconda coordinata è il quadrato della prima. Rispettano quindi la legge i punti (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9). In questo esercizio, la linea che congiunge i punti non è una linea retta: la linea andrà dunque tracciata a mano.
11) La legge è: il prodotto della prima coordinata per la seconda coordinata è 8. In questo esercizio, la linea che congiunge i punti non è una linea retta: la linea andrà dunque tracciata a mano.
12) La legge è: la seconda coordianta è uguale al doppio della prima meno 1.
13) La legge è: la prima coordinata più il doppio della seconda è uguale a 13.

APPROFONDIMENTO: SCRIVERE UNA LEGGE IN LINGUAGGIO MATEMATICO

Nello scrivere le leggi relative agli esercizi proposti (esercizi_legge.pdf) si cercherà di condurre gradualmente la classe verso una scrittura più formale. In particolare, si porrà l'attenzione sulle coordinate e sulla relazione che intercorre fra queste. Per esempio, nel caso mostrato in figura, si useranno espressioni del tipo "la prima coordinata è uguale alla seconda" oppure "la differenza fra le due coordinate è 0".

Successivamente, si può dire che la prima coordinata - che esprime il numero di passi da fare a destra muovendosi dall'origine - può essere indicata semplicemente con la lettera D. Analogamente, la seconda coordinata può essere indicata con la lettera A (da Alto o Altezza). Le coordinate di un punto sono quindi del tipo (D, A). Seguendo questa notazione, la scrittura "la prima coordinata è uguale alla seconda" diventa "D è uguale ad A" o, più semplicemente, "D = A". La frase "la differenza fra le due coordinate è 0" diventa invece "D – A = 0" oppure "A – D = 0".

Si possono quindi riproporre gli esercizi visti nella sezione LA LEGGE DEI PUNTI sostituendo alla descrizione a parole un'espressione matematica. In particolare, si avrà:
1) La legge è: A = D.
2) La legge è: D – A = 1, equivalentemente D = A + 1.
3) La legge è: D – A = 2, equivalentemente D = A + 2.
4) La legge è: D + A = 10.
5) La legge è: A = D + D, equivalentemente A = 2 × D.
6) La legge è: D + A = 8.
7) La legge è: A = D + D + D, equivalentemente A = 3 × D.
8) La legge è: A = 3, come si nota, nell'espressione non compare la D.
9) La legge è: D = 2, come si nota, nell'espressione non compare la A.
10) La legge è: A = D × D.
11) La legge è: A × D = 8.
12) La legge è: A = 2 × D – 1
13) La legge è: D + 2 × A = 13

Chiamare la prima coordinata D e la seconda A non è una notazione diffusa in matematica, anche se probabilmente da questa conviene partire. Solitamente la D è chiamata x mentre la A è chiamata h (dall'inglese height, cioè altezza) oppure, più comunemente, y. Se si sceglie, in un secondo momento, di usare quest'ultima notazione, consigliamo di svolgere prima l'attivita Le variabili. Concludiamo ricordando che la prima coordinata (la x) è usualmente chiamata ascissa del punto mentre la seconda (la y) ordinata del punto. La parola "ascissa" deriva dal latino "ab-scissa" cioè "tagliata via".