RIPASSO CON BUL GAME

La seguente attività può essere svolta in classe sulla L.I.M. o in aula informatica.
Sul sito https://oiler.education/bul si trova il gioco Bul Game. Il gioco si svolge premendo opportunamente i pulsanti A e B secondo le indicazioni che vengono fornite da furfanti e cavalieri. Se si preme il pulsante giusto si fa 1 punto, se si sbaglia la partita finisce. Occorre prestare attenzione quando le indicazioni vengono fornite da un furfante: bisogna sempre fare il contrario di quanto dice!

Nella pagina iniziale del gioco - mostrata in figura - si selezionano le tipologie VERO&FALSO, PREDICATI e NEGAZIONE. Si sceglie quindi la tipologia dei predicati, CULTURA GENERALE - ottenendo quindi dei predicati come COLORE(rosso) o CITTÀ(Napoli) - oppure MATEMATICA - con predicati come PARI(6) oppure 2 + 2 = 4. Suggeriamo di cominciare con il livello 1 sia di CULTURA GENERALE che di MATEMATICA.

Nella modalità PREDICATI se il cavaliere usa un predicato vero, allora bisogna seguire la sua indicazione, mentre se il cavaliere usa un predicato falso bisogna fare il contrario di quello che dice. Per il furfante il discorso è analogo ma inverso.
La modalità NEGAZIONE può risultare più complessa, anche se la strategia è simile a quella della sezione PREDICATI: se il cavaliere dice qualcosa di vero si segue la sua indicazione (per esempio, ¬PARI(3)), se dice qualcosa di falso si fa la scelta opposta alla sua indicazione. Anche in questo caso, per il furfante il discorso è analogo ma inverso.

LE VARIABILI

Nelle attività precedenti vi era a volte la richiesta di completare un predicato in maniera opportuna - per esempio scegliere un oggetto per verificare il predicato ALBERO (.......).
Alcune volte si può richiedere però che uno stesso oggetto verifichi più predicati: dando l'esercizio "PARI(...)  e ... > 10" una possibile risposta sarebbe "PARI(4) e 13>10". Come fare a specificare che si vuole lo stesso oggetto a sostituzione di entrambi i puntini? Basta dargli un nome. Proprio questa è una possibile genesi didattica del concetto di variabile, cioè - per esempio - della x.
Una prima serie di indovinelli è legata a semplici operazioni: "conosco un numero che si chiama x tale che x + 4 = 5". È qui molto importante scrivere e commentare anche le risposte sbagliate da parte della classe: se alla domanda "x + 4 = 5" viene risposto - ad esempio - 7, si scriverà alla lavagna "7 + 4 = 5" e si noterà che 11 è diverso da 5. Gli studenti sono infatti stati abituati dal contesto, tramite il furfante, a vedere anche uguaglianze false (e.g. 11 = 5). Altri esempi di esercizi si possono realizzare con indovinelli come "conosco un numero che si chiama x che sommato con sé stesso dà 8" - cioè "x + x = 8" - oppure "x + x + x = 9". In questo caso è molto importante sottolineare che il valore della x non può cambiare (cioè 1 + 5 + 3 = 9 non è una soluzione di x + x + x = 9).
Si procede quindi ad usare le variabili all'interno dei predicati. Si noterà che alcuni predicati, ad esempio PARI(x) oppure x > 3, hanno più di una soluzione: PARI(x) è soddisfatto da qualunque x sia un numero pari, mentre x > 3 da tutti quei numeri maggiori di 3.
Si conclude la presentazione della variabili usando più predicati per descrivere uno stesso numero. Ad esempio si possono scrivere le tre seguenti affermazioni alla lavagna chiedendo di trovare un valore di x. Le tre condizioni devono essere tutte soddisfatte da uno stesso numero per risolvere l'indovinello.

• x si scrive con tre lettere;
• PARI(x);
• x < 10.

Le soluzioni corrette in questo caso sono due: 2 e 6. Tuttavia invitiamo, in caso di tentativo di risposta sbagliata, a sottolineare le condizioni soddisfatte e poi quelle non soddisfatte dal tentativo: nel caso venga suggerito, per esempio, 3 come risposta si noterà anzitutto che la prima e la terza condizione sono soddisfatte ("tre" si scrive con tre lettere ed è minore di 10) per poi vedere che 3 non è pari.

LE COSTANTI SOSTITUITE ALLE VARIABILI

Si procede quindi con l'attività principale: imparare a sostuituire la x con un numero, cioè imparare a sostituire alle variabili costanti opportune. Una costante è un qualcosa che non cambia mai (cfr. Tales, Attività Corporea): nell'ambito dei numeri, le costanti sono i numeri stessi, come 3, 5, 6; infatti il valore di 3 non cambia mai, rimane sempre 3.

Si stampano e si ritagliano i file costanti_numeri.pdf, predicati_con_variabili_numeri.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI.
Nel file costanti_numeri.pdf si trovano i numeri - cioè le costanti - da ritagliare, mentre nei file predicati_con_variabili_numeri si trovano i predicati dove questi numeri devono essere inseriti. L'insegnante selezionerà fra i predicati i più adatti alla propria classe. Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file predicati_variabili_libero.odt con cui l'insegnante può creare predicati a piacere.

Suggeriamo di proporre l'attività in uno spazio ampio - come una palestra - per disporre alla rinfusa predicati e numeri sul pavimento, come mostrato in figura.

I predicati completati vengono disposti in maniera ordinata in uno spazio adibito, come mostrato di seguito.

Per risolvere gli esercizi proposti, la strategia da suggerire alla classe è una strategia per tentativi. Si prende un numero qualsasi e lo si mette sopra la x: si analizza quindi se il predicato così ottenuto sia verificato o meno. In caso affermativo l'esercizio è risolto, in caso negativo si aggiusta il tiro, si prova cioè a sostituire un altro numero in modo da diminuire l'errore (3 = 23 è "più lontanto dall'uguaglianza" rispetto a 20 = 23).

Notiamo che alcuni predicati non sono soddisfacibili, ossia non esiste alcun numero naturale che li soddisfi (e.g. x + 7 = 3). Sarà un buono spunto didattico soffermarsi ad analizzarli, additandoli se si vuole come "tranelli". Un tranello simpatico da proporre è ¬ ( x = x ), cercare cioè un numero che non è uguale a sé stesso - che chiaramente non esiste.

In un secondo momento, l'insegnate potrà aggiungere sul pavimento anche il simbolo di negazione, che si trova nella sezione ALLEGATI come negazioni.pdf. Questo simbolo può essere usato ponendolo davanti ad un predicato a propria scelta, ribaltandone il significato.

Nell'esempio in figura, è corretto sostituire alla x un qualsiasi numero maggiore o uguale a 2, in modo da rendere falsa la disuguaglianza x + 13 < 15.

LE PAROLE IMPORTANTI

Come si è visto, durante l'attività possono apparire tre tipi diversi di equazioni: equazioni per cui esiste una soluzione specifica (come x + 3 = 5), equazioni dove tutti i numeri sono una soluzione (come x = n + 2 – 2), equazioni impossibili, cioè dove nessun numero è soluzione (come x = x + 4).

Vale la pena discutere esplicitamente con la classe le espressioni "almeno uno", "tutti" e "nessuno" (approfonditi nell'attività Tutti, almeno, al massimo, nessuno). Nel farlo, si può integrare la discussione con il software Zermelo Game (disponibile su www.oiler.education/zermelo).
Nella pagina iniziale si sceglie se giocare con l'espressione TUTTI o con ALMENO UNO e l'ambiente di gioco (colori, numeri, figure).

Se si seleziona ad esempio l'espressione TUTTI, in ogni turno della partita il giocatore deve capire se la proprietà che compare in alto è rispettata da TUTTI o NON TUTTI gli elementi dell'insieme raffigurato.

Nell'esempio in figura la rispsota è TUTTI, perché tutti i pallini che compaiono sono rossi. Per approfondire dei quantificatori il discorso si consiglia il percorso di Zermelo (disponibile qui www.oiler.education/scuola/materiali/primaria/zermelo)

UN PRIMO APPROCCIO ALLE CONGIUNZIONI "E" E "O"

Dopo aver terminato l'attività, si può tentare un primo approccio ai connettivi AND e OR che verranno esplorati nel dettaglio nelle attività successive.
Con i numeri ancora sul pavimento, senza ora più fare riferimento ai predicati, si chiede alla classe di trovare dei numeri specifici: "trovare un numero pari" oppure "trovare un numero più piccolo di 10".
Si procede quindi con richieste composte, ossia un numero deve soddisfare più requisiti: "trovare un numero pari e minore di 8", "trovare un numero pari che si scriva con 5 lettere", "trovare un numero dispari il cui doppio sia maggiore di 12". Si possono inserire anche richieste che non possono essere soddisfatte, come "trovare un numero che sia pari e dispari".
Per concludere, si possono fare richieste con la o, come per esempio: "trovare un numero dispari oppure un numero che si scrive con tre lettere", "trovare un numero pari oppure un numero dispari", "trovare un numero minore di 5 oppure maggiore di 10", "trovare un numero che si scrive con tre lettere oppure con quattro". Nel caso della o, cioè dell'oppure, deve essere soddisfatta almeno una richiesta.

COSA È UNA VARIABILE?

Qualora se ne presenti l'occasione, è opportuno soffermarsi con la classe sul concetto di variabile, contrapposto a quello di costante. Costante e variabile sono termini che si incontrano nel corso dell'educazione matematica in svarianti contesti (cfr. Tales, Dekart). Ciascun numero è costante: 1 vale sempre 1, 2 vale sempre 2. Tuttavia, in alcune circostanze, è utile pensare a numeri non fissati, cioè che possono variare. È di fondamentale importanza sottolineare che il numero variabile x può assumere un qualsiasi valore. Spesso vengono date indicazioni e condizioni per restringere il campo dei valori che x può assumere. Per esempio, PARI (x) specifica che l'x di cui stiamo parlando è pari, tuttavia non sappiamo di quale numero pari si stia parlando e anzi ci sono infinite possibilità per il valore di x. Altre condizioni sono più restrittive, per esempio x < 2 ci dice che x deve essere 0 oppure 1. Altre condizioni ancora sono soddisfatte per un solo valore di x, come x + 3 = 5 è soddisfatto esclusivamente da 2. Infine, ci sono condizioni che non sono soddisfatte da alcun numero, come x = x + 1.

Nella sezione ALLEGATI si trova il file esercizi_costante_variabile.pdf con una proposta di esercizi sui concetti di variabile e costante.