Si presenta alla classe il paese di Robinson, un luogo fantastico dove abitano creature particolari: i mostri mangiatori di numeri. Questi esseri hanno una caratteristica strana: quando si cibano di un numero, subiscono una trasformazione e diventano essi stessi un numero. Una possibile trasformazione è rappresentata nella seguente figura: il mostro, dopo aver mangiato il numero 4, si trasforma nel numero 9.

I mostri sono suddivisi in varie tribù e, dopo aver mangiato un numero, si trasformano seguendo la legge (o regola) di trasformazione della propria tribù.
Lo scopo centrale dell'attività è capire quale legge segua ciascuna delle tribù. Per esempio, un mostro dopo aver mangiato un numero potrebbe trasformarsi nel suo successivo, un altro (di un'altra tribù) nel suo doppio.
L'insegnante presenterà quindi una tribù alla volta fra quelle illustrate nel seguito: gli studenti hanno il compito di "nutrire" il mostro con dei numeri a piacere e l'insegnante dirà - di volta in volta - in quale numero si è trasformato il mostro. La classe dovrà cercare la regola matematica che governa la trasformazione del mostro, basandosi sui tentativi numerici fatti e sulle risposte numeriche ricevute dall'insegnante. Nella sezione ALLEGATI si trova il file tribu_mostri.pdf con le immagini da proiettare alla L.I.M.

La prima tribù che si presenterà alla classe è la tribù degli xen. Gli xen, dopo aver mangiato un numero, si trasformano nel numero successivo al numero mangiato. Per esempio, se la classe dirà 8, l'insegnante risponderà 9 e se la classe dirà 21 l'insegnante risponderà 22. Dopo che la classe avrà individuato la regola della tribù xen, si può condividere che la parola "xen" deriva in effetti dall'inglese "next", cioè successivo.

Si presenta poi la tribù degli id. Gli id, dopo aver mangiato un numero, si trasformano nello stesso numero che hanno mangiato. La parola "id" deriva da "identità".

Si presenta quindi la tribù dei dob. I dob, dopo aver mangiato un numero, si trasformano nel doppio del numero che hanno mangiato. Se la classe dirà 9 l'insegnante risponderà 18, se la classe dirà 0 l'insegnante risponderà 0. La parola "dob" deriva dall'inglese "double".

Si presenta successivamente la tribù dei noli. I noli, dopo aver mangiato un numero, si trasformano nel triplo più uno del numero che hanno mangiato. Se la classe dirà 3 l'insegnante risponderà 10, se la classe dirà 6 l'insegnante risponderà 19.

Si presenta quindi la tribù dei not. I not, a prescindere dal numero mangiato, si trasformano sempre in 0.

Si presenta poi la tribù dei qadda. I qadda, dopo aver mangiato un numero, si trasformano nel quadrato del numero mangiato. Se la classe dirà 9 l'insegnante risponderà 81, se la classe dirà 0 l'insegnante risponderà 0. La parola "qadda" deriva da "quadrato".

Chiaramente, in seguito, l'insegnante e gli studenti potranno creare mostri a propria scelta con leggi di trasformazione a piacere da far indagare e scoprire alla classe.

UN LINGUAGGIO MATEMATICO PER ESPRIMERE LE LEGGI DI TRASFORMAZIONE

Dopo aver individuato correttamente la legge che governa la trasformazione di una certa tribù, prima di procedere alla tribù successiva, consigliamo di discutere con la classe come indicare la legge in linguaggio matematico.
Prendiamo ad esempio la tribù degli xen. Si pone alla classe la seguente domanda: come fare per indicare che uno xen ha mangaito il numero 5 e si è trasformato in 6? Si raccolgono e si indagano le varie proposte di scrittura fornite dalla classe. Un'idea sicuramente valida, che è quella classica della matematica e che non si mancherà di condividere con la classe, è indicare l'avvenimento con la seguente scrittura: xen(5) = 6. Effettivamente la scrittura ha senso: il numero fra parantesi è il numero mangiato (le parentesi ricordano una bocca) e dopo che xen ha mangiato 5, cioè xen(5), questo diventa 6. Appunto xen(5) = 6.

Una volta discusso adeguatamente il linguaggio trattando altri esempi, si può chiedere alla classe di esprimere - in linguaggio matematico - la legge generica che governa la trasfromazione di una tribù data. In altre parole, ad esempio, se un noli mangia un numero n, in che numero si trasforma? La scrittura che si sta cercando è noli(n) = 3 × n + 1, cioè se un noli mangia un qualsiasi numero n, si trasformerà nel successivo del triplo del numero.

Riportiamo di seguito la legge che governa la trasformazione di ciascuna tribù:

• xen(n) = n + 1
• id(n) = n
• dob(n) = 2 × n
• noli(n) = 3 × n + 1
• not(n) = 0
• qadda(n) = n × n

CHE NUMERO HA MANGIATO IL MOSTRO?

Successivamente si può porre alla classe il quesito inverso, ad esempio: se un qadda si è trasformato in 36, che numero ha mangiato?
È molto importante, in questa fase, soffermarsi su due aspetti chiave: in alcuni casi non si può determinare il numero mangiato con sicurezza perché ci sono più possibilità, in altri non c'è risposta perché è impossibile che un mostro si sia trasformato in un certo numero.
Per capire meglio il discorso, consideriamo i seguenti esempi: sapere che un mostro not si è trasformato in 0 dopo aver mangiato un numero, non ci dà alcuna informazione sul numero mangiato. D'altro canto è impossibile che un mostro not si trasformi in 4 o in un qualsiasi altro numero che non sia 0. Un mostro qadda non può trasformarsi in 5, perché 5 non è un quadrato, così come un mostro xen non può trasformarsi in 0, poiché 0 non è il successivo di alcun numero naturale. Allo stesso modo, i mostri dob non potranno mai trasformarsi in un numero dispari.

Questa attività è intimamente legata con la precedente attività Il numero segreto. Difatti, risalire dal numero in cui si è trasformato il mostro al numero che ha mangiato corrisponde a risolvere un'equazione. Chiedersi, ad esempio, quale numero n ha mangiato un noli se si è trasformato in 31 equivale a risolvere l'equazione 3 × n + 1 = 31. Se l'equazione non ammette soluzioni vuol dire che è impossibile che il mostro considerato si sia trasformato in quel numero.

UNA CATENA DI MOSTRI

Un'idea più complessa è quella di pensare a due mostri che operano successivamente su un numero. Per esempio, facendo riferimento alla figura seguente, immaginiamo che uno xen mangi il numero 9 e che - dopo la sua trasformazione - sia mangiato da un qadda.

Lo xen mangia il numero 9 e si trasforma in 10, successivamente il qadda mangia il numero 10 e si trasforma in 100.

Senza prima discutere del fenomeno con la classe, si stampa e si consegna alla classe il file esercizi_mostri.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI. Sulla prima pagina, gli esercizi fungono solo da ripasso a quanto visto. La seconda pagina presenta invece situazioni non note agli studenti: sarà importante incoraggiarli a provare a rispondere, guidandoli - se necessario - verso la risposta esatta. Si proporranno poi altri esercizi simili, non mancando di notare che questa "operazione di mangiare" non è commutativa: se ad esempio uno xen mangia un qadda che ha mangiato 9 si ottiene 82, mentre se un qadda mangia uno xen che ha mangiato 9, si ottiene 100.

Si consegna quindi alla classe il problema problemi_mostri.pdf, disponibile da stampare nella sezione ALLEGATI. Si lascierà la classe - divisa a coppie o in piccoli gruppi - libera di risolvere il problema, invitandola a usare un formalismo matematico nel presentare la risposta.