QUADRATI CHE TERMINANO PER 0 O PER 5

Il quadrato di un numero si ottiene moltiplicando il numero con sé stesso. Per esempio, il quadrato di 7 (indicato con 7²) è 7 × 7 = 49.
Con la seguente attività ci si propone di far scoprire alla classe metodi rapidi per calcolare quadrati in casi particolari.

QUADRATI CHE TERMINANO PER 0

Per determinare il quadrato di un numero la cui ultima cifra è 0, il procedimento è molto semplice: basta non considerare lo 0, calcolare il quadrato della parte rimanente e aggiungere due zeri alla fine. Per esempio, il quadrato di 30 è 900 perché 3 × 3 = 9, mentre il quadrato di 80 è 6400.
Anche se la tecnica è semplice, vale la pena lasciare che la classe la scopra da sola analizzando vari esempi. Si consegna alla classe la scheda quadrati_zero.pdf che si trova nella sezione ALLEGATI, lasciando che gli studenti scrivano - singolarmente o in piccoli gruppi - le proprie osservazioni per arrivare poi a una conclusione condivisa.

QUADRATI CHE TERMINANO PER 5

Per determinare il quadrato di un numero che termina per 5 il discorso è più complesso, ma esiste un "trucco" che vale la pena conoscere.
Analizziamo alcuni casi: 25 × 25 = 625, 35 × 35 = 1225, 55 × 55 = 3025. La prima osservazione è che tutti i quadrati calcolati terminano per 25. Facciamo ora attenzione alle cifre che precedono il 25 nei vari prodotti:

• in 25 × 25 compare 6
• in 35 × 35 compare 12
• in 55 × 55 compare 30

Come si ottengono il 6, il 12 e il 30?
La risposta non è immediata, ma il metodo - una volta noto - è facile da applicare: basta moltiplicare il numero delle decine per il suo successivo!

• per ottenere 6 si fa 2 × (2 + 1) = 2 × 3 = 6
• per ottenere 12 si fa 3 × 4 = 12
• per ottenere 30 si fa 5 × 6 = 30

Quindi per calcolare il quadrato di un numero che termina per 5 bisogna moltiplicare il numero delle decine per il suo successivo e aggiungere 25 alla fine.
Per esempio, per calcolare 75 × 75, si calcola dapprima 7 × 8 = 56 scrivendo poi 25 di seguito: 75 × 75 = 5625. Per calcolare invece 85 × 85, si calcola dapprima 8 × 9 = 72 scrivendo poi 25 di seguito: 85 × 85 = 7225.
Lo stesso discorso vale anche per numeri maggiori di 100: per calcolare 125 × 125 si calcola 12 × 13 = 156 e si scrive 25 di seguito, ottenendo 125 × 125 = 15625.

Anche in questo caso, suggeriamo di guidare la classe verso una scoperta relativamente autonoma. Si consegna alla classe la scheda quadrati_cinque.pdf lasciando che gli studenti scrivano le proprie osservazioni. Probabilmente, molti noteranno che tutti i quadrati terminano per 25; sarà poi l'insegnante a guidarli verso un'analisi più approfondita delle cifre che precedono il 25.
Il perché questa tecnica funzioni esula dai programmi della primaria, forniamo la spiegazione agli insegnanti interessati nell'approfondimento in fondo alla pagina.

Per consolidare i concetti appresi e tenerli vivi nel tempo, suggeriamo di giocare a PITAGORAS GAME (disponile alla pagina www.oiler.education/pitagoras) con la L.I.M. o in aula informatica.
Nella pagina iniziale si seleziona esclusivamente la modalità QUADRATI, come mostrato in figura.

In questa modalità compaiono le piramidi del prodotto, di cui abbiamo parlato nella sezione Calcoli a mente I, dove il numero da scrivere in alto è il prodotto dei numeri alla base della piramide.

UN'APPLICAZIONE: LA DISTANZA DI SICUREZZA

Quando si guida è importante mantenersi ad un'opportuna distanza dal veicolo che ci precede, in modo da evitare tamponamenti in caso di frenata. Chiaramente, poiché né l'automobile né il conducente sono in grado di reagire istantaneamente ad una frenata del veicolo davanti, tanto più si va veloce tanto più grande deve essere la distanza di sicurezza.

Per determinare la distanza di sicurezza (espressa in metri) a partire dalla propria velocità è spesso suggerita la seguente regola: si calcola il quadrato del numero che esprime la propria velocità e lo si divide per 100. Quindi, ad esempio, se stiamo andando a 50 km/h dovremmo mantenere una distanza di 50 × 50 ÷ 100 metri (cioè 25 metri), mentre se stiamo andando a 75 km/h dovremmo mantenere una distanza di 75 × 75 ÷ 100 metri (cioè circa 56 metri).
Tutte le velocità si possono approssimare (con un buon grado di approssimazione) con un numero che termina per 0 o per 5: se stiamo andando a 64 km/h è spontaneo dire che stiamo andando a 65 km/h. Quindi, le due tecniche appena viste, sono sufficienti per aiutarci a calcolare le distanze di sicurezza in macchina in modo rapido.

LA MEDIA E LO SCARTO

La media aritmetica di due numeri è quel numero che si trova "a metà" fra i due numeri dati. Per esempio, la media fra 5 e 11 è 8, mentre non c'è un numero intero che esprima la media fra 4 e 7.
In termini più precisi, la media fra due numeri si calcola sommando i due numeri fra loro e dividendo il risultato per 2. Difatti, 5 + 11 = 16 che è il doppio di 8, mentre 4 + 7 fa 11 che non è divisibile per 2 nei numeri interi.
Si chiama invece scarto la distanza della media da ciascuno dei due numeri. Per esempio, 8 e 20 hanno media 14 con scarto 6 perché 14 – 8 fa 6 (così come 20 – 14) .

Dopo aver introdotto alla classe il concetto di media fra due numeri, e quindi di scarto, si possono consegnare gli esercizi esercizi_media.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI.
Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file esercizi_media_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati. Le ultime domande della scheda di esercizi collegano il fatto che la media sia intera con il fatto che i numeri coinvolti siano pari o dispari, in particolare la media è intera se i due numeri sono entrambi pari o entrambi dispari.

MANIPOLARE NUMERI

Un utile prerequisito per il seguito è che la classe sia in grado di manipolare dei numeri a disposizone per ottenere un risultato voluto tramite certe operazioni (somma, differenza, prodotto, divisione). Per esempio, si possono usare 2 e 3 per ottenere 5 (con la somma), 6 (con il prodotto) o 1 (con la differenza). Esercizi più complicati vedono più numeri a disposizione: dati i numeri 3, 4 e 5 si può ottenere il numero 17 come 3 × 4 + 5 oppure come 5 × 4 – 3. Questa tipologia di giochi può essere proposta in qualsasi momento durante l'anno. Nella sezione ALLEGATI si trovano gli esercizi esercizi_manipolazione.pdf con alcune proposte e il file esercizi_manipolazione_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati. La regola fondamentale è che i numeri a disposizione vanno usati tutti una e una sola volta; inoltre bisogna fare attenzione che ci sia almeno una soluzione: se i numeri e il risultato vengono scelti a caso, non è detto che sia possibile ottenere il risultato desiderato.
Per completezza, lasciamo le soluzioni agli esercizi proposti: 13 + 7 = 20, 7 + 8 – 5 = 10, 3 × 4 + 5 = 17, 3 × 5 – 4 = 11, 8 ÷ 2 + 3 = 7, 3 × 3 + 3 ÷ 3 = 10, 3 × 3 + 4 × 5 = 29.

MANIPOLARE MEDIA E SCARTO PER ESEGUIRE PRODOTTI

Quando la classe ha raggiunto una certa padronanza sui concetti di media e di scarto e sulla manipolazione di numeri (anche riprendendo gli argomenti in più lezioni) si prosegue con la fase successiva.
L'argomento di questa sezione è un argomento che compare esplicitamente nei curricula della scuola secondaria (sia di primo sia di secondo grado), noto come prodotto notevole somma per differenza. Anche se una trattazione esplicita e dettagliata non è proponibile in una scuola primaria, riteniamo che una qualche intuzione sull'argomento - limitata ad alcuni casi particolari - sia estremamente utile per affrontare poi con consapevolezza gli studi successivi.

L'obiettivo centrale dell'attività è scoprire che per eseguire il prodotto fra due numeri si può, in alternativa, sottrarre al quadrato della media dei due numeri il quadrato dello scarto.
Per esempio, invece di calcolare direttamente 7 × 13, si può calcolare la media (cioè 10), lo scarto (cioè 3) ed eseguire 10 × 10 – 3 × 3 = 100 – 9 = 91, che è proprio 7 × 13.
Come altro esempio, invece di calcolare 19 × 23, si può eseguire 21 × 21 – 2 × 2 = 441 – 4 = 337. Il procedimento, pur non rivelandosi utile in tutti i casi, semplifica vari prodotti.

Per gli studenti, capire il procedimento in maniera autonoma è probabilmente troppo difficile. Anche se saranno quindi necessarie indicazioni e aiuti da parte dell'insegnante, suggeriamo di dare alla classe il tempo per ragionare ed esplorare la situazione. Seguendo la linea suggerita dal file esercizi_prodotto_media.pdf, si invita la classe a manipolare la media e lo scarto di una coppia di numeri per ottenere il loro prodotto. Differentemente da quanto visto nella sezione sulla manipolazione, in questo caso è permesso usare i numeri più di una volta: infatti, media e scarto, verranno usati due volte ciascuno.
Con i tempi opportuni e tramite molti esempi, si giungerà alla conclusione desiderata: il prodotto fra due numeri si può ottenere anche come differenza fra il quadrato della media e il quadrato dello scarto.

UNA TECNICA SEGRETA

Nella formula appena scoperta, come si nota, è coinvolto il calcolo di quadrati. Nella prima sezione QUADRATI CHE TERMINANO PER 0 O PER 5 abbiamo visto come calcolare rapidamente i quadrati di certi numeri. Questo vuol dire che, se la media fra due numeri di cui si vuole calcolare il prodotto termina per 0 o per 5, il procedimento è più rapido.
Consideriamo, ad esempio, i numeri 28 e 32. Eseguire a mente il prodotto 28 × 32 è molto difficile, ma ricorrendo alle tecniche viste diventa fattibile. La media fra 28 e 32 è 30, mentre lo scarto è 2. Calcolare 28 × 32 è quindi equivalente a calcolare 30² – 2²; d'altra parte 30² è uguale a 900 mentre 2² è chiaramente 4. In definitiva, 28 × 32 = 900 – 4 = 896.
Come altro esempio proponiamo 24 × 26, dove la media dei due fattori è 25 e lo scarto 1. Per quanto visto nella prima sezione, 25² è 625; dunque il prodotto cercato è 24 × 26 = 25² – 1² = 625 – 1 = 624.

Per padroneggiare questa tecnica di calcolo è necessario fare molti esercizi. Suggeriamo in proposito PITAGORAS GAME (disponile alla pagina www.oiler.education/pitagoras), selezionado la modalità QUADRATI PLUS nella pagina iniziale.

Nell'immagine seguente, per eseguire il prodotto 38 × 42 si calcola 40² – 2² ottenendo 1600 – 4 = 1596.

APPROFONDIMENTO: QUADRATI CHE TERMINANO PER 5

Qualunque numero che termina per 5 può essere scritto in termini algebrici come 10 × n + 5 (con n numero naturale). Per esempio 45 è 10 × 4 + 5.
Il quadrato di un numero che termina per 5 è dunque (10 × n + 5)² = 100 × n² + 100 × n + 25 (usando il quadrato del binomio). Mettendo 100 × n a fattor comune nei primi due termini, si ottiene  100 × n × (n + 1) + 25, da cui si nota che il numero termina per 25 e ha n × (n + 1) centinaia.

APPROFONDIMENTO: QUADRATI CHE COMINCIANO PER 5

Un'ulteriore tecnica di calcolo rapido si applica ai quadrati di numeri di due cifre che cominciano per 5, come 51² oppure 56².
Per eseguire il quadrato, basta sommare 25 con la cifra delle unità e aggiungere il quadrato delle unità alla fine. Per esempio, per calcolare 53² si esegue 25 + 3 = 28 e si aggiunge 3 × 3 = 9 alla fine: 53 × 53 = 2809.
Come altro esempio, per calcolare 56² si esegue 25 + 6 = 31 e si aggiunge 6 × 6 = 36 alla fine: 56 × 56 = 3136.
Vediamo ora una giustificazione in termini algebrici: un numero di due cifre che comincia per 5 può essere scritto come 50 + z.
Usando il quadrato del binomio, otteniamo (50 + z)² = 2500 + 100 × z + z², da cui si nota che le ultime due cifre sono ottenute calcoalndo z² e le prime due da 2500 + 100 × z.