Il Monte Nim è una montagna misteriosa situata nel cuore del paese di Leva Leva.

IL GIOCO DEL NIM

Il Nim è un antico gioco da tavolo fra due giocatori che si ritiene abbia avuto origine in Cina, anche se le sue radici precise sono difficili da determinare. Dopo aver letto alla classe "Parte 10: il monte Nim" si lasciano gli studenti liberi di sperimentare - a coppie - il gioco.

REGOLE DEL NIM:

1. Si dispongono quattro file di oggetti (ad esempio strisce di carta, bastoncini, stuzzicadenti o monete) in modo che la prima fila contenga un oggetto, la seconda tre oggetti, la terza cinque oggetti e la quarta sette oggetti, come mostrato in figura.
   
2. I due giocatori si alternano nel rimuovere un qualsiasi numero di oggetti da una singola fila alla volta. Non è possibile rimuovere oggetti da più file contemporaneamente.
   Ad esempio, le prime due mosse in figura sono lecite mentre l'ultima no, perché vengono presi bastoncini da più file.
   
    
3. Il giocatore che rimuove l'ultimo oggetto perde la partita. L'obiettivo è quindi costringere l'avversario a rimuovere l'ultimo oggetto rimasto sul tavolo.

Notiamo che la condizione di vittoria è opposta a quella di Leva 5: chi rimuove l'ultimo oggetto perde, non vince.

VARIARE IL GIOCO

Dopo che la classe ha raggiunto una certa confidenza con il gioco, si possono - come usuale nel nostro percorso - proporre o far proporre modifiche alle regole.
Una tipica variazione è il Nim a perdere, dove chi rimuove l'ultimo oggetto vince la partita. Altre variazioni riguardano la disposizione iniziale dei bastoncini: si può cambiare il numero di righe e il numero di bastoncini per fila. Quest'ultima variazione è utile per la successiva attività.

UNA STRATEGIA VINCENTE

Il gioco del Nim non è di facile analisi, ed stato studiato in Occidente nel XIX secolo e risolto dal matematico Charles L. Bouton nel 1901. Nel corso degli anni, il Nim è stato studiato in teoria dei giochi e in matematica combinatoria, diventando un punto di riferimento per altri giochi e successive osservazioni matematiche.

Senza voler affrontare una trattazione generale del Nim, si cercherà di far analizzare alla classe alcune disposizione particolari. Per ogni disposizione si lascerà la classe libera di esaminarla e di cercare una strategia vincente per il primo o secondo giocatore, per poi discuterla insieme.

Supponiamo - in primo luogo - di avere un unico oggetto. Chi comincia perde la partita, perché è costretto a prendere quell'oggetto e a liberare quindi il tavolo. Supponiamo invece di avere un'unica fila con più di un oggetto. A questo punto, per vincere, basta che il primo giocatore levi tutti gli oggetti salvo uno.
Immaginiamo ora una configurazione con due file, ognuna composta da un oggetto: il primo giocatore prenderà uno dei due oggetti (è l'unica mossa che può fare) e il secondo giocatore sarà costretto a prendere l'altro, perdendo quindi la partita. Si possono anche considerare disposizioni di tre o quattro file, ognuna con un singolo oggetto. In generale - con un unico oggetto per ogni fila - se il numero di file è pari vince il primo giocatore, se è dispari il secondo. Chiaramente il gioco è poco interessante perché tutte le mosse sono obbligate.
Si consideri ora 1 oggetto nella prima fila e 3 nella seconda. Quale giocatore vince? Il primo giocatore può vincere prenendo tutti e tre gli oggetti dalla seconda fila, lasciando un unico oggetto al secondo giocatore. In generale, qualsiasi sia il numero di oggetti della seconda fila, il primo giocatore riesce sempre a vincere prendendoli tutti.

Consideriamo ora due file uguali, composte da un numero qualsiasi di oggetti, come mostrato in figura.

In questo caso il secondo giocatore (blu nella figura seguente) può vincere sempre, facendo sì che il primo giocatore (rosso nella figura seguente) prenda l'ultimo bastoncino.

Vediamo i tre casi che possono presentarsi dopo la mossa del rosso:

1. il primo giocaotre (rosso) prende tutti gli oggetti di una delle due file; il secondo (blu) prende allora tutti gli oggetti tranne uno dall'altra e vince la partita costringendo il rosso a prendere l'ultimo
2. il primo giocatore (rosso) prende tutti gli oggetti tranne uno da una delle due file; il secondo (blu) prende allora tutti gli oggetti dell'altra fila e vince la partita costringendo il rosso a prendere l'ultimo
3. il primo giocatore prende da una delle due file un certo numero di oggetti, ma non tutti (come nel caso 1) e nemmeno tutti tranne uno (come nel caso 2). Il secondo giocatore copia la mossa lasciando al primo giocatore un'altra disposizione con due file uguali, ma più corte di quelle iniziali. A questo punto, dopo la mossa del rosso, si ripresenterà uno dei tre casi elencati

Si generalizza ora considerando due coppie di file uguali, per esempio la disposizione 3 3 5 5. Anche in questo caso il secondo giocatore può vincere sempre: basta copiare le mosse del primo giocatore fino a quando non rimangono due file uguali, a questo punto ci si riconduce alla strategia vista sopra.

Altre configurazioni che consigliamo di analizzare con la classe sono 1 2 3, 1 3 4 e 1 3 5. Ogni volta si cercherà di ricondursi a situazioni note.