COS'E UN ANGOLO?

«Un angolo è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano, le quali si incontrano tra loro e non giacciano in linea retta» Euclide

Il concetto di angolo è di fondamentale importantanza in matematica, e nel tempo sono state fornite varie definizioni.
La definizione in apertura, data da Euclide negli Elementi (300 a.C. circa), presenta alcune particolarità a cui oggi non siamo abituati: anzitutto si accettano angoli formati da linee qualsiasi e non per forza rette, come quello mostrato in figura.

Euclide chiama poi, in particolare, rettilinei gli angoli a cui ci riferiamo oggi, formati da linee rette. In secondo luogo, è interessante notare che l'angolo piatto non viene considerato un angolo, nella frase "non giacciono in linea retta".

Un'altra definizione storicamente rilevante è quella di D. Hilbert, dove l'angolo è definito semplicemente come una coppia di semirette con l'origine in comune. Nella definizione data da Hilbert, potrebbe esserci una certa ambiguità sul quale dei due angoli scegliere, se convesso (verde in figura) o concavo (blu in figura). Hilbert, nella sua definizione, si riferisce sempre a quello convesso.

Altre definizioni frequenti in ambiente scolastico sono:

1. la rotazione di una semiretta attorno alla sua origine;
2. unione e intersezione di semipiani delimitati da rette non parallele;
3. ciascuna delle due parti di piano comprese fra due semirette con origine in comune.

Il nostro consiglio è di tornare sul concetto di angolo di tanto in tanto, arricchendo ogni volta la trattazione discutendo una definizione fra le definizioni presentate, adeguata al livello della classe. È infatti difficile, in un ambiente didattico, gestire queste definizioni in modo da ottenerne una che da un lato risulti significativa per la classe, e dall'altro cerchi - per quanto possibile - di non abbandonare il rigore matematico.

Concludiamo la sezione accennando a due difficolta diffuse, legate alla misura degli angoli: il primo ostacolo è che, quando si parla di angolo e della sua misura, ci si sta riferendo ad un qualcosa di infinito a cui si tenta di associare una misura finita. Il secondo ostacolo è che la misura dell'angolo è invariante per ingrandimento e rimpicciolimento della figura: ad esempio, se un quadrato viene rimpicciolito questo avrà area e perimetro minori, mentre lo stesso non è vero per i suoi angoli, che rimarranno sempre angoli retti.

Per approfondire il concetto di angolo, consigliamo la lettura del testo L’angolo, oggetto matematico e modello spontaneo, di Bruno D'Amore e Ines Marazzani.

CLASSIFICAZIONE DEGLI ANGOLI

«Angoli retti sono quegli angoli (rettilinei) che sono uguali quando sono formati da un segmento e da un altro innalzato su quello» Euclide

Due rette che si incontrano suddivisono il piano in quattro angoli, a due a due uguali. L'angolo da cui dipende tutta la classificazione degli angoli è l'angolo retto (i.e., giusto), che si ottiene quando le rette dividono il piano in quattro angoli uguali. Ognuno dei quattro angoli verdi mostrati in figura è un angolo retto.

È importante notare che la definizione di angolo retto come "un angolo di 90 gradi", oltre che a risultare complicata perché presuppone il concetto di grado, è anche poco significativa a livello geometrico.
Un angolo retto è ciascuno degli angoli individuati da due rette perpendicolari, cioè due rette che dividono il piano in quattro parti uguali, da qui l'aggettivo "giusto".

A partire dall'angolo retto si introducono gli altri angoli. Un angolo acuto è minore di un agolo retto, un angolo piatto equivale a due angoli retti, un angolo ottuso è maggiore di un retto ma minore di un piatto. Un angolo giro è composto da quattro angoli retti, mentre un angolo concavo è compreso fra un angolo piatto e un angolo giro.

Nella sezione ALLEGATI, si trova il file classificazione_angoli.pdf con la classificazione pronta da stampare.

Concludiamo questa sezione sottolineando come la parola "acuto" derivi dal latino acus, che vuol dire ago. La parola "ottuso" è invece il participo passato del verbo ottundere, che vuol dire smussare: un angolo ottuso è quindi un angolo privato della sua acutezza, reso cioè meno "appuntito". Una freccia è - in effetti - tanto più perforante quanto più è acuto l'angolo della sua punta.
Le parole "acuto" e "ottuso" hanno anche il significato figurato, rispettivamente, di persona brillante - che appunto riesce a entrare nel significato delle cose - e di persona dura di comprendonio.

ATTIVITÀ SULL'ANGOLO

In questa sezione vengono proposte alcune attività per introdurre e approfondire gli angoli.

UN'ESPLORAZIONE A QUATTRO

Per questa attività sono necessarie delle corde, meglio se tutte di uguale lunghezza.
Si divide la classe in gruppi di quattro studenti. Ogni gruppo è diviso in due coppie, ciascuna delle quali tiene gli estremi di una corda.
Gli studenti tengono le corde ben tese e si pongono in modo che le due corde si tocchino, ossia siano incidenti, come mostrato in figura.

Si chiede agli studenti di descrivere quello che osservano e si invita ogni coppia a muoversi rispetto all'altra (mantenendo sempre il punto di contatto fra le due corde), con lo scopo di studiare le regolarità delle configurazioni che si ottengono via via. In questa fase, tramite alcune domande, si cercherà di indagare come queste due corde individuino sempre quattro parti e che, qualunque sia la reciproca posizione delle due coppie, le quattro parti siano sempre uguali a due a due, come mostarto in figura.

Gli angoli rosa - così come gli angoli blu - sono uguali fra loro e vengono detti opposti al vertice.
Per concludere l'attività, si chiede di disporsi in modo tale da ottenere quattro parti uguali, come mostrato nella fiugra seguente, e di descrivere la configurazione.

Ognuna delle quattro parti, gialla in figura, è un angolo retto. Si può anche cercare di introdurre il concetto di angolo retto in maniera inversa: si chiede ai vari gruppi di disporsi in maniera "giusta" e si osserva come i vari gruppi interpretano questa parola.

ALLA RICERCA DEGLI ANGOLI RETTI

In questa fase dell'attività la classe conosce esclusivamente il termine "angolo retto". Si fanno quindi alcuni esempi di angoli retti e non retti presenti nell'ambiente in cui si sta lavorando (come i quattro angoli di un foglio di carta o gli angoli della lavagna). È importante porre attenzione alla parola "non" e sul cosa significhi che un angolo non sia retto. Si invita quindi la classe ad esplorare l'ambiente circostante alla ricerca di angoli, classificandoli in angoli retti e angoli non retti. Quando si individua un angolo non retto, bisogna dire se questo è più o meno ampio di un angolo retto: per farlo, basterà confrontarlo con un angolo retto, ad esempio con uno dei quattro angoli di un foglio di carta.
A questo punto si possono svolgere esercizi come proposto nella sezione ALLEGATI nel file esercizi_angoli_retti.pdf. È importante notare che l'ampiezza è l'unica cosa che conta nel classificare l'angolo, e non è importante quanto questo alla vista risulti "grande" o "piccolo".

COSTRUIRE UN ANGOLO MOBILE

Nel seguente video viene mostrato come costruire un angolo. L'angolo così costruito viene usato dall'insegnante nella successiva attività di mimesis.

Un'altra attività è quella di far costruire un angolo ad ogni studente, per poi farlo manipolare e analizzare. In effetti, la tecnica usata durante la costruzione per dividere il foglio in "strisce" uguali può essere oggetto di discussione.

LA MIMESIS DELL'ANGOLO

La mimesis è «intesa come rendersi simile nel gesto e nella voce a qualcuno o qualcosa» (Platone, Repubblica, III). L’attività mimesica è un processo dell'individuo, che cerca di costruire la propria interiorità attraverso l'assimilazione (dal lat. ad similare, rendere simile).

Fare mimesis non significa imitare qualcosa o qualcuno e «il termine “imita­zione” appare riduttivo e fuorviante per tradurre mimesis in quanto rimanda a un agire che coglie e esprime caratteristiche superficiali e esteriori» (Scaramuzzo, 2013). Basti pensare a quando si gioca a fare finta di essere un pompiere, un negoziante, una maestra, un supereroe: non si imita la persona o il personaggio ma si diventa interiormente il soggetto stesso. In altre parole, non si sta recitando per qualcun'altro ma per sé stessi.

Nell'attività di mimesis da noi proposta, l'insegnante tiene l'angolo in mano e invita gli studenti a immedesimarsi con l'angolo e a diventare essi stessi un angolo, rendendosi simile - di conseguenza - nei movimenti. Come angolo si può usare l'angolo costruito nella sezione precedente.
L'insegnante modificherà quindi l'ampiezza dell'angolo, facendo implicitamente riferimento alle classificazioni. Piano piano l'insegnante indaga e stimola le conoscenze degli studenti, affiancando alla parte visiva anche quella linguistica, dicendo - per esempio - le parole "angolo acuto" mentre viene disposto l'angolo di conseguenza.
Nella prima delle due immagini seguenti, gli studenti stanno facendo la mimesis di un angolo ottuso, mentre nella seconda di un angolo acuto, entrambi mostrati dall'insegnante muovendo opportunamente l'angolo costruito nella precedente sezione.

Gli studenti possono quindi muoversi liberamente, vivendo come meglio credono le varie ampiezze dell'angolo. Durante l'esecuzione l'insegnante ha l'occasione per fornire ulteriori spiegazioni e guidare la classe nell'identificazione delle caratteristiche dei diversi angoli.

RICONOSCIMENTO E CLASSIFICAZIONE DEGLI ANGOLI

Si procede quindi presentando alla classe oggetti o immagini come quelle proposte di seguito (il file immagini_con_angoli.pdf è disponibile da scaricare nella sezione ALLEGATI), chiedendo di individuare gli angoli presenti e di classificarli.

Nel farlo, se si sta lavorando su una L.I.M., è opportuno segnare con un pennarello gli angoli individuati dalla classe. In alternativa, si divide la classe in gruppi e si fornisce ad ogni gruppo un'immagine, eventualmente plastificata, dove individuare gli angoli. La seconda immagine delle due riportate sopra è oggetto di studio della tavola di arte #34.
Consigliamo di partire da immagini astratte e piane per spostartsi via via verso fotografie di situazioni reali. In un contesto reale, è importante notare che - a causa della prospettiva - anche se un angolo nella realtà risulta di un certo tipo, in una proiezione piana può cambiare. Facciamo ad esempio riferimento alla foto seguente.

L'angolo indicato in rosso è un angolo ottuso, ma nella realtà è un angolo retto.
È fondamentale che la classe colga questo aspetto, tipico sia dell'arte sia della matematica: quando si ritrae un oggetto reale bisogna essere in grado di destreggiarsi fra la ricostruzione tridimensionale che il nostro cervello ci propone e la sua raffigurazione piana.

PIEGATURA DELLA CARTA

Con la piegatura della carta si possono approfondire vari aspetti interessanti riguardo gli angoli.

La prima attività che suggeriamo è un'attività di analisi e scoperta. L'insegnante ritaglia vari poligoni, cercando di ottenre un'ampia varietà di forme e dimensioni, e li consegna alla classe. In primo luogo si chiede di classificare i poligoni facendo riferimento al numeri di lati: triangoli, quadrilateri, pentagoni e così via (a questo proposito si trova un approfondimento facendo click qui). Si sposta quindi l'attenzione sugli angoli dei poligoni, riconoscendo angoli acuti, retti, ottusi. Per aiutarsi nella classificazione, gli studenti possono confrontare gli angoli dei poligoni con quelli di un foglio di carta, che sappiamo essere retti, o con quelli classificati in precedenza.
A questo punto ci si interroga con la classe come si faccia, tramite la piegatura della carta, a dividere un angolo in due angoli uguali. Attraverso una discussione, dove verranno esaminte le proposte degli studenti, si arriva alla conclusione che per dividere un angolo a metà basta sovrapporre i due lati dell'angolo, individuando una piega (cioè una semiretta) che passa per il vertice dell'angolo. Questa semiretta si chiama normalmente bisettrice (dal latino bis, due volte, e secare, cioè dividere). Lo stesso procedimento si applica a qualsiasi angolo.
Durante questa prima attività è fondamentale notare una cosa: dividere l'angolo a metà non vuol dire dividere a metà il poligono che contiene l'angolo. Vuol dire semplicemente individuare due angoli uguali la cui somma sia l'angolo di partenza. La bisettrice individua anche due nuovi poligoni, ma che - in generale - non sono uguali.

Nella seconda attività viene proposta la classica costruzione della barchetta, mantenendo un costante occhio geometrico. Analogamente, nella terza attività, viene proposta la costruzione dell'aeroplanino. Con riferimento al video, notiamo che per giustificare che - durante la costruzione della barchetta - l'angolo in alto è retto, basta notare che l'angolo corrisponde alla somma di due metà di angoli retti.

APPROFONDIMENTO: SOMMA FRA ANGOLI

Prima di introdurre i gradi è bene parlare di somma fra due angoli, che si ottiene facendo coincidere i due vertici e una delle due semirette. In questa occasione, si faranno alcune osservazioni:

• sommando due angoli acuti si può ottenere un angolo acuto, un angolo retto o un agolo ottuso, ma sicuramente mai un angolo piatto o più grande
• sommando due angoli ottusi si può ottenere esclusivamente un angolo concavo
• sommando un angolo ottuso e un angolo acuto si può ottenere un angolo ottuso, un angolo piatto o un angolo concavo, ma mai un angolo giro
• sommando un angolo retto e un angolo acuto si ottiene sempre un ottuso
• sommano un angolo retto e un angolo ottuso si ottiene sempre un angolo concavo

Tutte queste proprietà possono chiaramente essere studiate con l'ausilio della carta o degli angoli costruiti in precedenza.

APPROFONDIMENTO: I GRADI

Chiaramente la classificazione appena proposta è troppo grossolana e va raffinata, anche nel caso dove si voglia usare la geometria in contesti concreti.
Il punto chiave è introdurre una misura, cioè un numero che identifichi con precisione l'ampiezza dell'angolo. Chiaramente l'ampienza dell'angolo più piccolo è 0 e l'ampiezza dell'angolo giro è un numero fissato che può - a priori - esserere qualsiasi numero. Così facendo sarà poi possiible definire, frazionando la misura dell'angolo giro, la misura di qualsiasi altro angolo.

Storicamente, la misurà dell'angolo giro è 360 gradi. Questa scelta porta con sé grandi vantaggi. Anzitutto 360 è un numero ricco di divisori: l'angolo piatto, l'angolo retto e tanti altri angoli rilevanti nella pratica geometrica avranno una misura espressa da un numero intero. Lo stesso non si otterrebbe fissando ad esempio la misura dell'angolo giro a 137: l'angolo piatto risulterebbe di 68,5 mentre l'angolo retto di 34,25.
Grazie all'elevato numero di divisori di 360, risultano interi anche gli angoli di 30, 60, 108 e 120 gradi, tipici di molte figure geometriche.
C'è inoltre un secondo motivo di carattere astronomico e - in qualche misura - mistico: 360 indica, con buona approssimazione, il numero di giorni in un anno. Questo vuol dire che il sole, visto dalla terra, cambia la sua posizione rispetto alle stelle fisse di circa un grado al giorno. Analogamente, se approssimiamo l'orbita ellittica della terra intorno al sole con una circonferenza, la terra compie una rotazione di un grado al giorno: dopo un anno, sarà tornata al punto di partenza.