RIPASSO DELLE TABELLINE

Poiché la divisone è intimamente legata alla moltiplicazione, e i vari algoritmi di divisione spesso richiedono una conoscenza sicura delle tabelline, consigliamo di cominciare l'attività con un ripasso di queste.
In particolare, sul gioco online Pitagoras Game [disponibile su www.oiler.education/pitagoras], si seleziona esclusivamente la modalità PRODOTTO e si fa click su SELEZIONA TUTTO per giocare con tutte le tabelline.

Nel gioco online compaiono le classiche piramidi del prodotto, dove il numero scritto in alto è il prodotto dei numeri alla base.

UN GIOCO PRELIMINARE

Si propone un gioco verbale, preliminare alla successiva attività.
L'insegnante dice un numero e una tabellina, lo studente deve individuare il numero appartenente a quella tabellina che più si avvicina, dal basso, al numero detto dall'insegnante. Ad esempio, l'insegnante dice “40 e tabellina del 7”; allora lo studente dovrà rispondere “35”, perché 35 = 7 × 5 è il numero più vicino a 40, dal basso, appartenente alla tabellina del 7. Il numero più vicino dall'alto appartenente alla tabellina del 7 è invece 42.
Man mano che gli studenti acquisiranno familiarità con il gioco, sarà richiesta un'argomentazione più esplicita della risposta. Ad esempio, se l'insegnante dirà “54 e tabellina dell'8”, lo studente dovrà rispondere con una frase del tipo “48, perché 6×8 fa 48 ma 7×8 fa 56, che è più grande di 54”. A poco a poco si sposterà il focus dal risultato appartenente alla tabellina, ai fattori che portano a tale prodotto.
Una volta che le regole del gioco sono chiare alla classe, il gioco può essere fatto dagli studenti a coppie, dove a turno si ricopre il ruolo dell'insegnante.

VERSO LA DIVISIONE

Si complica leggermente il gioco precedente. L'insegnante dice un numero e una tabellina e lo studente deve rispondere come prima, aggiungendo però anche quanto manca ad arrivare al numero detto dall'insegnante. Ad esempio, l'insegnante dice "60 e tabellina dell'8"; lo studente deve rispondere una frase del tipo “7 e per arrivare a 60 servono altre 4 unità”. Si registra la giocata per iscritto, scrivendo 60 = 8 × 7 + 4.
Dopo aver presentato il gioco e fatto qualche giocata verbalmente, è importante fare questi esercizi per iscritto, come proposto nel file esercizi_divisione.pdf nella sezione ALLEGATI. Alla seconda pagina del file, compaiono esercizi più complessi. Notiamo infatti che, fino ad ora, ci siamo limitati a proporre divisioni in cui il dividendo fosse minore del divisore moltiplicato per 10. In altre parole, dove il risultato della divisione fosse sempre un numero minore di 10.
L'insegnante potrà cominciare, poco a poco, a proporre anche numeri più grandi rispetto a tutti quelli che compaiono in una certa tabellina, e lo studente dovrà rispondere di conseguenza. Ad esempio, l'insegnante dice “90 e tabellina del 7” e lo studente risponde “12”, perché 7 × 12 = 84.
In questi casi, una conoscenza sicura delle tabelline non è più sufficiente, e bisogna compiere un passo concettuale. In un'ottica di problem solving, l'insegnante potrà proporre divisioni sempre più complesse e indagare le strategie adottate dagli studenti per risolverle. Approfondiamo la questione nella successiva sezione.

LA DIVISIONE PER TENTATIVI ED ERRORI

Prima di presentare il classico algoritmo di divisione, suggeriamo di far ragionare la classe su come sia possibile eseguire una divisione procedendo per tentativi ed errori.
Consideriamo ad esempio la divisione 8342 : 7 (chiaramente l'insegnante può partire da qualsiasi divisione che risulti complessa, ma non eccessivamente, per la classe). Si può chiedere alla classe, ragionando su un piano intuitivo, quante volte il 7 entri nell'8342. Facciamo finta che uno studente proponga 400: procedendo alla verifica si ottiene 7 × 400 = 2800, un numero ancora lontano dal desiderato 8342.
Un modo - certamente valido, soprattutto in un primo momento - per gestire questo tentativo infruttuoso consiste nel capire che bisogna tentare con un numero più grande di 400. Si potrà allora procedere con 500, 600, 1000, fino a trovare un numero - come 1200 - per cui 7 × 1200 = 8400 superi il numero cercato. A questo punto, aggiustando il tiro di volta in volta basandosi sui tentativi precedenti, si giunge al risultato cercato, o perlomeno a una buona approssimazione. Questo tipo di procedimento per tentativi ed errori è analogo a quanto discusso più nel dettaglio nel percorso di ROBINSON.

Tuttavia, nello specifico caso della divisone, esiste un altro modo per usare il tentativo, a volte noto come “divisione canadese”. Torniamo all'esempio precedente dove lo studente, come primo tentativo, risponde 400 come risultato della divisione 8342 : 7. A questo punto si verifica che 7 × 400 = 2800. Invece di provare con un nuovo numero più grande di 400, si può procedere in quest'altra maniera: si scrive da parte 400 (oggetti già distribuiti fra le 7 persone) e si esegue 8342 – 2800 = 5542 (oggetti ancora da distribuire). A questo punto si continua, sempre per tentativi, con 5542 : 7. Ogni volta che si fa un tentativo e si trova un risultato minore del numero cercato, questo si sottrae fino ad arrivare a un resto minore del divisore. Su un piano intuitivo, è come distribuire una prima parte degli oggetti da distribuire (dividendo) fra delle persone (divisore) e poi continuare distribuendo la parte restante. Se in una divisione il divisore è maggiore di 10, il ragionamento è analogo, anche se chiaramente i calcoli in gioco sono più complessi.
Nell'immagine seguente è mostrato un ulteriore esempio di divisione canadese.

Sul sito del progetto PerContare si trovano due software online per far giocare la propria classe con la divisione canadese [www.percontare.it/software/terza-e-quarta/].
Sottolineiamo infine che la divisione in colonna è un raffinamento di questa procedura, dove il dividendo viene scomposto usando le potenze di 10.

LA DIVISIONE (ANCHE A MENTE)

Se si sono già affrontati in classe i numeri decimali, si può proseguire nell'attività. Vediamo come fare per iscritto una divisione dove il divisore è minore di 10. L'algoritmo che si usa nel calcolo scritto è anche uno dei più rapidi a livello mentale (il che non succede né con l'addizione né con la moltiplicazione).
Consideriamo, ad esempio, la divisione 60 : 8. Si comincia scomponendo 60 come nell'attività precedente, ottenendo 60 = 8 × 7 + 4. A questo punto si prende il resto (ossia 4), lo si moltiplica per 10 (ottenendo 40), e si rifà il gioco. 40 = 8 × 5 + 0. Il risultato 60:8 è quindi 7,5.
Facciamo un altro esempio. Per fare 39 : 4, si scompone prima 39 = 4 × 9 + 3, dopo di ché si moltiplica il resto per 10 e si rifà il gioco, ottenendo 30 = 4 × 7 + 2, quindi si procede ancora moltiplicando il resto per 10 e rifacendo il gioco, ottenendo 20 = 4 × 5 + 0. Si ha quindi che 39 : 4 = 9,75.
Facciamo ancora un esempio, dove si ottiene un numero periodico. Per fare 41 : 3, scriviamo dapprima 41 = 3 × 13 + 2, poi 20 = 3 × 6 + 2. Come vediamo, il resto è ancora due: questo vuol dire che continuando il procedimento si otterrà sempre lo stesso risultato. Di conseguenza 41 : 3 = 13,66666…