RIGA E COMPASSO NELLA STORIA

L'uso di riga e compasso per la costruzione di figure geometriche risale all'antichità. Questi sono sicuramente gli strumenti su cui si basa la geometria greca, e in particolare quella di Euclide, vissuto tra il 4° e il 3° secolo a.C. Tuttavia, già in epoche precedenti, Babilonesi e altri popoli si erano posti problemi di geometria che si risolvevano con l’uso di una riga e di un compasso. Non sappiamo chi inventò questi strumenti, ma certo nella preistoria si trovano oggetti rettilinei che possono fungere da riga (ricordiamo che la riga della matematica greca non è graduata, cioè non ha tacche in corrispondenza a lunghezze predeterminate come il nostro righello). Per quanto riguarda il compasso, è facile immaginare che – se si fissa una corda a un chiodo – l’altro estremo della corda può ruotare in modo da formare una circonferenza. Si tratta di un compasso rudimentale usato non solo nell’antichità, ma anche in epoca moderna quando bisogna lavorare in spazi grandi, per esempio per costruire una piazza rotonda.
Quanto al classico compasso formato da due aste collegate da un perno, sicuramente era noto ai Greci, ai Romani e a tanti altri popoli. Il compasso ideale usato da Euclide aveva però una caratteristica diversa da quelli odierni: era chiaramente abbastanza stabile da consentire di tracciare una circonferenza se una delle due punte era ferma nel centro e l’altra ruotava intorno, ma non abbastanza da essere sollevato per riportare una lunghezza. In altre parole, una volta disegnata una circonferenza, il compasso "si chiudeva” e non manteneva l’apertura. A livello teorico – tuttavia – la possibilità di riportare lunghezze con il compasso non è necessaria e tutto ciò che può essere costruito con il compasso odierno può essere costruito con il compasso euclideo (naturalmente con un maggiore numero di passaggi).
Le costruzioni iniziali presentate da Euclide negli Elementi, basate appunto sull’uso di riga e compasso, sono le seguenti:

• tracciare la retta per due punti distinti
• tracciare una circonferenza dati centro e raggio (l’apertura del compasso)
• prolungare un segmento a piacere

A partire da queste costruzioni, Euclide ne fa tante altre. Mostra infatti come costruire – ad esempio – il punto medio di una segmento, un triangolo equilatero, un quadrato, una retta parallela ad un’altra, un angolo retto. Euclide spiega anche – tramite i suoi teoremi – perché una data costruzione funzioni, cioè perché porti effettivamente al risultato desiderato.
I Greci non riuscivano però a fare tutte le costruzioni con riga e compasso, e certe situazioni mettevano loro in crisi. Per esempio non riuscivano a costruire i poligoni regolari con 7, 9 o 17 lati; oppure, anche se era facile tracciare la bisettrice di un angolo, non erano in grado – in generale – di dividere un angolo in tre parti uguali, cioè trisecare l’angolo. Riuscivano a costruire un quadrato che avesse la stessa area di un rettangolo dato (costruzione assolutamente non facile), ma non un quadrato che avesse la stessa area di un cerchio dato. Ci sono voluti secoli per dimostrare che – per molti di questi problemi – non era colpa dei Greci: alcune costruzioni non sono oggi e non saranno mai fattibili usando solamente riga e compasso.
I Greci erano comunque in grado di aggirare il problema ed effettuare certe costruzioni appogiandosi ad altre tecniche: per esempio, nel V secolo a.C., Ippia usò una curva che chiamò quadratrice per trisectare l'angolo e quadrare il cerchio, e Nicomede nel II secolo a.C. mostrò come usare una concoide per trisecare un angolo arbitrario.
Nonostante la presenza di costruzioni non eseguibili, le costruzioni con riga e compasso sono state e sono molto importanti per la misurazione di campi, la navigazione, l’astronomia, l’architettura, la costruzione di macchine.
Dopo Descartes (1596-1650), le costruzioni con riga e compasso sono state “immerse” in un piano cartesiano. È stato così possibile interpretarle come equazioni e sistemi di equazioni, usando un metodo algebrico per individuare punti, lunghezze, etc. Quest'algebrizzazione ha permesso inoltre di mostrare che alcune delle costruzioni che i Greci non avevano saputo portare a termine erano in effetti impossibili. Con contributi di Évariste Galois (1811-1832) e Pierre Wantzel (1814-1848) e, in seguito, di Ferdinand Lindemann (1852-1839) si arrivò a provare l'impossibilità di trisecare un angolo arbitrario, di quadrare il cerchio e di raddoppiare il volume di un cubo usando esclusivamente riga e compasso.

D'altra parte altre costruzioni che i Greci non erano riusciti a affettuare sono state risolte: in particoalre, nel 1796, Gauss dimostrò come costruire con riga e compasso un poligono regolare con 17 lati; cinque anni dopo enunciò il criterio perché un poligono regolare di n lati sia costruibile.

Concludiamo con una piccola osservazione che faceva il matematico Franco Conti (1943-2003) durante la visita alla mostra "Oltre il compasso" da lui ideata con Enrico Giusti. Per tracciare una retta bisogna già avere a disposizione un'altra retta (cioè la riga), in modo da seguirne la sagoma. Per fare invece una circonferenza non è obbligtorio avere una circonferenza come sagoma, ma basta uno spago. Se si prova a tracciare una retta tenendo teso uno spago il risultato sarà poco soddisfacente.

ATTIVITÀ CON RIGA E COMPASSO

Si consegna alla classe la scheda di lavoro costruzione_piano_cartesiano.pdf. Nella scheda viene chiesto di ricostruire il piano cartesiano sempre usato in Dekart a partire dai tre punti forniti, usando solamente riga e compasso. In particolare, sottolineiamo nuovamente che la riga deve essere non graduata: non si possono misurare le distanze con il righello per poi riportarle.
L'attività nasconde molte insidie e si lascerà alla classe il tempo necessario per esplorare liberamente la situazione. Fornire direttamente alla classe la costruzione da svolgere come un esercizio meccanico è probabilmente poco utile.
L'idea è di cominciare tracciando i due assi con la riga.

Successivamente si riporta la lunghezza unitaria con una circonferenza in modo da ottenere via via i punti dei due assi. In figura, ad esempio, è stato costruito il punto (2, 0), mostrato in rosso.

Centrando poi il compasso in (2, 0) e aprendo fino a (1, 0) si riesce ad individuare il punto (3, 0).
Molto più complicato è invece trovare tutti gli altri punti. Bisogna infatti avere l'idea di usare l'intersezione di due circonferenze per individuare le rette parallele agli assi cartesiani.

Nella figura sopra, è mostrato come individuare la retta parallela all'asse verticale passante per (1, 0). Similmente si possono trovare tutte le rette verticali passanti per (2, 0), (3, 0), etc.

In modo analogo, si trovano tutte le rette orizzontali passanti per i punti (0, 1), (0, 2), etc. Ad esempio, in figura, è mostrato come trovare la retta orizzontale passante per (0, 7).

Dall'intersezione delle rette orizzontali e verticali si ottiene tutto il piano cartesiano.