Un’associazione è un gruppo di persone - dette soci - che ha un obiettivo in comune, per esempio un'associazione artistica, sportiva, di beneficienza, politica.
La seguente attività non analizza i risvolti sociali di un'associazione ma usa l'idea di associazione come contesto per proporre un'attività di combinatoria. Tuttavia, si può inserire l’attività in un percorso dove in effetti si stiano creando “associazioni” di studenti.

Si scelgono 5 studenti e si spiega che ogni associazione ha un presidente, cioè un socio che rappresenta e coordina l'associazione.

Si chiede quindi alla classe in quanti modi è possibile scegliere un presidente fra i 5 soci. Chiaramente la risposta è 5, perché ognuno dei 5 soci può essere presidente; per visualizzare la situazione si può usare un oggetto distintivo (come un cappello o una sciarpa) che identifichi il presidente. In alternativa, si possono usare le etichette che si trovano nella sezione ALLEGATI in cariche_associazione.pdf.

Si sottolinea che se il numero dei soci fosse stato - ad esempio - 6, il numero di possibili presidenti sarebbe stato 6.

Si procede quindi spiegando che, per aiutare il presidente, è importante nominare un vicepresidente (vice deriva dal latino vix che vuol dire "vece"; il vice-presidente è colui che fa le veci del presidente). Si hanno ora due cariche (presidente e vicepresidente) da assegnare fra i 5 soci. Naturalmente presidente e vicepresidente devono essere due persone distinte.
Si chiede quante possibilità si abbiamo per fare questa scelta: essendo il numero di possibilità non piccolo, suggeriamo di scrivere alla lavagna le varie coppie presidente-vicepresidente man mano che queste vengono suggerite dalla classe. Anche in questo caso, il vicepresidente può esssere contraddistinto da un altro oggetto (in figura un cappello blu). 

I possibili modi di scegliere la coppia presidente-vicepresiente sono 20. Questo perché - come visto in precedenza - fra 5 soci si hanno 5 modi diversi di scegliere un presidente. Una volta scelto il presidente, si hanno 4 modi diversi di scegliere il vicepresidente fra i restanti 4 soci: le possibili coppie si ottengono quindi facendo 5 × 4 = 20.

Svolta questa attività, proponendo all'occasione più esempi con diversi gruppi di studenti anche con un numero diverso di soci, si introduce un'ulteriore figura presente in un'associazione: il tesoriere. Il tesoriere è il socio che ha il compito di gestire i soldi, cioè il patrimonio, dell'associazione - tenendo conto di tutte le entrate e tutte le uscite. Anche in questo caso, si può indicare il tesorire con un oggetto apposito, chiaramente diverso dai precedenti (un cappello da cowboy in figura).

Le possibili terne presidente, vicepresidente, tesoriere fra 5 soci sono molte: 5 × 4 × 3 = 60. Scriverle tutte richiede troppo tempo, ma suggeriamo di scriverne comunque qualcuna. In particolare, si fa notare che una volta scelto un presidente fra i 5 studenti, si hanno 4 × 3 = 12 possibiltà per scegliere vicepresidente e tesoriere fra i restanti 4.
L'attività appena illustrata può essere riproposta con 4 soci o con 6. Sottolineiamo che, per fondare un'associazione in Italia, è necessario anche indicare il segretario dell'associazione. Per evitare calcoli eccessivamente complicati non è stata qui introdotta la sua figura.

Si può ripresentare l'attività cambiando il contesto. Per esempio si possono presentare alcuni ruoli di una squadra di basket: in quanti modi è possibile scegliere il playmaker fra 5 giocatori? in quanti modi è possibile scegliere la coppia playmaker-centro?
L'idea generale è di assegnare degli specifici compiti all'interno di un gruppo e di contare quanti modi ci sono per fare questa assegnazione.

APPROFONDIMENTO: TORNIAMO AGLI ANAGRAMMI

L'attività illustrata generalizza quanto visto sugli anagrammi.
Immaginiamo di avere una associazione composta esclusivamente da 3 soci e di dover assegnare i ruoli di presidente, vicepresidente e tesoriere. Per farlo, si assegna dapprima la carica di presidente e questo può essere fatto in 3 modi diversi, in seguito - fra i restanti 2 soci - si assegna la carica di vicepresidente e quindi quella di tesoriere all'ultimo socio rimasto. Le possibilità sono quindi 3 × 2 × 1 = 6, cioè esattamente tante quanti gli anagrammi di una parola con 3 lettere tutte diverse fra loro. Questo perché possiamo pensare di identificare la figura del presidente con la prima posizione nell'angramma, la figura del vicepresidente con la seconda e quella di tesoriere con la terza.

Una possibile attività per presentare il legame con gli anagrammi consiste nel chiamare un gruppo di studenti - per esempio 5 in figura - e nell'assegnare ad ognuno una lettera (esattamente come veniva fatto per le attività sugli anagrammi).

Si chiede quindi di costruire parole di 3 lettere usando le 5 lettere a disposizione. Ad esempio, con le lettere A, R, T, E, S si possono creare le parole di tre lettere ART, ATE, TRE, SAT,... . Dopo aver scritto alcune possibilità alla lavagna, si chiede quante siano in tutto le parole di 3 lettere. La risposta - come nel caso dei 5 soci e delle cariche del presidente, vicepresidente e tesoriere - è 60, perché ci sono 5 modi per scegliere la prima lettera, 4 per la seconda e 3 per la terza. Anche se le parole sono molte, se si ha il tempo a disposizione suggeriamo in questo caso di scriverle tutte.
Per non scordarsi nessuna parola quando si procede a scriverle tutte, una strategia possibile è la seguente: si scelgono 3 studenti fra i 5, cioè 3 lettere (per esempio R, T, E) e si procede a scrivere tutte le parole possibili con quelle 3 lettere, cioè RTE, RET, TRE, TER, ERT, ETR.

Si sceglie poi un altro gruppo di 3 lettere (per esempio A, R, S) e si procede in maniera analoga, poi ancora un'altra terna di lettere fino ad esaurire tutte le possibili terne.
Fra le parole scritte, si possono sottolineare quelle che hanno effettivamente un significato, come TRE scritto in precedenza.

Consideriamo ora una situazione diversa, dove gli studenti totali sono solo 4 e i calcoli in gioco sono più semplici. Dopo aver assegnato ad ogni studente una lettera (ad esempio A, T, R, E) si chiede quali parole di una lettera si possano formare usando le lettere a disposizione. Le "parole" di una lettera che si possono formare sono 4, cioè A, T, R ed E. Due di queste parole hanno un significato: la preposizione "A" e la congiunzione "E".
Si chiede quindi quali e quante parole di due lettere possano essere formate; in questo caso le parole possibili sono 12: AT, AR, AE, TA, TR, TE, RA, RT, RE, EA, ET, ER. Le parole possibili sono 12 perché, per formare una parola di due lettere, dobbiamo scegliere la prima lettera fra 4 possibili e la seconda lettera tra le 3 rimanenti, ottenendo 4 × 3 = 12.
Si chiede poi quali e quante siano le parole di tre lettere. Le parole di tre lettere sono riportate in tabella, dove in grassetto sono indicate parole (italiane o inglesi) che hanno effettivamente un significato.

Il calcolo da eseguire per calcolare il numero di parole possibili è analogo ai casi precedenti: 4 × 3 × 2 = 24.

Si chiede - infine - quante parole di 4 lettere possano essere formate con le lettere A, T, R, E. Questa richiesta è equivalente a chiedere il numero di anagrammi della parola ATRE.

Si nota come il numero di possibilità sia sempre 24: se si hanno a disposizione 4 lettere, il numero di parole che si possono ottenere formate con 3 di queste 4 lettere corrisponde al numero di anagrammi della parola formata da tutte e 4 le lettere.

Nella sezione ALLEGATI si trovano proposte di esercizi (esercizi_lettere.pdf). Quando si svolgono gli esercizi, si sottolinea che le parole possono non avere un significato e si invita ad individuare - fra quelle ottenute - parole con un significato. Inoltre, si ricorda che ogni lettera si può usare solo una volta.

IL GIOCO DEL PAROLIERE

Vediamo un gioco da proporre in classe sugli argomenti appena trattati.
Si scrivono alla lavagna 5 o più lettere, senza escludere la possibilità che 2 o più siano uguali fra loro. Facendo attenzione a mettere un numero adeguato di vocali, si scriverà - ad esempio - S  A  B  M  E  R  O  T.
La classe deve comporre parole di senso compiuto usando alcune o tutte le lettere sulla lavagna, ottenendo - per esempio - MA, ERA, SERA, RATE, ROMA, AMORE, MAESTRO, ...

Le modalità di gioco sono varie. Una possibilità è far giocare la classe insieme, con l'obiettivo di totalizzare il maggior numero di punti. Per assegnare i punti si possono adottare vari metodi: il più semplice è assegnare un punto per ogni parola trovata, indipendentemente dal suo numero di lettere (questo metodo sembra un po' ingiusto perché parole più lunghe sono più difficili da trovare). Un secondo metodo è assegnare ad ogni parola un punteggio corrispondente al suo numero di lettere: MA varrà 2 punti mentre AMORE 5 punti.

Da un punto di vista matematico, quando abbiamo affrontato gli anagrammi stavamo facendo permutazioni. Quando non siamo tenuti ad usare tutte le lettere - come in quest'ultima attività - si parla invece di disposizioni. Per approfondire il discorso, fai click qui.