Un’attività interessante nel contesto degli anagrammi si incontra considerando cifre invece che lettere e, di conseguenza, i numeri al posto delle parole. Sottolineiamo che è bene, in classe, distinguere fra cifre – cioè i singoli simboli da 0 a 9 – e numeri che si formano con le cifre: di particolare aiuto è appunto il parallelismo con lettere e parole.

Si segue la stessa metodologia delle prime due fasi (Anagrammi I e Anagrammi II) attaccando le cifre sulle magliette degli studenti. Suggeriamo, almeno in un primo momento, di usare cifre tutte distinte fra loro.

L’ORDINE DEI NUMERI

Nell’esempio mostrato in figura compaiono le cifre 4, 1, 9.

La prima domanda da porre alla classe è “quanti numeri diversi posso formare con queste cifre”? La riposta è identica a quella vista nel caso di una parola con tre lettere tutte diverse fra loro nell'attività Anagrammi I, ma è bene che la classe si abitui ad applicare uno stesso ragionamento in contesti differenti.
Tuttavia, con i numeri sorgono nuove domande che si rivelano utili per affrontare diversi argomenti matematici.
Le prime domande che possono essere proposte sono: qual è il numero più grande fra quelli ottenuti con le cifre 1, 4 e 9? Quale il più piccolo?

Il numero più piccolo si ottiene sempre leggendo il numero più grande al contrario, cioè da destra verso sinistra.
Infine, si può chiedere di scrivere tutti gli anagrammi in ordine crescente (oppure decrescente). Chiaramente, la controparte con le parole è scrivere gli anagrammi in ordine alfabetico.
Sottolineiamo che, qualora si scegla di usare la cifra 0 per costruire i numeri, bisogna leggere - ad esempio - il numero 039 come 39. In generale, ogni volta che lo zero appare all'inizio di un numero, il numero va letto come se lo 0 non ci fosse.

LA DIVISIBILITÀ DEI NUMERI

Altre domande interessanti riguardano la divisibilità dei numeri ottenuti. Per esempio, si può chiedere quanti siano i numeri pari e quanti i dispari fra quelli ottenuti: un numero è pari se e solo se la sua ultima cifra è pari, quindi la risposta dipende dalle cifre considerate, nel caso citato in precedenza i numeri pari sono 194 e 914.

Un caso importante su cui vale la pena soffermarsi è la divisibilità per 3. Per affrontare questa attività non è necessario che la classe conosca il criterio di divisibilità per 3 (cioè un metodo per capire, senza svolgere la divisione, quando un numero è divisibile per 3); anzi quest’attività può rivelarsi un buono spunto per cominciare a parlarne. Ricordiamo che un numero è divisibile per 3 se e soltanto se la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Per esempio, 168 è divisibile per 3 perché 1 + 6 + 8 = 15 è divisibile per 3, mentre 235 non è divisibile per 3 perché 2 + 3 + 5 = 10 non è divisibile per 3. Notiamo che nel criterio non si fa menzione dell’ordine in cui compaiono le cifre: il numero 168 porta allo stesso calcolo richiesto per il numero 618 (bisognerà comunque fare 1 + 6 + 8).

Si chiamano tre studenti ad indossare tre cifre in modo tale che la loro somma sia divisibile per 3 (e.g. 4, 5, 6).

Si chiede quanti degli anagrammi siano divisibili per 3 (se la classe non conosce il criterio di divisibilità per 3, si procede normalmente svolgendo tutte le divisioni e verificando che il risultato sia intero). Dopo vari esempi, anche con cifre diverse dove la somma non è divisibile per 3 (per esempio 2, 4, 5), si arriva alla conclusione cercata: se un numero è divisibile per 3, lo sono anche tutti i suoi anagrammi. Per un motivo analogo, se un numero non è divisibile per 3, non lo è nessuno dei suoi anagrammi.

Nella sezione ALLEGATI si trovano esercizi_anagrammi_3.pdf e esercizi_anagrammi_4.pdf da proporre alla classe come prova di verifica. Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file esercizi_anagrammi_numeri_libero.doc con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati.

UN TRUCCO DI MAGIA

Si chiede ad ogni studente di scrivere un numero qualsiasi di tre cifre. Si chiede poi di scrivere i numeri che si ottengono ordinando le cifre in ordine decrescente e in ordine crescente. Ad esempio, se uno studente ha scritto il numero 725, scriverà a fianco 752 (ordine descrescente) e 257 (ordine crescente). Si chiede quindi di sottrarre fra loro questi numeri: nel nostro esempio si calcola 752 – 257 = 238. Lo stesso procedimento si applica anche nel caso di due cifre uguali o in presenza dello 0: se uno studente sceglie 606 come numero, dovrà calcolare 660 – 066 = 594. 

Si chiede ora di ripetere il procedimento con il nuovo numero ottenuto: si ordina il numero in modo crescente e decrescente e si sottragono le quantità. Riprendendo l'esempio iniziale, dopo aver ottenuto 238, si calcola 832 – 238 = 594.
Si continuano a ripetere i passaggi osservando con attenzione i numeri che escono. Le sottrazioni da eseguire non sono semplici, perché data la natura del calcolo ci saranno molti riporti: se lo si reputa opportuno, si possono far lavorare gli studenti a coppie.
Sorpesa! Indipendentemente dal numero che si sceglie, si ottiene sempre 495. Se si riapplica il procedimento a 495 si ottiene 954 – 459 = 495, cioè il numero stesso.
Continuando a riapplicare i passaggi, non si potrà più ottenere un numero diverso da 495.

Complicando i calcoli, si può proporre lo stesso gioco con un numero di quattro cifre. In questo caso il numero di arrivo è 6174, noto come costante di Kaprekar, dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905 - 1986) che lo scoprì, qui mostrato in figura.

Per conlcudere l'attività, si ripete l'esperienza con solo due cifre. In questo caso non si arriva a un numero fisso, ma abbiamo comunque una regolarità interessante!
Qualunque numero si scelga, si entra immediatamente in un ciclo formato da multipli di 9 e non se ne esce più. Se per esempio si sceglie il numero 38 si verifica la situazione mostrata in figura.

GLI ANAGRAMMI E L'ORDINE NELLA VITA QUOTIDIANA

Al centro delle attività affrontate sugli anagrammi c'è sempre il concetto chiave di disporre in ordine determinati oggetti (lettere o cifre). In alcune situazioni della vita quotidiana ci capita di disporre alcuni oggetti in ordine, per esempio i libri su uno scaffale, le matite in un astuccio, gli studenti in fila indiana. È molto importante che la classe si abitui a cambiare il contesto nel quale sono stati appresi gli anagrammi e che - quando se ne ha l'occasione - vengano proposte attività dove gli studenti si divertano a contare tutti i modi per disporre in ordine alcuni oggetti. Il calcolo da fare è sempre lo stesso, il fattoriale! Quando i numeri in gioco diventano proibitivi per un calcolo scritto, si può ricorrere alla calcolatrice. Per esempio, presi 10 libri (diversi fra loro), abbiamo 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3´628´800 modi diversi per disporli su uno scaffale.
In matematica, quando si ordinano degli oggetti, si parla di permutazione (dal latino per-mutare, cioè cambiare).

Sottolineiamo, infine, che in altre situazioni della vita quotidiana l'ordine non è importante: quando si prende un gelato si dicono i gusti al cameriere senza pensare all'ordine in cui verranno disposti nel cono o nella coppetta.