NOTA TEORICA

Un triangolo è un poligono con tre lati o, equivalentemente, con tre angoli. Il triangolo è una figura di fondamentale importanza sia in geometria sia in arte, e merita un approfondimento tanto dal lato teorico quanto dal lato del disegno.

Una prima proprietà geometrica è che, in ogni triangolo, ogni lato è minore della somma degli altri due. Per convincersi di questa proprietà, si osservi la figura seguente.

Come si vede nella parte alta della figura, il segmento verde è maggiore della somma del segmento viola e del segmento giallo. Se si prova a costruire un triangolo con questi segmenti, attaccando agli estremi del segmento verde gli altri due segmenti, ci si ritrova nella situazione illustrata in figura: poiché il lato verde è troppo lungo, non si riesce a chiudere il triangolo. Ciò non accadrebbe se il segmento verde fosse minore della somma degli altri due.
La stessa proprietà può essere espressa in modo analogo ma più complesso: in ogni triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due. Facendo riferimento all'esempio precedente, accadeva invece che il segmento viola fosse minore della differenza fra segmento verde e segmento giallo.

Un'ulteriore proprietà fondamentale è che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto, ossia 180 gradi.

Per convincersene (oltre all'attività sulla piegatura della carta che vedremo in seguito o tramite goniometro) può essere fatto il seguente ragionamento, più complesso ma valido per calcolare la somma degli angoli interni di qualsiasi poligono.
Consideriamo un triangolo qualsiasi, prendiamo una matita e disponiamola lungo uno dei lati del triangolo a nostra scelta. Seguendo la direzione indicata dalla punta della matita, percorriamo l'intero contorno del triangolo fino a far tornare la matita nella posizione di partenza.

Non è difficile convincersi che, così facendo, la matita ha ruotato di un giro completo, ossia 360°. Più precisamente, la matita ha cambiato direzione tre volte, in corrispondenza dei tre vertici del triangolo. Facendo riferimento alla figura seguente, possiamo quindi dedurre che la somma dei tre angoli verdi è 360°.

Notiamo ora che ognuno degli angoli verdi insieme al corrispettivo angolo giallo forma un angola piatto, ossia 180°. Abbiamo quindi che la somma degli angoli gialli (ossia la somma degli angoli interni del triangolo) è data dalla somma dei tre angoli piatti meno l'angolo giro che corrisponde alla somma dei tre angoli verdi. In altre parole, la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 3 × 180° − 360° = 180°.
Come caso particolare, sottolineiamo che in un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali e quindi ciascuno di essi misura 60° = 180° : 3.

I triangoli possono essere classificati facendo riferimento ai lati o agli angoli.

CLASSIFICAZIONE IN BASE AI LATI

La classificazione dei triangoli in base ai lati riguarda l'eventuale presenza di lati uguali. Per inciso, aggiungiamo che nella pratica scolastica - al posto della parola “uguali” - viene usata spesso la parola “congruenti”: a nostro avviso, non esistono motivi teorici che giustifichino questa scelta, e anzi la parola risulta meno intuitiva per studenti di scuola primaria.

Per la classificazione, ci sono due possibilità: o i lati sono tutti diversi, o esiste almeno una coppia di lati uguali. Se esiste almeno una coppia di lati uguali, è possibile che anche il terzo lati sia uguali agli altri due. Se i lati sono tutti diversi si parla di triangolo scaleno (dal greco skalēnós, che vuol dire “disuguale”), se esiste una coppia di lati uguali si parla di triangolo isoscele (dal greco isoskelḗs, dove ísos vuol dire “uguale” e skélos vuol dire “lato”), se tutti e tre i lati sono uguali si parla di triangolo equilatero (caso particolare di triangolo isoscele).

Aggiungiamo che, in realtà, le diciture “tutti uguali” e, ancor più, “tutti diversi” non sono precise su un piano logico. Si pensi alla frase “tutti i lati sono blu”: questa affermazione significa che ciascun lato gode della proprietà di essere blu. D'altro canto, la frase “tutti i lati sono uguali” non significa che ogni lato gode della proprietà di “essere uguale”, ma che i lati sono uguali a due a due (la proprietà “essere uguali” riguarda cioè coppie di lati).  Per approfondire il discorso, si veda la voce I predicati: “essere blu” è un predicato unario, mentre “essere uguali” è un predicato binario.
Le proprietà enunciate correttamente sul piano logico sono: “i lati sono a due a due uguali” e “i lati sono a due a due diversi”.

CLASSIFICAZIONE IN BASE AGLI ANGOLI

La classificazione dei triangoli in base agli angoli fa riferimento all'eventuale presenza nel triangolo di angoli retti o ottusi. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, al massimo un angolo può essere retto oppure ottuso (se, ad esempio, ci fossero due angoli retti la somma dei tre angoli sarebbe maggiore di un angolo piatto e quindi il triangolo non potrebbe esistere).
In base a questa osservazione si ha la seguente classificazione: se il triangolo non ha né angoli retti né ottusi (ossia tutti gli angoli sono acuti) si parla di triangolo acutangolo, se esiste un angolo retto si parla di triangolo rettangolo, se esiste un angolo ottuso si parla di triangolo ottusangolo.

Nelle due classificazioni in base agli angoli e in base ai lati (disponibili da stampare nel file classificazione_triangoli.pdf nella sezione ALLEGATI) vengono usati gli stessi triangoli. Un esercizio interessante, usando la terza pagina del file classificazione_triangoli.pdf, consiste nel riconoscere lo stesso triangolo in entrambe le classificazioni e colorarlo allo stesso modo, come parzialmente fatto nella figura seguente.

Così facendo, il triangolo potrà essere classificato in modo completo. Con riferimento alla figura, il triangolo giallo è isoscele e acutangolo, quello viola scaleno e rettangolo, quello blu scaleno e ottusangolo, quello rosso equilatero e acutangolo, quello verde isoscele e rettangolo.

Un altro semplice esercizio consiste nell'individuare e colorare i due lati uguali nel caso di triangoli isosceli e l'angolo retto o ottuso nel caso di triangoli rettangoli e ottusangoli.

RETTE NOTEVOLI

In ogni triangolo, si possono individuare varie rette di notevole interesse, come altezze, bisettrici, mediane, assi. Noti teoremi di geometria garantiscono che le tre altezze di un triangolo si incontrano in un punto, detto ortocentro. Lo stesso è vero per le bisettrici, che si incontrano nell'incentro, per le mediane, che si incontrano nel baricentro; per gli assi, che si incontrano nel circocentro.

A livello di scuola primaria, ci si limita usualmente alle altezze, perché utili nel calcolo dell'area dei triangoli. In questa nostra trattazione teorica, vediamo inoltre le bisettrici perché risultano semplici da costruire con la piegatura della carta, attività proposta nel seguito.

Dato un triangolo, una bisettrice è una retta che divide un angolo del triangolo in due angoli uguali. In ogni triangolo sono chiaramente presenti tre bisettrici. Nella figura seguente sono illustrati tre triangoli e per ciascuno di questi sono disegnate le tre bisettrici (verde, giallo e viola). Il punto di incontro delle tre bisettrici è detto incentro: il nome è dovuto al fatto che il punto risulta il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

Dato un triangolo, un'altezza è una retta uscente da uno dei vertici perpendicolare al lato opposto a quel vertice. Spesso per altezza si intende esclusivamente il segmento che va dal vertice al lato (o al suo prolungamento). Nella figura seguente sono illustrati tre triangoli e per ciascuno di queste sono tracciate le tre altezze. Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un punto detto ortocentro (dal greco orthós, che vuol dire “retto”, “giusto”). Essendo la parola ortocentro non di uso comune, come piccolo trucco mnemonico possiamo immaginarci un re in mezzo a un campo coltivato: sua altezza si trova nell'orto!

Come si nota, nel caso di un triangolo acutangolo, l'ortocentro è un punto interno del triangolo. Nel caso di un triangolo rettangolo, due altezze corrispondo ai due cateti e quindi l'ortocentro si trova nel vertice dell'angolo retto. Il caso più complesso è quello di un triangolo ottusangolo, dove due altezze sono esterne al triangolo (e sono perpendicolari al prolungamento dei lati); l'ortocentro si trova quindi fuori dal triangolo. Se possibile, quando si calcola l'area di un triangolo ottusangolo conviene riferirsi all'altezza uscente dal vertice dell'angolo ottuso.

UN GIOCO A DUE GIOCATORI

Come prima attività, suggeriamo di proporre un gioco a due giocatori. Il gioco viene svolto su un foglio dove sono presenti dei punti, come quello mostrato in figura.

Nella sezione ALLEGATI è disponibile il file gioco_triangolo.pdf con dei fogli già pronti per giocare.

Lo scopo del gioco è disegnare il maggior numero possibile di triangoli collegando i punti con dei segmenti. I giocatori giocano a turno, disegnando un segmento per volta: la linea disegnata non deve incrociare altre linee o passare sopra altri punti. Chi disegna una linea che completa un triangolo vuoto (cioè senza punti all'interno) colora il triangolo del proprio colore e guadagna un punto. Il gioco finisce quando non è più possibile disegnare linee. Vince chi ha più triangoli colorati.

Vediamo un esempio di partita fra il giocatore ROSSO e il giocatore BLU. Partendo dalla configurazione mostrata sopra, il giocatore ROSSO disegna un primo segmento a sua scelta, poi ne disegna un altro il giocatore BLU, poi ancora il giocatore ROSSO, ottenendo la seguente situazione.

Pur essendo nella configurazione presente un triangolo, questo non può essere colorato perché contiene almeno un punto al suo interno. È adesso il turno del giocatore BLU, che traccia il segmento mostrato in figura.

Il giocatore ROSSO, con la sua successiva mossa, completa il triangolo e lo colora, ottenendo così un punto.

Il giocatore BLU, con la sua mossa successiva, riesce a ottenere due triangoli in un colpo solo, realizzando quindi due punti.

Tocca adesso al giocatore ROSSO. La partita procede quindi alternando i turni finché non sarà più possibile disegnare nuove linee. Il giocatore con più punti vince la partita. Anche se suggeriamo di far giocare la classe con carta e penna, per consolidare le regole del gioco consigliamo di fare qualche partita sull'implementazione online disponibile sul sito cardgames.io.

Se la classe è già in grado di classificare i triangoli in acutangolo, rettangolo e ottusangolo, si può aggiungere come regola che - per ottenere il punto - bisogna, oltre a colorare il triangolo, anche classificarlo in maniera opportuna.

CLASSIFICAZIONE TRINAGOLI

Si divide la classe a coppie o in piccoli gruppo e a ogni gruppo si consegnano più copie del file triangoli_stampa.pdf (con i triangoli già ritagliati). Ogni gruppo ha l'obiettivo di classificare i triangoli come meglio credere. Classificare vuol dire dividere l'insieme dei triangoli che si ha a disposizione in vari sottoinsiemi, ognuno dei quali corrisponda a una caratteristica specifica. Gli studenti potranno classificare i triangoli a loro piacimento: in base ai lati, agli angoli, alle simmetrie. Questa attività è ottima per far emergere le classificazioni discusse sopra, in modo da rendere la loro introduzione più significativa.

L'ALTEZZA

Come discusso nella nota teorica, è spesso complicato individuare l'altezza in un triangolo, specie se il lato rispetto a cui si sta tracciando l'altezza non è in posizione orizzontale. Oltre alla piegatura della carta, che vedremo nella sezione successiva, esiste un modo significativo per individuare l'altezza. Servono vari triangoli grandi e un filo a piombo, ossia un filo con un peso attaccato alla fine. Ricordiamo che la parola perpendicolare deriva dal latino "perpendiculum" cioè proprio "filo a piombo".

PIEGATURA DELLA CARTA

1. Costruire un triangolo equilatero
2. Somma angoli interni (anche ritagliare)
3. Le rette notevoli

LE TAVOLE DI ARTE

Importante imparare a disegnare un triangolo a mano libera. tavola 5, tavola 9, tavola 12, tavola 13, tavola 22, tavola 26, tavola 34.

ILLUSIONI OTTICHE

Illusione di illusione di kanizsa