PARMENIDE E LA PIZZA

Si racconta alla classe che il personaggio Parmenide è ghiotto di pizza. Più mangia però, più è sazio, il che lo porta a mangiare più lentamente. Vediamo la situazione nel dettaglio.
All'inizio abbiamo un pizza intera e Parmenide ne mangia metà in un'ora (che lentezza, ormai si sarà freddata!).
Parmenide impiega quindi un'ulteriore ora per mangiare metà della parte restante, ossia un quarto di pizza.
Parmenide impiega poi un'ulteriore ora per mangiare metà della parte restante, ossia un ottavo di pizza.

Il pasto di Parmenide prosegue quindi in questo modo: ogni ora Parmenide mangia metà della pizza rimanente e gli rimane l'altra metà.
Per illustrare la situazione alla classe, si mostra la presentazione parmenide_pizza.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI.
Si pongono alla classe le seguenti domande:

1. Dopo 5 ore, quanta pizza sarà rimasta a Parmenide ancora da mangiare? E dopo 8 ore?
2. Se la pizza completa pesa 400 g, quanto pesa la pizza rimanente dopo 8 ore?

Calcoliamo la risposta alle domande. Ogni ora, la quantità di pizza si dimezza. Dopo un'ora è 1/2, poi 1/4 (cioè 1/2²), poi 1/8 (cioè 1/2³), e così via. Dopo 5 ore sarà rimasto quindi 1/2⁵ = 1/32 di pizza. Dopo 8 ore, sarà rimasto invece 1/2⁸ = 1/256 di pizza, veramente pochissimo!
Se il peso iniziale della pizza è di 400 g, allora il peso della pizza rimanente dopo 8 ore è di 400 g x 1 / 256, ossia circa 1,5 grammi!

Passiamo quindi ora alla domanda cruciale: dopo quanto tempo Parmenide finisce la sua pizza?
Si avvia una discussione in classe lasciando che ogni studente condivida la propria opinione e argomenti sul perché. L'insegnante proverà a giocare il ruolo del "furfante", contraddicendo quello che gli studenti dicono per spingerli ad argomentare meglio la loro posizione.
La riposta è che Parmenide non finirà mai la sua pizza, perché - per quanto piccolo - ne rimarrà sempre un pezzetto.
Un consiglio: non andate a mangiare la pizza con Parmenide. C'è chi c'è rimasto... letteralmente!

ZENONE E LA PIZZA

Si continua raccontando alla classe che anche a Zenone, un caro amico di Parmenide, piace la pizza. A differenza di Parmenide, tuttavia, Zenone riesce a mangiare la pizza sempre alla stessa velocità. Vediamo la situazione più nel dettaglio.
All'inizio abbiamo un pizza intera e Zenone ne mangia metà in mezz'ora.
Zenone impiega poi solo quindici minuti per mangiare metà della parte restante, ossia mangia un quarto di pizza in un quarto d'ora.
Successivamente Zenone impiega sette minuti e mezzo (la metà di quindici minuti) per mangiare la parte restante, ossia un ottavo di pizza.

Il pasto di Zenone prosegue in questo modo: Zenone, per mangiare metà della pizza rimanente, impiega metà del tempo impiegato nella volta precedente.
Per illustrare la situazione alla classe, si mostra la presentazione zenone_pizza.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI.
Si pone quindi alla classe la fatidica domanda: dopo quanto tempo Zenone avrà finito la sua pizza?
La domanda è delicata e difficile, e anche in questo caso l'insegnante lascerà gli studenti liberi di dibattere, argomentando le proprie risposte.
Da un lato la situazione non sembra differente dal caso precedente di Parmenide, perché - per quanto si mangi - rimane sempre un pezzo di pizza ancora da mangiare, per quanto piccolo questo sia. D'altro canto, la velocità con cui Zenone mangia la propria pizza è evidentemente maggiore di quella di Parmenide. Infatti, come abbiamo già notato, Zenone mangia sempre alla stessa velocità. Infatti, pensandoci attentamente, ci si rende conto che lo scorrere della lancetta dei minuti su un orologio indica esattamente la quantità di pizza mangiata da Zenone. Questo ci porta a concludere che, dopo un'ora, Zenone avrà finito la sua pizza!
Man mano che i minuti passano, e ci si avvicina a un'ora di tempo, la quantità della pizza rimasta diminuisce sempre più.

ACHILLE E LA TARTARUGA

Si legge in classe il racconto disponibile in achille_tartaruga.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI.
Nel racconto viene illustrato come Achille, pur andando più veloce della tartaruga, non riesca a raggiungerla: ogni volta che Achille copre la distanza che lo separa dalla tartaruga, la tartaruga va avanti di un ulteriore tratto, seppure più corto del precedente.
Lo scopo dell'attività non è quello di far risolvere il paradosso alla classe, ma che la classe lo comprenda. In altre parole, è importante che gli studenti da un lato si rendano conto che la conclusione è in netto contrasto con quello che accade nella realtà ma dall'altro riconoscano il valore logico dell'argomentazione.

Un'analisi matematica più approfondita del paradosso (che chiaramente esula dai nostri scopi), porta al concetto e allo studio degli infinitesimi e delle cosiddette serie numeriche: si tratta di somme di infiniti addendi che non sempre danno però un risultato infinito.

ZENONE DI ELEA

Zenone - nato ad Elea (vicino l'odierna Salerno) nel quinto secolo a.C. - è stato un filosofo greco membro della Scuola eleatica fondata da Parmenide. Ciò che sappiamo di Zenone lo dobbiamo ai testi di Platone e Aristotele. Nonostante infatti numerosi autori antichi facciano riferimento agli scritti di Zenone, nessuno di essi è pervenuto fino ai nostri giorni.

È conosciuto soprattutto per i suoi paradossi relativi all'impossibilità del moto, quattro in totale. Tra di essi, in particolare, sono noti il paradosso di Achille e la tartaruga e il paradosso paradosso dello stadio, da cui è tratta la situazione da noi presentata con la pizza. Con i suoi paradossi Zenone cattura aspetti profondi dell'infinito, e pur essendo questi testi antichi di oltre duemila anni, uno studio sistematico e rigoroso dell'infinito e dei relativi paradossi nell'ambito della matematica è relativamente recente (meno di duecento anni).

Per concludere, riportiamo le parole del filoso e matematico Bertrand Russell (1872-1970), tratte dal testo Principia Mathematica.
"In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso della fama postuma. Una delle vittime più notevoli della mancanza di giudizio della posterità è Zenone di Elea.
Ideò quattro argomenti, tutti incommensurabilmente sottili e profondi, ma la grossolanità dei filosofi successivi lo definì un semplice giocoliere ingegnoso, e bollò i suoi argomenti come puri e semplici sofismi. Dopo duemila anni di continue confutazioni, questi sofismi furono reintegrati e posti a fondamento di una rinascita matematica da un professore tedesco [ndr: Karl Weierstrass], il quale probabilmente non sospettava alcun legame tra sé e Zenone".