Dopo l'avventura al villaggio di Leva Leva la classe si dirige verso il villaggio di Ghisa.

IL GIOCO DEL SOLDATO

Il gioco del soldato «combines extreme simplicity with extraordinary strategic subtlety» Martin Gardner

Si continua quindi la storia leggendo "Parte 11: i tre soldati". La classe, mentre cammina, si imbatte in tre soldati che sbarrano il passagio.

Si introduce quindi il gioco del soldato. Il gioco del soldato è un gioco fra due giocatori che si svolge su una scacchiera come quella illustrata in figura, scaricabile nella sezione ALLEGATI.

Uno dei due giocatori ha solo una pedina, blu in figura, e l'altro tre pedine - cioè i soldati - rosse in figura. Le pedine sono inizialmente disposte come nella figura sopra.
Una mossa consiste nello spostare una pedina lungo un singolo segmento della figura. I soldati, cioè le pedine rosse, non possono muoversi all'indietro, ma solo in avanti (cioè verso sinistra), in diagonale (sempre verso sinistra), o di lato, come mostrato in figura.

La pedina blu invece può moversi come desidera, lungo qualsiasi direzione, chiaramente sempre di un passo solo. L'obiettivo del giocatore con la pedina blu è sfuggire ai tre soldati, arrivando - senza essere catturato - alla casella gialla in figura.

L'obiettivo del giocatore rosso è catturare la pedina blu, facendo in modo che il blu - durante il proprio turno - non possa muovere. Le situazioni in cui vince il rosso sono illustrate in figura.

ANALISI DEL GIOCO

La natura del gioco è complessa; ci limitiamo, più che a una analisi della strategia, ad alcune osservazioni che vale la pena condividere in classe. Anzitutto si tratta di un gioco asimmetrico, dove cioè le regole che i due giocatori devono seguire e i loro obiettivi sono diversi.

Inoltre, nel gioco del soldato, vi è un'eventualità interessante. Come nel caso del Three Men's Morris è possibile che una partita continui all'infinito, con i giocatori che ripetono le stesse mosse. Nel Three Men's Morris si è visto che l'unica regola sensata in questo caso è di stabilire la patta fra i due giocatori. Si riflette insieme con la classe su cosa convenga stabilire ora nel gioco del Soldato. In questo caso, visto che la pedina blu sta scappando dai soldati, è molto più ragionevole dire che - se la partita va avanti all'infinito - vince il blu.
In particolare, i soldati non hanno alcun interesse a perdere tempo ripetendo le mosse, perché questo li porterebbe a perdere.

IL VILLAGGIO DI GHISA

La classe riesce quindi a passare e ad arrivare al villagio di Ghisa. Si legge in classe "Parte 12: il villaggio di Ghisa".

Le oche spiegano che la classe non è ancora pronta per compiere il Grande Salto per tornare nel mondo normale e deve essere allenata. A questo scopo, esistono le tredici Formule Sacre delle oche.

REGOLE FORMULE SACRE

Il gioco si svolge fra due giocatori, chiamati P e O, che giocano su un circuito, muovendo entrambi - a turno - una stessa pedina.
I tredici circuiti si trovano nella sezione ALLEGATI sotto il nome di formule_sacre_oche.pdf

• Per iniziare la partita, si dispone la pedina sulla casella con le ali
• Comincia O e, a ogni turno, la pedina va mossa lungo una direzione indicata dalle frecce
• Ogni volta che O passa su un colore, questo colore viene sbloccato e aggiunto alla lista dei colori attivati
• Il giocatore P non può passare su un colore se questo non è stato attivato in precedenza da O (tranne che sul nero, che è considerato sempre attivo)
• Se O non riesce più a muovere vince P, altrimenti - se il gioco prosegue all'infinito - vince O

Facendo riferimento all'esempio in figura, comincia a muovere O attivando il blu e - successivamente - P può percorrere il blu (perché già attivato da O) oppure può percorrere il nero tornando al punto di partenza (ricordiamo che il nero è considerato sempre attivo). In figura, P percorre il blu vincendo la partita, poiché O non può più muovere.

Le oche spiegano che per ogni formula sacra la classe deve riuscire a trovare una strategia vincente o per P o per O.
Si divide quindi la classe a coppie o in piccoli gruppi e si consegna la prima formula. Ogni gruppo dovrà produrre un elaborato scritto che spieghi quale giocatore abbia una strategia vincente e quale questa sia. La classe sarà incoraggiata ad accompagnare il proprio testo scritto con i grafi visti durante il percorso di Lovleis, utili per rappresentare strategie in modo schematico.
La formula successiva viene consegnata solamente quando la precedente è stata risolta.

FORMULA I

Vince sempre O perché la partita ha uno svolgimento obbligato. Il gioco dura infatti all'infinito con la ripetizione di due mosse: O percorre la freccia verso il basso attivando il blu e P torna indietro.

FORMULA II

P ha una strategia vincente: dopo che O ha fatto la prima mossa attivando il blu, P percorre l'altra freccia blu non lasciando ad O alcuna possibilità di mossa. Notiamo che P può anche vincere tornando indietro un certo numero di volte con la freccia nera e infine scegliendo la freccia blu. Se P continua a scegliere indefinitivamente la freccia nera perde.

FORMULA III

Vince sempre O. Anche se la struttura delle frecce è uguale a FORMULA II, questa volta P non può percorrere la freccia verso il basso perché il rosso non è stato attivato da O. La partita è quindi analoga a quella di FORMULA I.

FORMULA IV

P ha una strategia vincente. Dopo la prima mossa di O, P percorre la freccia blu che è stata attivata. Anche in questo caso, P può perdere se non gioca correttamente.

FORMULA V

Vince sempre O. Pur se P percorre la seconda freccia blu verso il basso, O percorre la freccia rossa non lasciando altra scelta a P che non ricominciare.

FORMULA VI

P ha una strategia vincente. Dopo che O ha percorso la freccia blu, P percorre la seconda freccia blu. Dopodiché O percorre la freccia rossa e P vince percorrendo la terza freccia blu (colore attivato da O alla prima mossa).

FORMULA VII

P ha una strategia vincente. Dopo che O ha percorso la freccia blu, P percorre la seconda freccia blu. Dopodiché O percorre la freccia rossa e P vince percorrendo la seconda freccia rossa appena attivata da O.

FORMULA VIII

P ha una strategia vincente. Dopo la prima mossa di O, P non può percorrere il verde perché non è stato attivato ed è quindi obbligato a percorrere la freccia nera a sinistra. A questo punto O è costretto a percorrere la freccia verde, attivandola. P ricomincia la partita, ma dopo la mossa di O può adesso percorrere la freccia verde, vincendo la partita.

FORMULA IX

Vince sempre O. La configurazione è analoga a FORMULA VIII, con la differenza che P non potrà mai percorrere la freccia blu.

FORMULA X

P ha due strategie vincenti analoghe fra loro. Dopo la prima mossa di O può infatti percorrere una delle due frecce nere a sua scelta. A questo punto O attiverà o il rosso il verde: in entrambi i casi, P non potrà scendere oltre e sarà costretto a ricominciare il gioco. Dopo la mossa di O, P percorrerà la freccia non percorsa in precedenza, riuscendo questa volta ad arrivare fino in fondo, vincendo la partita.

FORMULA XI

P ha una strategia vincenti. La situazione è simile a quella di FORMULA X, con la differenza che per vincere, alla sua prima mossa, P deve percorrere la freccia nera di sinistra. A questo punto O attiverà il verde. P ricomincerà quindi la partita percorrendo poi la freccia nera di destra e arrivando fino in fondo.

FORMULA XII

La formula è quasi identica a FORMULA XI, con una sola freccia rossa in più. Questo fa sì tuttavia che O abbia una strategia vincente. Difatti, P costringe O ad attivare il verde ma - nelle fasi successive - O può percorrere sempre la freccia rossa diagonale, non lasciando a P altra scelta che ricominciare il gioco. Notiamo che se O sbaglia e percorre la freccia rossa verso il basso, perde la partita.

FORMULA XIII

P ha una strategia vincente, costringendo O ad attivare via via i vari colori: costringe O ad attivare il blu, con il blu costringe O ad attivare il rosso, con il rosso costringe O ad attivare il verde e vince quindi la partita.

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APPROFONDIMENTO: CHE COSA SONO LE FORMULE SACRE?

La seguente sezione è rivolta a chi intenda approfondire il gioco delle oche da un punto di vista logico-matematico. Nel seguito, presupponiamo una conoscenza adeguata della logica proposizionale. L'idea di base è che a ogni formula sacra delle oche corrisponde una formula in logica proposizionale; in particolare, se la formula è una tautologia allora P ha una strategia vincente nel gioco associato.
Consideriamo la formula sacra VI, mostrata in figura.

La formula corrisponde alla legge di Piece ((B → R) → B) → B, che è sempre vera anche se a prima vista non è evidente. Le lettere proposizionali corrispondono ai colori usati nel grafo (Blu e Rosso): come si nota le frecce del grafo sono le implicazioni, ma rivolte in verso contrario. Il lettore interessato può trovare nella pagina del gioco Luì [www.oiler.education/lui], nella sezione LOGICA PROPOSIZIONALE, tutte e tredici le formule proposizionali che corrispondo alle tredici formule sacre delle oche.
Il punto di contatto fra dimostraiblità in logica proposizionale e strategia vincente nel gioco è dato dal gioco teorico UVA, proposto da Jean-Louis Krivine e Yves Legrandgérard (Valid formulas, games and network protocols, 2007) nell'ambito della Game Semantics.