PAROLE CON LETTERE RIPETUTE

La seconda fase dell’attività sugli anagrammi riguarda le parole dove una lettera viene ripetuta più volte, come ARA, CASA, ORSO, TETTO.
Per cominciare, si chiamano tre studenti per formare una parola di tre lettere di cui due uguali, come ARA.

Si chiede di prevedere quante parole diverse (i.e. quanti anagrammi) si possano formare con queste lettere. Probabilmente, abituati dalla fase precedente (ANAGRAMMI I), molti studenti risponderanno 6. Si procede quindi trovando tutti gli anagrammi e scrivendoli alla lavagna; in realtà questa volta gli anagrammi sono solo 3: RAA, ARA, AAR. Il punto cruciale è chiarire che se due studenti che indossano la stessa lettera si scambiano fra loro, la loro posizione cambia ma la parola ottenuta è sempre la stessa. Questa eventualità non si presentava nella prima fase, perché ogni studente aveva una lettera diversa (cioè ad ogni lettera corrispondeva un unico studente).

Dopo aver fatto un altro esempio con una parola di tre lettere di cui due ripetute, si passa ad una parola di quattro lettere con due lettere ripetute, come CASA o ORSO.
Anche in questo caso, il numero di anagrammi è minore di quello visto nella prima fase dove le parole avevano quattro lettere tutte diverse fra loro. Gli anagrammi di CASA sono infatti 12:

È opportuno, in questa attività, fare molti esempi con parole diverse: la classe deve sviluppare una strategia per scrivere, velocemente e con sicurezza, tutti gli anagrammi di una parola data.

Analizziamo il punto centrale dell’attività, riprendendo in considerazione le parole ARA e CASA.
In ciascuna delle due parole, scambiare le due A in un anagramma non comporta alcuna differenza mentre nel caso delle parole, per esempio, ORA e CASO scambiare la A con la O genera una parola nuova. Si intuisce quindi il perché da 6 anagrammi per la parola ORA si passa a 3 per la parola ARA, così come da 24 anagrammi per la parola CASO si passa a 12 per la parola CASA: in entrambi i casi il numero di anagrammi è stato diviso per 2. In altre parole, ogni anagramma di ARA (oppure di CASA) può essere ottenuto con due posizioni diverse degli studenti, come mostrato in figura.

Si esamina quindi una parola con quattro lettere di cui una ripetuta tre volte, come ENEE.

Si cerca, anche qui, di capire a priori quanti siano gli anagrammi della parola considerata. Visto che questa volta le lettere ripetute sono tre, è spontaneo prendere il numero di anagrammi di una parola con quattro lettere tutte diverse fra loro e poi dividerlo per 3 (come prima si divideva per 2). Tuttavia, scrivendo tutti gli anagrammi di ENEE alla lavagna, ci si rende conto che sono solamente 4: NEEE, ENEE, EENE, EEEN. Si nota quindi che, per ottenere il numero di anagrammi della parola ENEE, 24 non è stato diviso per 3 bensì per 6. Questo perché ogni anagramma della parola ENEE può essere ottenuto con sei posizioni diverse degli studenti, scambiando fra loro gli studenti che indossano la lettere E.
In figura sono mostrati tutti i 6 modi in cui si può ottenere la parola EEEN cambiando la posizione degli studenti.

Si procede infine ad esaminare una parola con cinque lettere di cui una ripetuta tre volte, come TETTO.

Anche qui si scrivono tutti gli anagrammi trovati alla lavagna, accorgendosi che sono solamente 20. Il numero totale di anagrammi di una parola con cinque lettere tutte diverse fra loro, ossia 5 × 4 × 3 × 2 × 1, è stato diviso – invece che per 3 – per 6: si ha 120 ÷ 6 = 20.

Nella sezione ALLEGATI, si trovano due prove di verifica da consegnare alla classe (anagrammi_esercizi_2.pdf).

APPROFONDIMENTO

UNA FORMULA PER GLI ANAGRAMMI CON LETTERE RIPETUTE

Prendiamo come esempio la parola ENEE. Tutte le configurazioni dove si scambiano fra loro studenti che indossano la lettera E danno origine allo stesso anagramma. In quanti modi si possono scambiare fra loro i tre studenti che indossano la lettera E? La risposta è, in realtà, molto semplice: calcolare i possibili modi in cui si possono mettere tre studenti equivale a calcolare il numero degli anagrammi di una parola con tre lettere tutte diverse fra loro: 6, ossia 3! (ricordiamo che il “!” indica il fattoriale). Si capisce quindi perché, nel calcolare gli anagrammi della parola ENEE il numero totale di anagrammi di una parola con 4 lettere tutte diverse fra loro viene diviso per 6 e non per 3.
In generale, se si ha una parola con n lettere dove k lettere sono uguali fra loro, per calcolare il numero di anagrammi si fa n! ÷  k!.