Due concetti fondamentali in teoria degli insiemi sono quelli di unione e intersezione.

Si definisce unione fra due insiemi l'insieme che ha per elementi tutti gli elementi del primo insieme e tutti gli elementi del secondo (contando un elemento una sola volta se compare in entrambi gli insiemi). Dunque, ad esempio, l'unione fra l'insieme A = {1, 2, 5} e l'insieme B = {2, 4, 8} è l'insieme C = {1, 2, 4, 5, 8}.

Si definisce intersezione fra due insiemi l'insieme che ha per elementi tutti quegli elementi che compaiono sia nel primo insieme sia nel secondo, cioè gli elementi in comune.
Dunque, ad esempio, l'intersezione fra A = {1, 2, 5, 7} e B = {1, 4, 5, 8} è l'insieme C = {1, 5} perché gli elementi 1 e 5 compaiono sia nell'insieme A sia nell'insieme B.

È possibile che due insiemi non abbiamo elementi in comune, per esempio gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}. In questo caso i due insiemi si dicono disgiunti e l'intersezione è l'insieme vuoto (i.e. quell'insieme che non ha elementi).

L'UNIONE

Si introduce il concetto di unione alla classe e si consegnano gli esercizi che si trovano nella sezione ALLEGATI (esercizi_unione_frutta.pdf, esercizi_unione_figure.pdf, esercizi_unione_numeri.pdf). Nella prima pagina di ogni pdf si trovano esercizi in cui dati due insiemi bisogna trovare la loro unione. Nella seconda pagina, si trovano invece esercizi dove data l'unione di due insiemi e uno dei due insiemi, bisogna costruire il secondo insieme in modo che l'uguaglianza sia verificata. Per questa seconda tipologia di esercizi, la risposta non è unica. Per esempio, se si sa che A unione B = {1, 2, 3, 4, 5} e che A = {1, 2, 3} allora B potrebbe essere B = {4, 5}, oppure {3, 4, 5}, oppure {2, 3, 4, 5}, oppure {1, 2, 3, 4, 5} oppure altri ancora - l'unica cosa fondamentale è che in B compaiano 4 e 5 e che non compaiano altri elementi oltre 1, 2 e 3.
Lasciamo in figura un altro esempio di esercizio con una possibile soluzione.

Negli ALLEGATI si trova inoltre il file esercizi_unione_libero.pdf con cui l'insegnante può creare i propri esercizi.

Si procede quindi a lavorare con le tavole di Zermelo, dove è facile realizzare l'unione. Per realizzare l'unione fra due tavole di Zermelo, basta infatti affiancare le due tavole, appunto unendole (non tenendo conto di eventuali elementi ripetuti). Si può quindi procedere ai consueti esercizi con furfante e cavaliere, analizzando le due tavole come fossero un'unica tavola.
Per esempio, nella figura di seguito, la tavola con le due persone in giacca e cravatta è stata unita alla tavola con le due persone in maglietta blu. Lo studente, affermando "almeno una persona ha il cappello", si sta riferendo all'unione delle due tavole, che contiene 4 persone.

L'INTERSEZIONE

Dopo aver introdotto il concetto di intersezione alla classe, si possono consegnare gli esercizi che si trovano nella sezione ALLEGATI (esercizi_intersezione_frutta.pdf, esercizi_intersezione_figure.pdf, esercizi_intersezione_numeri.pdf). Nella prima pagina di ogni pdf si trovano esercizi in cui dati due insiemi bisogna trovare la loro intersezione. Nella seconda pagina, si trovano invece esercizi dove data l'intersezione di due insiemi e uno dei due insiemi, bisogna costruire il secondo insieme in modo che l'uguaglianza sia verificata. Per questa seconda tipologia di esercizi, la risposta non è unica. Per esempio, se si sa che A intersezione B = {1, 2} e che A = {1, 2, 3} allora come insieme B andrà bene qualsiasi insieme che contenga 1 e 2 e non contenga 3, ad esempio B = {1, 2, 14, 782}.
Negli ALLEGATI si trova inoltre il file esercizi_intersezione_libero.pdf con cui l'insegnante può creare i propri esercizi.

Per realizzare l'intersezione con le tavole di Zermelosi procede, invece, in due fasi. La prima consiste nel trovare gli elementi comuni a due tavole date, scrivendoli o disegnandoli (in figura, l'intersezione è riportata con un bordo rosso). In un secondo momento, si procede alla descrzione dell'intersezione, senza più considerare i due insiemi da cui si è partiti.
In figura, lo studente - dicendo "c'è almeno un animale con quattro zampe" - si sta riferendo all'insieme contornato di rosso che contiene solo il cane, il cavallo e la civetta.

Indichiamo di seguito coppie di tavole di Zermelo con cui è possibile fare l'intersezione, divise per categoria (il numero di ogni tavola è indicato sulla tavola in basso):

• PERSONE: 21 e 6, 21 e 7, 22 e 14, 22 e 15, 22 e 6, 23 e 19, 23 e 20, 24 e 11, 24 e 10, 24 e 8.
• ANIMALI: 19 e 12, 19 e 13, 20 e 11, 20 e 16, 21 e 8, 21 e 15, 21 e 18.
• FIGURE: 25 e 19, 25 e 15, 26 e 14, 26 e 18, 27 e 12, 27 e 13, 27 e 17, 28 e 11, 28 e 20, 29 e 10, 29 e 21.
• NUMERI: 19 e 1, 19 e 2, 20 e 5, 20 e 6, 21 e 9, 21 e 10, 22 e 13, 22 e 17.

L'UNIONE E I QUANTIFICATORI

Un aspetto interessante riguarda il rapporto fra l'unione e le frasi in cui compaiono i quantificatori "per ogni" (∀) ed "esiste" (∃).

Prendiamo in considerazione l'esempio seguente, dove lo studente afferma - riguardo all'unione di due tavole - che tutte le figure in questione sono triangoli. In altre parole "∀ figura della tavola unione, quella figura è un triangolo".

Una domanda che viene spontanea è se la stessa affermazione continui a valere quando si considerano le due tavole separatamente.
Una volta che lo studente avrà fatto la sua affermazione usando il "per ogni" (o indifferentemente la parola "tutti"), l'insegnante ripeterà l'affermazione prima riferendosi ad una sola delle due tavole e poi all'altra. Lo studente dovrà capire se a parlare è un cavaliere o un furfante.

Si noterà quindi che, se un'affermazione del tipo "per ogni..." viene fatta da un cavaliere su una tavola unione, la stessa affermazione è verà anche sulle singole tavole.
In effetti, se si fa un'affermazione che vale per tutti gli oggetti presenti - ad esempio - in una stanza, la stessa affermazione vale anche se ci si limita solo ad alcuni di quegli stessi oggetti.

Per discutere il caso dell'esiste, riprendiamo l'esempio proposto all'inizio della pagina. Lo studente afferma, indossando la maschera del cavaliere, che "almeno una persona ha il cappello". In altre parole, "∃ una persona della tavola unione, che ha il cappello".

Ci si può porre quindi la stessa domanda di prima, cioè se l'affermazione continui a valere sulle singole tavole considerate separatamente.
Una volta che lo studente avrà fatto la sua affermazione usando la parola "esiste" (o indifferentemente l'espressione "almeno uno"), l'insegnante ripeterà l'affermazione prima riferendosi ad una sola delle due tavole e poi all'altra. Lo studente dovrà capire se a parlare è un cavaliere o un furfante.

Come si nota dall'esempio, la risposta è negativa. L'affermazione è vera nella prima tavola, ma falsa nella seconda.
Possiamo concludere quindi che un'affermazione del tipo "almeno un...", fatta da un cavaliere su una tavola unione, non è necessariamente vera sulle singole tavole.

In modo analogo, ma opposto, si ha che: 

• se un'affermazione del tipo "per ogni..." viene fatta da un furfante su una tavola unione, la stessa affermazione è falsa su almeno una tavola
• se un'affermazione del tipo "almeno un..." viene fatta da un furfante su una tavola unione, la stessa affermazione è falsa su ciascuna delle due tavole

L'INTERSEZIONE E I QUANTIFICATORI

Un discorso simile a quello fatto per l'unione vale anche per l'intersezione.

Prendiamo in considerazione l'esempio seguente, dove lo studente afferma - riguardo all'intersezione di due tavole - che tutti i numeri sono più piccoli di 9. In altre parole "∀ numero della tavola intersezione, quel numero è minore di 9". L'intersezione è rappresentata in figura dalla tavola con il bordo rosso.

Una domanda che viene spontanea è se la stessa affermazione continui a valere quando si considerano separatamente le due tavole con cui si è fatta l'intersezione.
Una volta che lo studente avrà fatto la sua affermazione usando il "per ogni" (o indifferentemente la parola "tutti"), l'insegnante ripeterà l'affermazione prima riferendosi ad una sola delle due tavole e poi all'altra. Lo studente dovrà capire se a parlare è un cavaliere o un furfante.

Si noterà quindi che, se un'affermazione del tipo "per ogni..." viene fatta da un cavaliere su una tavola intersezione, non è detto che la stessa affermazione sia vera anche sulle singole tavole (potrebbe essera falsa su entrambe le tavole come nell'esempio in figura, così come vera su una ma falsa sull'altra, così come vera su entrambe).

Per discutere il caso dell'esiste prendiamo in considerazione l'esempio seguente, dove lo studente afferma, indossando la maschera del cavaliere, che "c'è il numero 4". L'affermazione "c'è" equivale all'"esiste", cioè "∃ un numero della tavola intersezione che è 4".

Ci si può porre quindi la stessa domanda di prima, cioè se l'affermazione continui a valere sulle singole tavole considerate separatamente.
Una volta che lo studente avrà fatto la sua affermazione usando la parola "esiste" (o indifferentemente l'espressione "almeno uno"), l'insegnante ripeterà l'affermazione prima riferendosi ad una sola delle due tavole e poi all'altra. Lo studente dovrà capire se a parlare è un cavaliere o un furfante.

Si nota quindi che, se un'affermazione del tipo "esiste..." viene fatta da un cavaliere su una tavola intersezione, quella stessa affermazione vale necessariamente sulle due tavole considerate separatamente.

In modo analogo, ma opposto, si ha che: 

• se un'affermazione del tipo "per ogni..." viene fatta da un furfante su una tavola intersezione, quella affermazione è necessariamente falsa su ciascuna delle due tavole considerate separatamente
• se un'affermazione del tipo "almeno un..." viene fatta da un furfante su una tavola intersezione, non è che detto che la stessa affermazione sia falsa su ciascuna delle due tavole considerate separatamente