COSA SONO I NUMERI DECIMALI?

I numeri decimali sono di uso comune in varie situazioni della vita quotidiana, come nei pagamenti, nella misurazione della febbre, nei tempi delle gare di corsa, nell'ambito culinario. Relativamente ai pagamenti, sottolineiamo che - per legge - i prezzi devono limitarsi ai centesimi di euro, e i millesimi di euro vengono usati solo per indicare prezzi in alcuni casi particolari, come nei carburanti.
In generale, i numeri decimali risultano estremamente utili quando si eseguono delle misurazioni, perché difficilmente si ottengono misure intere. Questo li rende quindi tipici nella matematica applicata, come in fisica, in ingegneria e in chimica.

A livello teorico la virgola è un simbolo che si usa per separare la parte intera di un numero dalla sua parte minore dell'unità, ossia una frazione dell'unità. In particolare, per estensione del sistema posizionale, è comodo lavorare con frazioni decimali dell'unità, parlando quindi di decimi, centesimi, millesimi. Nei paesi anglosassoni, invece della virgola, è comune l'uso del punto per separare la parte intera dalla parte decimale di un numero.
È interessante notare che mentre esiste uno standard chiaro di lettura per i numeri naturali, questo non è altrettanto vero per i numeri decimali: ad esempio, siamo tutti d'accordo che il numero 1328 vada letto come "milletrecentoventotto", mentre il numero 0,1328 verrà letto da alcuni "zero virgola milleetrecentoventto", da altri "zero virgola uno tre due otto", da altri ancora "zero virgola uno trecentoventotto", e così via.

DECIMALI LIMITATI E ILLIMITATI

Solitamente si parla di numeri decimali limitati quando questi hanno un numero finito di cifre dopo la virgola e di decimali illimitati quando invece il numero di cifre è infinito. In matematica è molto frequente incontrare numeri decimali con infinite cifre dopo la virgola, ma nelle misurazioni pratiche chiaramente questo non avviene mai.
I decimali illimitati possono a loro volta essere distinti in numeri periodici - ossia decimali illimitati dove esiste una certa sequenza di numeri (detta appunto periodo) che si ripete indefinitamente, come nel numero 0,341341341341… - e numeri non periodici.
Si può dimostrare che le frazioni corrispondono esattamente ai decimali limitati e ai decimali periodici. In particolare, i numeri decimali limitati corrispondono a quelle frazioni che hanno al denominatore un numero che ammette come fattori primi solo 2 e 5. Esempi tipici di decimali non periodici sono invece π, √2, √3.

Solitamente si parla dell'insieme N per indicare i numeri naturali (0, 1, 2, …), dell'insieme Z per indicare i numeri interi (con l'aggiunta quindi dei numeri negativi), dell'insieme Q per indicare le frazioni (o equivalentemente decimali limitati e periodici), e dell'insieme R (numeri reali) per indicare tutti i decimali, anche non periodici. 

I NUMERI DECIMALI NELLA STORIA

I numeri decimali che usiamo oggi, con cifre poste prima e dopo una virgola, sono il risultato di un lungo percorso. A livello storico, prima dei numeri decimali sono state introdotte le frazioni, e in particolare le frazioni unitarie (cioè frazioni del tipo 1/n, dove il numeratore è pari a 1), che per molto tempo sono state le uniche frazioni usate. Gli antichi Egizi, già nel II millennio a.C., esprimevano ogni frazione come somma di frazioni unitarie distinte: ad esempio, una frazione come 2/5 veniva scritta con la somma 1/3 + 1/15. Ancora oggi, le frazioni unitarie vengono chiamate frazioni egizie. Anche altre antiche civiltà, come Babilonesi e Greci, svilupparono concetti simili alle frazioni, spesso legati alle unità di misura del tempo o delle merci (Patrizia Dova, 2021).

Tuttavia le frazioni non bastano per permettere la nascita dei numeri decimali, e un ulteriore prerequisito fondamentale è l’adozione della numerazione posizionale decimale: nata in india attorno al V secolo d.C., tale innovazione si propagò quindi nel mondo islamico per poi arrivare in Europa, dove fondamentale per la diffusione fu il Liber Abbaci di Leonardo Fibonacci, pubblicato nell'anno 1202.
Nel mondo islamico medievale alcuni matematici iniziarono a esplorare le frazioni decimali (cioè frazioni con una potenza di 10 al denominatore, che sono un passo fondamentale verso l'uso della virgola), come Abu’l Hasan al-Uqlidisi, vissuto a Damasco circa nell'anno 1000. In Europa, intorno al 1440, il matematico e astronomo Giovanni Bianchini sperimentò l’uso del punto per separare la parte intera da quella frazionaria, inserendolo nelle sue tavole astronomiche per facilitare i calcoli relativi al moto dei pianeti (Glen Van Brummelen, 2024).
Di fondamentale importanza fu il libretto "Il Decimo" (1585) del fiammingo Simon Stevin (Riccardo Bellè, 2024), in cui venivano presentati i numeri decimali, scritti in modo particolare. Ad esempio, il numero 8,937 - cioè 8 + 9/10 + 3/100 + 7/1000 - veniva rappresentato tramite piccoli cerchietti con dei numeri dentro:  8 ① 9 ② 3 ③ 7 ④; i cerchietti indicavano unità (①), decimi (②), centesimi (③) e millesimi (④). Nel suo libretto, Stevin suggeriva inoltre di usare i decimali non solo per i calcoli, ma anche per le unità di misura di lunghezza, peso e moneta, anticipando di fatto l’idea di sistemi metrici decimali.

Nel 1619, nel Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, John Napier (in italiano conosciuto come Nepero) fece largo uso del punto per separare la parte intera dai decimali, illustrandone il significato e le regole, contribuendo così a rendere comune questa notazione tra gli studiosi. Nel corso del XVII secolo, la notazione decimale divenne infatti gradualmente uno standard tra matematici e scienziati. L’uso dei decimali semplificava e rendeva più chiari e precisi i calcoli astronomici, ingegneristici e di navigazione.

ATTIVITÀ SUI NUMERI DECIMALI

Si comincia indagando le conoscenze della classe sui numeri decimali, chiedendo in quali situazioni della vita quotidiana siano presenti numeri con la virgola e che significato abbiano. Sottolineiamo, ad esempio, che quando si parla di denaro è molto comune parlare di centesimi di euro, ma molto poco comune parlare di decimi di euro (per cui si parla appunto di 10 centesimi).

Se da un lato i numeri decimali, dati i contesti di cui sopra, fanno parte della vita quotidiana degli studenti, dall'altro - per una trattazione matematica più dettaglia - è opportuno introdurli come frazioni decimali dell'unità, ed è proprio su questo approccio che si basa la successiva attività.

DECIMAL GAME LIVELLO 1

Su www.oiler.education/decimal-game è disponibile il gioco DECIMAL GAME, che può essere giocato da L.I.M. o in aula informatica.
Nel gioco bisogna prima stimare (competenza fondamentale quando si parla di numeri decimali) e, successivamente, misurare una lunghezza compresa fra 0 e 15.

Si parte dal livello 1, dove la lunghezza da stimare è intera. In particolare, come illustrato in figura, compare una lineetta viola a indicare la quantità da stimare e bisogna inserire la propria stima nel riquadro sotto.

Nel farlo gli studenti sono invitati ad affidarsi alle loro abilità relative all'Approximate Number System, ossia alla capacità di stimare una quantità a livello intuitivo. Si chiarisce che l'obiettivo iniziale dell'attività non è appunto quello di dare una risposta esatta, ma imparare a provare senza paura: tramite tentativi ed errori si affinerà la propria percezione.
Una volta che si è stimata la lunghezza, si passa a una misurazione effettiva tramite i pulsanti “aggiungi unità” e “togli unità”.

Nell'esempio in figura, sono stati inserite 12 unità e quindi il numero cercato è 12.

Una volta inserito il numero corretto, il gioco proporrà una nuova lunghezza da stimare.

DECIMAL GAME LIVELLO 2

Nel livello 2, da proporre solo dopo che la classe ha sviluppato una buona capacità di stima nel livello 1, fanno la loro comparsa anche i decimi.
All'inizio non si rivelerà agli studenti che il livello è cambiato e si inviterà la classe a stimare la quantità: una volta passati alla fase di misura, ci si renderà però conto che la linea cade “in mezzo” a un'unità.

Quindi, se vogliamo misurare con precisione la lunghezza, dovremo ricorrere a frazioni dell'unità. Si presentano in particolare i decimi, che - come suggerisce il nome - misurano un decimo dell'unità. Nell'esempio in figura, poiché sono stati inserite tre unità e due decimi, il numero cercato è 3,2.

Anche se a priori sembra complicato riuscire a stimare con esattezza la lunghezza in presenza di decimi, dopo un poco di allenamento la classe svilupperà un'intuizione sorprendente.

DECIMAL GAME LIVELLO 3

Nel livello tre, oltre a unità e decimi, fanno la loro comparsa i centesimi. Essendo i centesimi molto piccoli, in questo livello del gioco risulta complessa anche la fase di misurazione. Ciò nonostante, il livello è utile per far intuire alla classe che si può proseguire indefinitamente oltre i decimi, continuando a prendere la decima parte della quantità precedente e ottenendo misure sempre più precise.

CONFRONTO FRA NUMERI DECIMALI

Una volta compreso il concetto di numero decimale, il passo più difficile è imparare a confrontare due numeri decimali.
Difatti alcune concezioni che si sono sviluppate relativamente ai numeri naturali non sono immediatamente trasferibili ai numeri decimali. Ad esempio 3 è minore di 27, ma 0,3 è più grande di 0,27. In altre parole, due numeri decimali possono essere confrontati “in senso classico” solo se hanno lo stesso numero di cifre dopo la virgola.
In generale, se due numeri hanno la stessa parte intera, bisogna confrontare in primo luogo le cifre relative ai decimi: se in un numero la cifra è più grande che nell'altro, allora quel numero è più grande. Altrimenti, se le due cifre relative ai decimi sono uguali, si passa a confrontare le cifre successive, sempre con la stessa idea.

Per imparare a confrontare correttamente due numeri, oltre a capire le dinamiche soggiacenti, è importante fare molti esercizi, come quelli proposti nel file esercizi_confronto.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI.

Per confrontare due decimali, si può ricorrere alla modalità PLAYGROUND disponibile su DECIMAL GAME. In questa modalità, si aggiungono unità, decimi e centesimi a piacere, per poi salvare il numero facendo click su SALVA; il numero viene indicato con una lineetta colorata. Dopo aver tolto tutte le unità, i decimi e i centesimi, si può procedere a salvare un ulteriore numero. In questo modo sarà chiaro, a livello visivo, quale dei due numeri è più grande.
Nell'esempio in figura, sono stati salvati i numeri 4,2 (in rosso) e 4,02 (in verde): risulta evidente che 4,2 > 4,02.

SOMMA E PRODOTTO FRA DECIMALI

Mentre il confronto fra numeri decimali è complesso, perché quanto appreso sui numeri naturali non è - come detto - immediatamente trasferibile ai numeri decimali, le operazioni risultano, in questo senso, più semplici. Difatti, gli stessi algoritmi per l'addizione e la moltiplicazione, imparati con i numeri naturali,  si applicano ai numeri decimali, con qualche piccola accortezza: nel caso della somma è importante pareggiare il numero di cifre con degli 0 per eseguire la somma in colonna, mentre per il prodotto bisogna imparare a posizionare correttamente la virgola una volta concluso il procedimento.
Anche in questo caso, è indispensabile molto esercizio per acquisire una buona sicurezza nel calcolo.