LA QUADRANZA E LA CIRCONFERENZA

Facendo riferimento a quanto visto in Il quadrato e il teorema di Pitagora, si introduce adesso il concetto di quadranza: la quadranza di un segmento è l'area del quadrato costruito sul segmento stesso. Il termine quadranza è la traduzione diretta del termine inglese quadrance: poiché la parola non sarà usata nei successivi livelli scolastici, l'insegnante può scegliere con la classe il termine che preferisce. Prima di cominciare l'attività, si consiglia di giocare a Dekart Game con la modalità QUADRATO e la modalità AREA per ripassare la costruzione di una quadrato dato un lato e i vari metodi per il calcolo dell'area del quadrato, ponendo particolare enfasi sul teorema di Pitagora.

Si consegna ad ogni studente la scheda quadranza_25.pdf dove viene chiesto di trovare tutti i punti a quadranza 25 rispetto al punto P segnato. Un punto viene detto a quadranza 25 da P se il segmento che collega il punto a P ha quadranza 25. Per esempio, facendo riferimento alla figura seguente, il punto verde è a quadranza 25 da P perché il quadrato grigio ha area 25.

L'attività - che può essere chiaramente svolta anche a coppie - è impegnativa e si inviterà la classe a procedere per tentativi: si sceglie un punto qualsiasi e si calcola la quadranza da P: se la quadranza è maggiore di 25 per il prossimo tentativo ci si avvicinerà a P, se invece la quadranza è minore di 25 per il prossimo tentativo ci si allontanerà da P. La ricerca dei punti va effettuata in tutte le possibili direzioni.
I punti che rispondono a questo requisito sono in tutto 12, mostrati in rosso nella figura sotto. Come già detto, non è facile trovarli tutti e si lascerà alla classe il tempo di esplorare la situazione, fornendo opportuni suggerimenti.

Una volta individuati i punti, si chiede di descrivere la configurazione ottenuta e trovare la curva più regolare che passi per questi punti. Non è difficile accorgersi che questa curva è una circonferenza. Per tracciare la circonferenza si usa il compasso puntandolo nel punto P.

Si consiglia di ripetere l'attività con quadranza 10, usando la scheda quadranza_10.pdf.

DISEGNO LIBERO CON RIGA E COMPASSO

Si ragiona ora insieme alla classe sullo strumento compasso. Da quali parti è composto? A cosa serve? Qual è la differenza fra le due punte?
Si noterà che, nel percorso di Tales - se è stato affrontato - e nel percorso di Dekart fino a questo momento, è stata usata solamente la riga, uno strumento che permette di tracciare linee rette. Da adesso in poi potremo usare anche il compasso.

USANDO SOLO I PUNTI DATI

Come per la riga, per tracciare una circonferenza con il compasso occorre rispettare alcune semplici condizioni: la punta non scrivente deve essere fissata su un punto della tavola di Dekart (disponibile nella sezione ALLEGATI) e l'apertura deve portare la punta scrivente su un altro punto della tavola. Ad esempio, il cerchio verde in figura è un cerchio lecito, mentre quello rosso no, perché - pur essendo centrato in un punto della tavola - la punta scrivente non incontra nessun punto della tavola.

Si lasciano gli studenti liberi di fare un disegno su una tavola di Dekart usando esclusivamente riga (possibilmente non graduata) e compasso, evitando quindi qualsiasi disegno eseguito a mano libera o con qualsiasi altro strumento. L'unica regola, come già detto, è che ogni retta tracciata deve passare per due punti della tavola e ogni circonferenza deve avere centro in un punto della tavola e passare per un altro punto della tavola. In figura è presente un esempio di configurazione che può essere ottenuta.

Gli studenti saranno poi liberi di colorare le parti di piano ottenute.

USANDO ANCHE I PUNTI COSTRUITI

In un secondo momento si possono arricchire le costruzioni aggiungendo una nuova regola: i punti che è lecito usare per tracciare una retta o una circonferenza non sono solo quelli forniti inizialmente ma anche quelli che vengono via via individuati con costruzioni. In particolare, si possono usare i punti ottenuti come: intersezione di due rette, intersezione di una retta con una circonferenza, intersezione di due circonferenze.
Come esempio - facendo riferimento alla figura seguente - i due punti rossi non sono inizialmente presenti sulla tavola di Dekart, ma sono stati ottenuti come intersezione di due circonferenze. I punti rossi possono ora essere usati come un qualsiasi altro punto della tavola di Dekart: ad esempio, in figura, uno dei due è stato usato per costruire un segmento.

Consigliamo, per fornire suggestioni alla classe, di guardare video relativi a costruzioni con riga e compasso. Suggeriamo, ad esempio, i video di Zak Korvin.