Le seguenti attività possono essere proposte alla classe in modo graduale nel tempo, partendo dalle costruzioni più semplici. È importante che l'insegnante non riveli subito agli studenti i passaggi per eseguire le varie costruzioni, ma che condivida solamente l'obiettivo finale della costruzione. In una prospettiva di problem solving, gli studenti procederanno per tentativi ed errori, collaborando fra di loro e confrontandosi sulle diverse strategie adottate. Fornire direttamente il procedimento completo riduce l'attività a un semplice esercizio meccanico. Una volta finita la costruzione, la classe sarà invitata ad argomentare sul perché la costruzione eseguita porti effettivamente all'obiettivo preposto.

Con l'attivà precedente Riga e compasso, la classe ha scoperto che la tavola di Dekart può essere costruita a partire da tre suoi punti. Per le costruzioni qui di seguito proposte, la tavola di Dekart può essere quindi abbandonata e sostituita da un semplice foglio bianco.

TRIANGOLO EQUILATERO CON BASE ASSEGNATA

Un triangolo equilatero è un triangolo in cui tutti e tre i lati hanno la stessa lunghezza. Si chiede agli studenti di tracciare, con la riga, un segmento a piacere sul foglio (in verde in figura).
L'obiettivo è costruire un triangolo equilatero (in rosso in figura) che abbia quel segmento come uno dei lati.

Per farlo, basta puntare il compasso in un estremo del segmento aprendo fino all'altro estremo e viceversa. Il triangolo ottenuto è equilatero, perché i tre lati sono raggi di circonferenze uguali.

PUNTO MEDIO

Il punto medio di un segmento è il punto del segmento equidistante dagli estremi del segmento. Si chiede agli studenti di tracciare, con la riga, un segmento a piacere sul foglio (in verde in figura).
L'obiettivo è costruire il punto medio (in rosso in figura).

La costruzione è simile a quella del triangolo equilatero: con riferimento alla figura, si tratta di congiungere le due intersezioni delle circonferenze. Anche se una dimostrazione formale del perché la costruzione sia corretta è complicata, per convincersi della correttezza della costruzione si potrà piegare il foglio facendo coincidere gli estremi del segmento e verificando che il punto medio si trova effettivamente nella piega.

PERPENDICOLARE AD UNA RETTA DATA

Questa è una delle costruzioni fondamentali in geometria. Si chiede agli studenti di tracciare, con la riga, una retta a piacere (verde in figura) e di segnare un punto a piacere su questa retta (verde scuro in figura).
L'obiettivo è costruire una retta perpendicolare alla retta inizialmente tracciata passante per il punto scelto (in rosso in figura).

Per farlo, si punta il compasso nel punto verde con apertura a piacere, individuando altri due punti sulla retta verde. A questo punto si segue la costruzione del punto medio con i due punti appena trovati, individuando la retta rossa. Per convincersi che la costruzione sia corretta, si possono misurare gli angoli con il goniometro o confrontarli con l'angolo di un foglio di carta.

BISETTRICE

La bisettrice di un angolo è quella semiretta che divide l'angolo in due angoli uguali. Si chiede alla classe di tracciare, con la riga, due semirette con origine in comune (in verde in figura), individuando un angolo.
L'obiettivo è costruire la bisettrice dell'angolo individuato (in rosso in figura).

La costruzione è simile a quella del punto medio: si punta il compasso nell'origine comune delle due semirette con apertura a piacere, individuando un punto su ogni semiretta. Si procede quindi puntando il compasso in uno dei due punti così individuati, con apertura fino all'altro punto, e viceversa: unendo l'origine delle due semirette con una delle due intersezioni delle circonferenze si ottiene la bisettrice. Per giustificare la costruzione, si può piegare la carta in modo da far combaciare le due semirette, notando che la piega è effettivamente la retta rossa.

PARALLELA A UNA RETTA DATA

Una linea parallela a una retta data è una linea che non incontra mai quella retta, non importa quanto venga prolungata. Questa è un'altra costruzione geometrica fondamentale. Si chiede agli studenti di tracciare una retta a piacere.
L'obiettivo è individuare una qualsiasi retta parallela alla retta tracciata. Per farlo, si esegue due volte la costruzione della perpendicolare illustrata sopra, considerando punti a piacere da cui far partire la perpendicolare.

QUADRATO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DATA

Un quadrato inscritto in una circonferenza è un quadrato i cui quattro vertici appartengono alla circonferenza. Si chiede agli studenti di tracciare, con il compasso, una circonferenza a piacere (in verde in figura).
L'obiettivo è costuire un qualsiasi quadrato inscritto nella circonferenza disegnata (in rosso in figura).

Per farlo si traccia un qulasiasi diametro, disegnando una retta che passa per il centro. A questo punto si esegue la costruzione della perpendicolare passante per il centro: congiungendo i quattro punti individuati sulla circonferenza si ottiene un quadrato. Per giustificare la costruzione si possono misurare i lati e gli angoli.

ESAGONO REGOLARE INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA DATA

Si chiede agli studenti di tracciare una circonferenza a piacere (in verde in figura). L'obiettivo è costruire un esagono regolare inscritto nella circonferenza (in rosso in figura).

Questa costruzione è tanto semplice nella pratica quanto complessa teoricamente. Per costuire l'esagono regolare basta riportare il raggio lungo la circonferenza: magicamente il settimo punto coincide con il punto iniziale. In questo caso l'insegnante deve fornire un suggerimento esplicito su come procedere. Per giustificare il procedimento, basta notare che riportando una volta il raggio lungo la circonferenza e congiungendo gli estremi individuati con il centro della circonferenza si ottiene un triangolo equilatero. In particolare l'angolo al centro è di 60°: riportando quindi sei volte il raggio si completa esattamente l'angolo giro.

A partire dall'esagono, è facile individuare un triangolo equilatero prendendo un vertice sì e un vertice no.

QUADRATO DI LATO ASSEGNATO

Anche se costurire un quadrato iscritto in una circonferenza non è troppo difficile, è più laborioso invece costruire un quadrato partendo da un lato assegnato. Si chiede agli studenti di tracciare un segmento a piacere.
L'obiettivo è costruire un quadrato che abbia come uno dei lati il segmento disegnato. Per farlo, si tracciano le due perpendicolari al segmento passanti per i due estremi. Con il compasso si riporta la lunghezza del segmento sulle due perpendicolari. Infine si congiungono i due lati ottenuti in modo da chiudere il quadrato.