COS'È IL TANGRAM?

Il tangram è un rompicapo di origine cinese. Si tratta di sette poligoni con cui creare varie configurazioni. Il nome cinese del tangram è qīqiǎobǎn che può essere tradotto con “sette tavolette dell'astuzia”.

I sette poligoni del tangram sono: cinque triangoli rettangoli isosceli, un parallelogramma, un quadrato. In particolare, fra i triangoli possiamo distinguere due triangoli uguali e più grandi rispetto agli altri, due triangoli uguali e più piccoli rispetto agli altri, e un triangolo di grandezza intermedia.

La prima sfida che usualmente si pone è di costruire un quadrato usando tutti e sette i pezzi. La soluzione è mostrata nella figura sopra. Più in generale, l'idea di base del gioco è che viene fornito un disegno e bisogna riprodurlo usando i sette pezzi a disposizione, come mostrato nell'esempio in figura.

Notiamo che ogni poligono del tangram può essere ottenuto disponendo opportunamente più copie di uno dei triangoli più piccoli, come mostrato in figura.

Il parallelogramma è l'unico dei poligoni presenti a non avere un asse di simmetria; questo implica che, per ottenere alcune configurazioni, bisognerà fisicamente rovesciare il parallelogramma.

Nonostante il gioco abbia un fascino antico, venne in realtà inventato in Cina all'inizio del 1800, diffondendosi quasi subito anche in occidente.

IL SOFTWARE TANGRAM

Il software Tangram è un software disponibile su www.oiler.education/tangram che fornisce una versione digitale del tangram. Il software verrà usato nelle attività proposte nel seguito. Il funzionamento del software è molto semplice: i sette poligoni sono disposti su un foglio bianco e l'utente può muoverli come meglio crede.

Cliccando su una figura questa viene ruotata di 15° in senso orario. Poiché, come abbiamo notato, il parallelogramma non ha un asse di simmetria, si può ottenere il suo simmetrico tenendo cliccato sul parallelogramma.

In alto a destra è presente un pulsante che colora tutti i poligoni di nero, come mostrato in figura.

Questa opzione tornerà utile nelle attività successive. Facendo nuovamente click sul pulsante, i poligoni tornano del loro colore originario.

RIPRODURRE L'IMMAGINE

Per la classe prima e l'inizio della classe seconda, poiché l'attività di ricostruire un'immagine “nascosta” può risultare eccessivamente complessa, suggeriamo di proporre una variante semplificata. Si ritagliano e si consegnano ad ogni studente i sette pezzi del tangram, disponibili da stampare nel file tangram_pezzi.pdf nella sezione ALLEGATI (è disponibile sia una versione a colori sia una versione in bianco e nero). L'insegnante, usando alla L.I.M. il software Tangram presentato nella sezione precedente, crea una composizione a piacere.

Il compito degli studenti è quello di riprodurre la composizione con i propri pezzi. L'insegnante non usa la modalità bianco e nero, quindi si tratta solo di disporre correttamente i pezzi che si vedono. Un aspetto importante nel creare la configurazione è che i vari poligoni non devono sovrapporsi fra loro.

RIPRODURRE L'IMMAGINE NASCOSTA

Nell'attività principale, l'insegnante crea una configurazione a piacere con il software Tangram.

Una volta creata l'immagine - prima di mostrarla alla classe tramite la L.I.M. - l'insegnante la “nasconde” facendo click sul pulsante in alto a destra, in modo da rendere tutti i poligoni neri.

Il compito degli studenti è capire come riprodurre l'immagine con i sette pezzi. Una volta che la classe avrà sviluppato una buona abilità nel riprodurre le immagini nascoste, è importante che - ogni tanto - l'insegnante giochi il ruolo del “furfante”, mostrando configurazioni che in realtà non sono riproducibili. Per farlo, o si prende un poligono chiedendosi se si possa riprodurre o meno, o si può creare una configurazione con il software sovrapponendo due poligoni, come mostrato in figura.

Mostrando alla classe la figura nascosta di destra, si chiederà di riprodurla. A poco a poco, gli studenti cominceranno a rendersi conto che qualcosa non quadra: comincerà quindi una fase di discussione collettiva riflettendo se riprodurre l'immagine sia possibile. In questa fase, è molto importante invitare gli studenti ad argomentare le proprie risposte. Notiamo - ad esempio - che tutte le configurazioni riproducibili con un tangram hanno stessa area, qualora una disposizione abbia un'area diversa allora sicuramente non potrà essere riproducibile.

Nella sezione ALLEGATI, si trova il file libro_tangram.pdf con alcune configurazioni misteriose da riprodurre: alcune di queste configurazioni rappresentano sfide veramente complesse, anche perché - essendo tutto disegnato a mano - spesso le figure non sono precise. Inoltre, in alcune configurazioni, compare il parallelogramma “specchiato”: questo vuol dire che bisognerà anche capire se girare o meno il parallelogramma, come discusso in apertura. Il libro è una delle prime fonti note riferite al tangram, risalente al 1816.

TANGRAM E AREA

Il tangram si rivela un buon metodo per parlare dell'area dei poligoni. Per esempio: se assumiamo che l'area del triango piccolo sia 1, quanto è l'area di ciascuno degli altri poligoni? Qual è l'area di una qualsiasi configurazione che si ottiene usando tutti i pezzi? Quali sono i rapporti fra le aree dei vari poligoni? Ci sono poligoni diversi ma equivalenti, ossia che hanno stessa area?

Fissando a 1 l'area di un triangolo piccolo, allora quadrato, parallelogramma e triangolo di grandezza intermedia sono tutti equivalenti e misurano 2. I triangoli più grandi misurano invece 4. L'area di una qualsiasi configurazione ottenuta con il tangram misura quindi 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 16.

Un'ulteriore domanda, che ci spinge verso il concetto usuale di area che si misura in quadrati e non in triangoli consiste nel porre uguale a 1 l'area del quadrato e calcolare di conseguenza l'area degli altri poligoni del tangram: i triangoli piccoli risulteranno avere area ½, parallelogramma e triangolo intermedio area uguale a 1, mentre i triangoli più grandi area uguale a 2. Questa osservazione è utile per sottolineare alla classe come l'area dipenda dall'unità di misura adottata (il triangolino o il quadrato).

Concludiamo con un ultimo quesito più complesso che richiede una buona padronanza delle frazioni: se poniamo uguale a 1 l'area di una qualsiasi configurazione ottenuta con tutti e sette i pezzi del tangram, qual è l'area dei singoli poligoni? I due triangolini più piccoli misurano un sedicesimo; quadrato, triangolo intermedio e parallelogramma misurano un ottavo; i due triangoli più grandi misurano un quarto.