IL VILLAGGIO DI GHISA

La classe riesce quindi a passare e ad arrivare al villaggio di Ghisa. Si legge in classe "Parte 12: il villaggio di Ghisa".

Le oche spiegano che la classe non è ancora pronta per compiere il Grande Salto per tornare nel mondo normale e deve essere allenata. A questo scopo, esistono le tredici Formule Sacre delle oche.

REGOLE FORMULE SACRE

Il gioco si svolge fra due giocatori, chiamati P e O, che giocano su un circuito, muovendo entrambi - a turno - una stessa pedina.
I tredici circuiti si trovano nella sezione ALLEGATI sotto il nome di formule_sacre_oche.pdf

• Per iniziare la partita, si dispone la pedina sulla casella con le ali
• Comincia O e, a ogni turno, la pedina va mossa lungo una direzione indicata dalle frecce
• Ogni volta che O passa su un colore, questo colore viene sbloccato e aggiunto alla lista dei colori attivati
• Il giocatore P non può passare su un colore se questo non è stato attivato in precedenza da O (tranne che sul nero, che è considerato sempre attivo)
• Se O non riesce più a muovere vince P, altrimenti - se il gioco prosegue all'infinito - vince O

Facendo riferimento all'esempio in figura, comincia a muovere O attivando il blu e - successivamente - P può percorrere il blu (perché già attivato da O) oppure può percorrere il nero tornando al punto di partenza (ricordiamo che il nero è considerato sempre attivo). In figura, P percorre il blu vincendo la partita, poiché O non può più muovere.

Le oche spiegano che per ogni formula sacra la classe deve riuscire a trovare una strategia vincente o per P o per O.
Si divide quindi la classe a coppie o in piccoli gruppi e si consegna la prima formula. Ogni gruppo dovrà produrre un elaborato scritto che spieghi quale giocatore abbia una strategia vincente e quale questa sia. La classe sarà incoraggiata ad accompagnare il proprio testo scritto con i grafi visti durante il percorso di Lovleis, utili per rappresentare strategie in modo schematico.
La formula successiva viene consegnata solamente quando la precedente è stata risolta.

FORMULA I

Vince sempre O perché la partita ha uno svolgimento obbligato. Il gioco dura infatti all'infinito con la ripetizione di due mosse: O percorre la freccia verso il basso attivando il blu e P torna indietro.

FORMULA II

P ha una strategia vincente: dopo che O ha fatto la prima mossa attivando il blu, P percorre l'altra freccia blu non lasciando ad O alcuna possibilità di mossa. Notiamo che P può anche vincere tornando indietro un certo numero di volte con la freccia nera e infine scegliendo la freccia blu. Se P continua a scegliere indefinitamente la freccia nera perde.

FORMULA III

Vince sempre O. Anche se la struttura delle frecce è uguale a FORMULA II, questa volta P non può percorrere la freccia verso il basso perché il rosso non è stato attivato da O. La partita è quindi analoga a quella di FORMULA I.

FORMULA IV

P ha una strategia vincente. Dopo la prima mossa di O, P percorre la freccia blu che è stata attivata. Anche in questo caso, P può perdere se non gioca correttamente.

FORMULA V

Vince sempre O. Pur se P percorre la seconda freccia blu verso il basso, O percorre la freccia rossa non lasciando altra scelta a P che non ricominciare.

FORMULA VI

P ha una strategia vincente. Dopo che O ha percorso la freccia blu, P percorre la seconda freccia blu. Dopodiché O percorre la freccia rossa e P vince percorrendo la terza freccia blu (colore attivato da O alla prima mossa).

FORMULA VII

P ha una strategia vincente. Dopo che O ha percorso la freccia blu, P percorre la seconda freccia blu. Dopodiché O percorre la freccia rossa e P vince percorrendo la seconda freccia rossa appena attivata da O.

FORMULA VIII

P ha una strategia vincente. Dopo la prima mossa di O, P non può percorrere il verde perché non è stato attivato ed è quindi obbligato a percorrere la freccia nera a sinistra. A questo punto O è costretto a percorrere la freccia verde, attivandola. P ricomincia la partita, ma dopo la mossa di O può adesso percorrere la freccia verde, vincendo la partita.

FORMULA IX

Vince sempre O. La configurazione è analoga a FORMULA VIII, con la differenza che P non potrà mai percorrere la freccia blu.

FORMULA X

P ha due strategie vincenti analoghe fra loro. Dopo la prima mossa di O può infatti percorrere una delle due frecce nere a sua scelta. A questo punto O attiverà o il rosso il verde: in entrambi i casi, P non potrà scendere oltre e sarà costretto a ricominciare il gioco. Dopo la mossa di O, P percorrerà la freccia non percorsa in precedenza, riuscendo questa volta ad arrivare fino in fondo, vincendo la partita.

FORMULA XI

P ha una strategia vincenti. La situazione è simile a quella di FORMULA X, con la differenza che per vincere, alla sua prima mossa, P deve percorrere la freccia nera di sinistra. A questo punto O attiverà il verde. P ricomincerà quindi la partita percorrendo poi la freccia nera di destra e arrivando fino in fondo.

FORMULA XII

La formula è quasi identica a FORMULA XI, con una sola freccia rossa in più. Questo fa sì tuttavia che O abbia una strategia vincente. Difatti, P costringe O ad attivare il verde ma - nelle fasi successive - O può percorrere sempre la freccia rossa diagonale, non lasciando a P altra scelta che ricominciare il gioco. Notiamo che se O sbaglia e percorre la freccia rossa verso il basso, perde la partita.

FORMULA XIII

P ha una strategia vincente, costringendo O ad attivare via via i vari colori: costringe O ad attivare il blu, con il blu costringe O ad attivare il rosso, con il rosso costringe O ad attivare il verde e vince quindi la partita.

APPROFONDIMENTO

CHE COSA SONO LE FORMULE SACRE?

La seguente sezione è rivolta a chi intenda approfondire il gioco delle oche da un punto di vista logico-matematico. Nel seguito, presupponiamo una conoscenza adeguata della logica proposizionale. L'idea di base è che a ogni formula sacra delle oche corrisponde una formula in logica proposizionale; in particolare, se la formula è una tautologia allora P ha una strategia vincente nel gioco associato.
Consideriamo la formula sacra VI, mostrata in figura.

La formula corrisponde alla legge di Peirce ((B → R) → B) → B, che è sempre vera anche se a prima vista non è evidente. Le lettere proposizionali corrispondono ai colori usati nel grafo (Blu e Rosso): come si nota le frecce del grafo sono le implicazioni, ma rivolte in verso contrario. Il lettore interessato può trovare nella pagina del gioco Luì [www.oiler.education/lui], nella sezione LOGICA PROPOSIZIONALE, tutte e tredici le formule proposizionali che corrispondo alle tredici formule sacre delle oche.
Il punto di contatto fra dimostrabilità in logica proposizionale e strategia vincente nel gioco è dato dal gioco teorico UVA, proposto da Jean-Louis Krivine e Yves Legrandgérard (Valid formulas, games and network protocols, 2007) nell'ambito della Game Semantics.