SCOMMETTIAMO!

Si organizzano piccole scommesse in classe. Si stampano fronte-retro e si ritagliano le banconote che si trovano in soldi_pingo.pdf nella sezione ALLEGATI e si fornisce a ciascuno studente una quantità uguale di soldi che potrà usare per scommettere sui risultati delle estrazioni delle palline colorate. La quantità di soldi da dare a ogni studente può essere liberamente scelta dall'insegnante, cercando di dare vari tagli differenti. L'insegnante dovrà tenere un certo quantitativo di soldi per sé.

Si spiega alla classe il concetto di quota. La quota indica quante volte si vince la propria giocata in caso di vittoria. Più precisamente, prima di ogni estrazione, un giocatore consegna al banco (cioè all'insegnante) una quantità di soldi a sua scelta, scommetendo su pallina verde o pallina rossa. Se perde la scommessa, il banco tiene tutti i soldi, se vince, il banco consegna allo stuente la quantità di soldi da lui giocata moltiplicata per la quota. Ad esempio se la quota della pallina verde è 1,7 e uno studente gioca 5$ su l'uscita della pallina verde ed effettivamente esce la verde, lo studente riceve 5$ × 1,7 = 8,5$ (ma perde comunque i 5$ giocati, avendo un guadagno netto di 3,5$).

Si inizia l'attività con l'esempio seguente, chiedendo agli studenti di riflettere sulle quote offerte e di decidere su quale colore scommettere e quanto puntare.

Dopo aver raccolto le scommesse degli studenti e aver effettuato l'estrazione, distribuiremo le vincite in base all'esito e alle quote. Si ripete l'esperimento più volte con le stesse quote e lo stesso numero di palline, cercando fra la classe argomentazioni a favore di quale scommessa sia - alla lunga - più redditizia. Per favorire i ragionamenti della classe, si può tener memoria dell'esito di 15 estrazioni alla lavagna. A questo punto ci si chiede: chi ha giocato sempre 1$ sul verde, quanto ha vinto o perso alla fine? Chi ha giocato sempre 1$ sul rosso, quanto ha vinto o perso alla fine? La risposta è che, alla lunga, è più conveniente giocare sul rosso. La pallina rossa infatti esce in media una volta su quattro, e la quota è a 5.

Si procede dunque cambiando le quote e il numero di palline per esplorare diverse situazioni, mantenendo però sempre esclusivamente palline rosse e verdi.

UNA SCOMMESSA EQUA

Si proporrà quindi la scommessa riportata in figura e si inviteranno gli studenti a giocare.

Dopo una discussione, si concluderà dapprima che sicuramente è più conveniente giocare sul rosso che sul verde, per poi arrivare a rendersi conto che - in realtà - non conviene giocare né sul rosso né sul verde, perché entrambe le scommesse portano a perdere - alla lunga - più di quanto si è giocato. Per convincersene, si può procedere come prima, facendo varie estrazioni e calcolando i soldi vinti o persi da un giocatore che gioca sempre verde o sempre rosso con la stessa quantità di soldi (per convincersene, occorrerà probabilmente fare un buon numero di estrazioni). Il punto chiave è che - essendo il numero di palline verdi uguale al numero di palline rosse - la quota equa è 2. Infatti, considerando ad esempio 20 estrazioni in media uscirà 10 volte il rosso e 10 volte il verde: se la quota è 2 e il giocatore gioca sempre su uno stesso colore, ad esempio il verde, alla fine non avrà né vinto né perso nulla, rendendo quindi equa la scommessa. Una scommessa si definisce infatti equa se - alla lunga - sia banco sia giocatore non vincono né perdono soldi.

Tuttavia, va sottolineato che la situazione iniziale dell'urna è del tutto analoga a quello che accade quotidianamente con i bookmaker (in italiano allibratori). Per esempio, in una partita di calcio la probabilità che la somma dei gol fatti da entrambe le squadre a fine partita sia pari o dispari è più o meno equivalente. Quindi, entrambi gli eventi dovrebbero essere quotati a 2. Tuttavia, dovendo garantirsi l'allibratore un margine di guadagno, solitamente pari e dispari sono quotati intorno all'1,85.

Un discorso simile vale per la Roulette. Nella Roulette una sferetta si ferma casualmente su un numero fra 0 e 36. Il giocatore ha a sua disposizione vari tipi di scommesse, fra cui rosso e nero, quotati entrambi a 2. I numeri da 1 a 36 sono infatti metà rossi e metà neri. Tuttavia lo 0 non ha alcuno colore e quando esce perde sia chi ha giocato rosso sia chi ha giocato nero: questo permette al banco - alla lunga - un margine di guadagno. In molti casinò è presente anche lo 00, che favorisce ulteriormente il banco. Per capire questa dinamica consigliamo di giocare con le seguenti quote e le seguenti urne.

Nella prima delle due urne in figura, anche se le probabilità che esca rosso o verde sono uguali, la presenza di una pallina blu rende le quote a 2 non convenienti. La seconda urna presenta invece una scommessa equa.

È importante discutere esplicitamente questi esempi in classe, facendo notare come - dal punto di vista matematico - ogni scommessa dove il banco deve guadagnare non è conveniente per il giocatore.
Man mano che gli studenti si abituano a confrontare le quote e a valutare le probabilità, possiamo introdurre scenari con tre colori. Gli studenti dovranno quindi decidere su quale colore scommettere e quanto puntare in base alle quote offerte.