LA MEDIA NELLA TAVOLA PITAGORICA

Un'attività da svolgere sulla tavola pitagorica riguarda le medie aritmetiche. È opportuno, per questa attività, che la classe conosca già il concetto di media riferito a due o più numeri. La tavola pitagorica è scaricabile nella sezione ALLEGATI.

Gli esercizi seguenti richiedono un'ampia esplorazione libera da parte della classe, all'occasione divisa in piccoli gruppi, nonché frequenti discussioni collettive sotto la guida dell'insegnante. È efficace che gli studenti ipotizzino e congetturino proprietà, che poi si riveleranno vere o false, con calma e con i tempi che sono necessari. Fornire direttamente alla classe le proprietà qui elencate senza alcuna discussione potrebbe rivelarsi poco fruttoso.

Si comincia considerando tre caselle vicine su una stessa riga. La conclusione che si cerca è che il numero centrale è la media aritmetica dei due estremi. Per esempio, in figura, 8 è la media di 6 e 10.

Si prova con la classe a generalizzare la proprietà, vedendo se vale per tutti i numeri che si trovano "al centro" fra altri due numeri.
Il primo esempio che viene in mente per generalizzare la proprietà è considerare tre caselle contigue non su una stessa riga ma su una stessa colonna. Per esempio, in figura, 12 è la media di 6 e 18.

Si possono quindi considerare tre caselle, su una stessa riga o su una stessa colonna, a distanza costante: in figura il numero 15 si trova a distanza 2 sia da 9 che da 18.

Proseguendo, si considerano tre caselle contigue né in posizione orizzontale né in posizione verticale, ma in diagonale. In questo caso la proprietà non è verificata, cioè il numero al centro non è la media dei numeri posti sugli estremi. In figura, 10 non è la media né di 4 e 18 (che è invece 11) né di 12 e 6 (che è invece 9). Come si nota, la media dei numeri differisce da 10 di un'unità, nel primo caso 11 è il numero successivo di 10 mentre nel secondo 9 è il precedente.

Le proprietà citate (media orizzontale, verticale e diagonale) valgono tutte salvo una: è importante sfidare la classe ad individuare le proprietà vere e le proprietà false. È necessario qui sottolineare che - in generale - per asserire che una certa proprietà è falsa si ha bisogno esclusivamente di un controesempio, cioè di un caso dove la proprietà espressa non valga. Per esempio, per sostenere che non sia vero che "tutte le mele nel paniere sono verdi" basta trovare una mela rossa (un controesempio). Invece, per sostenere che una certa proprietà sia vera, bisogna verificare che sia valida in ogni caso. Per esempio, per sostenere che sia vero che "tutte le mele nel paniere sono verdi", bisognerà controllare le mele una ad una. In questo contesto, una proprietà vera deve valere su tutta la tavola pitagorica, la verifica è quindi molto più complessa e, ai successivi livelli scolastici, potrà essere sostituita da una dimostrazione. Tuttavia vanno assolutamente incoraggiate argomentazioni sia a favore sia contro determinate congetture - cioè proprietà ancora incerte.

Dopo queste prime esperienze di media, si arriverà a concludere che:

• la media fra due numeri su una stessa riga è il numero al centro, se esiste (per esempio fra 1 e 4 nella prima riga non c'è un numero al centro);
• la media fra due numeri su una stessa colonna è il numero al centro, se esiste;
• la media fra due numeri su una stessa diagonale non è la media del numero al centro. Tuttavia, per 3 numeri vicini in diagonale dall'alto a sinistra verso il basso a destra - come 4, 10, 18 nella figura precedente - il numero al centro è la media meno 1. Se abbiamo a che fare con l'altra diagonale (dal basso a sinistra verso l'alto a destra), sempre con tre numeri contigui, il numero centrale supera di 1 la media.

Quest'ultima osservazione ci porta verso una proprietà ancora più interessante. Si considerano quattro numeri ai vertici di un quadrato. Questo quadrato può avere o meno un centro (il centro si ha se la lunghezza del lato del quadrato è dispari: per esempio il quadrato 1 - 3 - 9 - 3 ha come centro il numero 4, mentre il quadrato 1 - 2 - 4 - 2 non ha centro). Il numero al centro del quadrato, se esiste, è la media dei numeri che compaiono nei quattro vertici. Nell'esempio in figura, 10 è la media fra 4, 6, 12 e 18. Questo accade perché la media fra le medie delle diagonali è proprio 10.

Mettendo insieme alcune delle proprietà viste, si può vedere che tutti gli 8 vicini di un numero (cioè gli 8 numeri presenti nelle celle che circondano una determinata cella) hanno come media il numero stesso. Per esempio, nel caso in figura, si ha che la media fra 4, 6, 8, 12, 16, 12, 8, 6 è proprio 9. Se si fa riferimento a numeri più grandi della tavola pitagorica la verifica della proprietà può diventare laboriosa e richiedere forse l'uso della calcolatrice.

I PRODOTTI NELLA TAVOLA PITAGORICA

Si considera un qualsasi rettangolo e si individuano i suoi vertici (per esempio in figura, 6 10 25 15 nel rettangolo rosso e 42 70 100 60 nel rettangolo verde).

Si chiede quindi se esista una qualche proprietà che caratterizza questi numeri che si trovano sui vertici, in particolare si suggerisce alla classe di cercare proprietà riguardanti il prodotto. Dopo qualche esempio si arriva a concludere che il prodotto di due vertici opposti è uguale al prodotto degli altri due: per esempio 6 × 25 = 10 × 15 nel rettangolo rosso, mentre 42 × 100 = 70 × 60 nel rettangolo verde.
Per capire perché questo accada, prendiamo come esempio il rettangolo rosso, dove 6 × 25 = 10 × 15. Osservando la tavola pitagorica, vediamo che 6 è ottenuto come 3 × 2, 25 come 5 × 5, 10 come 5 × 2 e 15 come 3 x 5. Riscrivendo l'uguaglianza 6 × 25 = 10 × 15 otteniamo dunque 3 × 2 × 5 × 5 =  5 × 2 × 3 x 5, come si nota a sinistra e a destra dell'uguale abbiamo gli stessi fattori in diverso ordine: per la proprietà commutativa l'uguaglianza è verificata.
Analogamente, per il rettangolo verde, il prodotto 42 × 100 = 70 × 60 può essere riscritto come 6 × 7 × 10 × 10 = 7 × 10 × 6 × 10.
Un caso particolare più semplice - da cui si può partire per presentare il problema - si ha quando il rettangolo è un quadrato formato da quattro numeri vicini, come in figura (e.g. 6 × 12 = 9 × 8 e 56 × 72 = 63 × 64). Anche in questo caso possiamo convincerci dell'uguaglianza riscrivendo 6 × 12 = 9 × 8 come 3 × 2 × 4 × 3 = 4 × 2 × 3 × 3.

NOTA STORICA:

Nonostante il nome, non sembrano esserci prove per attribuire ai pitagorici la tavola pitagorica. Per approfondire il discorso clicca qui.