NOTA TEORICA

Un quadrilatero è un qualsiasi poligono con quattro lati o, equivalentemente, con quattro angoli. I quadrilateri sono figure di fondamentale importanza sia in geometria sia in arte, e meritano un approfondimento tanto dal lato teorico quanto dal lato del disegno.

SOMMA ANGOLI INTERNI

Una proprietà fondamentale è che la somma degli angoli interni di un quadrilatero qualsiasi è sempre un angolo giro, ossia 360 gradi.

Per convincersene può essere fatto il seguente ragionamento, abbastanza complesso ma valido in realtà per calcolare la somma degli angoli interni di qualsiasi poligono. Dopo aver disegnato un quadrilatero qualsiasi, prendiamo una matita e poggiamola sul foglio, disponendola lungo uno dei lati del quadrilatero a nostra scelta, come mostrato in figura.

Seguendo la direzione indicata dalla punta della matita, percorriamo l'intero contorno del quadrilatero fino a far tornare la matita nella posizione di partenza.

Non è difficile convincersi che, così facendo, la matita ha ruotato di un giro completo, ossia 360°. Più precisamente, la matita ha cambiato direzione quattro volte, in corrispondenza dei quattro vertici del quadrilatero. Facendo riferimento alla figura seguente, possiamo quindi dedurre che la somma dei quattro angoli blu è 360° (gli angoli blu sono detti angoli esterni del quadrilatero).

Notiamo ora che ognuno degli angoli blu insieme al corrispettivo angolo giallo forma un angola piatto, ossia 180°. Abbiamo quindi che la somma degli angoli gialli (cioè la somma degli angoli interni del quadrilatero) è data dalla somma dei quattro angoli piatti meno la somma dei quattro angoli blu. In altre parole, la somma degli angoli interni di un quadrilatero qualsiasi è 4 × 180° − 360° = 360°.

QUADRILATERI PARTICOLARI

I RETTANGOLI

Poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero è di 360°, se un quadrilatero è equiangolo (ossia ha tutti gli angoli uguali) allora ogni suo angolo misurerà 360° : 4 = 90°, sarà cioè un angolo retto. È per questo motivo che i quadrilateri equiangoli sono usualmente chiamati rettangoli.

Si dimostra che i lati opposti di un rettangolo sono uguali. Inoltre, poiché viene naturale orientare un rettangolo in modo che due dei quattro lati siano orizzontali e gli altri due verticali, è consuetudine chiamare i lati orizzontali basi del rettangolo e il lati verticali altezze del rettangolo.

L'area di un rettangolo si calcola facendo il prodotto fra le lunghezze di base e altezza.

I ROMBI

Come abbiamo appena visto, un quadrilatero equiangolo si chiama rettangolo. Un quadrilatero equilatero (ossia con tutti i lati uguali) si chiama invece rombo. La parola “rombo” deriva del greco rhómbos, che significa “trottola”.

In un rettangolo, come conseguenza del fatto che gli angoli sono tutti uguali, si aveva che i lati opposti fossero uguali. Analogamente, nel rombo, come conseguenza del fatto che tutti i lati sono uguali, si ha che gli angoli opposti sono uguali. Poiché gli angoli opposti sono uguali e i lati sono tutti uguali, le due diagonali del rombo sono perpendicolari fra loro e ciascuna è un asse di simmetria del rombo. Si chiama diagonale maggiore la più lunga delle due diagonali, diagonale minore l'altra.

Notiamo che mentre base e altezza sono relative in un rettangolo e dipendono dal suo orientamento, diagonale maggiore e diagonale minore sono caratteristiche assolute del rombo e non dipendono dal suo orientamento. Notiamo inoltre che collegando i punti medi dei lati di un rettangolo si ottiene sempre un rombo di area uguale alla metà dell'area del rettangolo. Diagonale maggiore e diagonale minore del rombo corrispondono ad altezza e base del rettangolo. Da questo fatto discende che per calcolare l'area di un rombo basta dividere per due il prodotto fra lunghezza della diagonale maggiore e lunghezza della diagonale minore.

Analogamente, congiungendo i punti medi dei lati di un rombo si ottiene sempre un rettangolo che ha come area la metà dell'area del rombo.

I QUADRATI

Un quadrilatero che è sia equiangolo sia equilatero (ossia regolare), cioè sia rettangolo sia rombo, viene chiamato quadrato.

Il quadrato eredita tutte le proprietà dei rettangoli e dei rombi, anche se per calcolare l'area del quadrato è inusuale fare il prodotto delle diagonali diviso 2!

I TRAPEZI

Nei quadrilateri si può verificare un'eventualità ovviamente impossibile per i triangoli: può esistere una coppia di lati paralleli. In questo caso, si parla di trapezi. La parola “trapezio” deriva dal greco trapézion, che significa “piccola tavola”.

I lati paralleli vengono chiamati base maggiore e base minore del trapezio, mentre un segmento rappresentante la loro distanza è detto altezza.

Basi e altezza sono utili per calcolare l'area di un trapezio. L'area del trapezio si calcola infatti dividendo per due il prodotto fra somma della lunghezza delle basi e lunghezza dell'altezza.

I trapezi possono essere ottenuti “tagliando” un triangolo con una qualsiasi retta parallela alla base del triangolo, ed è da questo che deriva la loro classificazione: si chiamano infatti trapezi scaleni i trapezi ottenuti tagliando un triangolo scaleno, trapezi isosceli quelli ottenuti tagliando un triangolo isoscele, e trapezi rettangoli i trapezi ottenuti tagliando un triangolo rettangolo.

Concludiamo dicendo che, come vedremo nella sezione successiva “le tavole di arte”, i trapezi sono molto utili nel disegno prospettico, perché un rettangolo - da una certa prospettiva - è un trapezio (pensiamo ad esempio, alle rotaie di un treno o a una strada).

I PARALLELOGRAMMI

I parallelogrammi sono quadrilateri dove esistono due coppie di lati paralleli. Notiamo che tutti i rombi e tutti i rettangoli sono parallelogrammi, ma chiaramente non è vero il viceversa.

Due lati paralleli vengono chiamati basi (scelti a seconda dell'orientamento del parallelogramma o di altre necessità) mentre un segmento rappresentante la loro distanza viene chiamato altezza. L'area del parallelogramma si calcola come prodotto delle lunghezze di base e altezza.

Nella sezione ALLEGATI è disponibile il file classificazione_quadrilateri.pdf dove è riportata la classificazione dei quadrilateri in maniera schematica.

I PARALLELOGRAMMI SONO TRAPEZI?

Annosa è la questione delle definizioni inclusive ed esclusive: un quadrato è un rettangolo? Un triangolo equilatero è isoscele?
Negli Elementi (circa 300 a.C.), Euclide preferisce una definizione esclusiva: un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati uguali e il terzo diverso, un rettangolo è un quadrilatero equiangolo ma non equilatero. Oggi, si preferiscono invece definizioni inclusive: un triangolo equilatero è isoscele, un quadrato è un particolare rettangolo. Questa scelta è dettata dal fatto che le proprietà dell'ente più generale valgono automaticamente nei casi particolari: tutto ciò che sappiamo per un triangolo isoscele varrà in particolare per i triangoli equilateri, tutto ciò che sappiamo sui rettangoli varrà anche sui quadrati.

Il discorso diventa più insidioso quando si affronta la questione dei parallelogrammi e dei trapezi. Stando alla definizione che anche noi stessi abbiamo dato, un parallelogramma è un particolare trapezio: un parallelogramma ha infatti una coppia di lati paralleli. In testi più precisi, la definizione di trapezio è in realtà più lunga: un trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli e gli altri due non paralleli. Perché nel caso del trapezio si preferisce quindi una definizione esclusiva? Il nodo della questione è la definizione di trapezio isoscele: se un trapezio isoscele è un quadrilatero con due lati paralleli e gli altri due uguali, allora ogni parallelogramma è un particolare trapezio isoscele. Questa situazione crea dei problemi perché non è più vero che le proprietà vengono ereditate dal caso generale al caso particolare: un trapezio isoscele ha un asse di simmetria e le diagonali uguali, cosa che non vale in generale per i parallelogrammi.

SEGMENTI E MISURA DEI SEGMENTI

Nella pratica scolastica, si dice usualmente che “l'area di un rettangolo è il prodotto fra base e altezza”. Il prodotto si fa però fra numeri e non fra segmenti. Il problema può essere risolto in due modi diversi: o si stabilisce che le parole “base” e “altezza” indicano non i segmenti ma la loro lunghezza (rispetto a un'opportuna unità di misura) o si dice per esteso che l'area del rettangolo è il prodotto fra lunghezze di base e altezza. Senza prendere una posizione teorica netta, riteniamo che almeno alla scuola primaria sia accettabile parlare di prodotto fra base e altezza anche se questi indicano segmenti.

ATTIVITÀ DI CLASSIFICAZIONE DEI QUADRILATERI

Si divide la classe a coppie o in piccoli gruppi e a ogni gruppo si consegnano più copie del file quadrilateri_stampa.pdf (con i quadrilateri già ritagliati). Ogni gruppo ha l'obiettivo di classificare i quadrilateri come meglio credere. Classificare vuol dire dividere l'insieme dei quadrilateri che si ha a disposizione in vari sottoinsiemi, ognuno dei quali corrisponda a una caratteristica specifica. Gli studenti potranno classificare i quadrilateri a loro piacimento: in base ai lati, agli angoli, alle simmetrie. Questa attività è ottima per far emergere le classificazioni discusse sopra, in modo da rendere la loro introduzione più significativa.

LE TAVOLE DI ARTE

Le tavole di Arte che si trovano su www.oiler.education/scuola/materiali/primaria/arte/tavole propongono fotografie o immagini accompagnate da una loro possibile schematizzazione geometrica. Per una guida completa alle tavole di Arte fai click qui.
Le tavole di Arte aiutano a capire meglio il rapporto tra geometria e arte: non si conosce davvero una figura geometrica finché non si impara a disegnarla, anche se in modo approssimativo. Molte sono le tavole di Arte con cui approfondire lo studio dei quadrilateri, in particolare suggeriamo di lavorare sulle tavole: #1, #6, #9, #14, #19, #21, #26, #27, #28, #29.

ILLUSIONI OTTICHE

Le illusioni ottiche sono uno strumento prezioso per stimolare l'immaginazione e la creatività degli studenti. Queste immagini ingannevoli, che inducono il nostro cervello a percepire cose in modo diverso dalla realtà, non solo affascinano e divertono, ma servono anche come punto di partenza per discussioni: si incoraggia la classe a osservare, analizzare e descrivere le illusioni ottiche, sviluppando la capacità di vedere le cose da prospettive diverse. In questa sezione, proponiamo due illusioni ottiche che hanno i quadrilateri come protagonisti.

La prima illusione è la Griglia di Hermann.  Osservando la griglia seguente, sembrerà di vedere dei pallini scuri nelle intersezioni fra le linee bianche, che in realtà non esistono. 

L'illusione funziona anche con altri colori, come è possibile notare nell'immagine seguente. In questo caso, le macchie risulteranno del colore della griglia.

Un'altra illusione, veramente sorprendente, è conosciuta come l'ombra sulla scacchiera, ed è stata creata da Edward Adelson nel 1995. I quadrilateri contrassegnati dalle lettere A e B hanno in realtà lo stesso colore.

Anche se convincersene è difficile, perché B sembra molto più chiaro di A, la figura seguente può essere di aiuto: i rettangoli grigi hanno un colore uniforme e condividono lo stesso colore sia di A che di B.

Per gli studenti più grandi, si potranno proporre - in un'ottica interdisciplinare - spiegazioni più o meno precise del perché queste illusioni funzioni.