Di seguito proponiamo alcune attività per far scoprire ed esplorare l'operazione di elevamento a potenza.

L'ALBERO GENEALOGICO

L'albero genealogico è una rappresentazione grafica dei propri antenati e discendenti. Nella seguente attività, ci riferiremo esclusivamente alla parte relativa agli antenati.

Nell'esempio in figura, A ha come genitori B e C. B a sua volta ha come genitori D ed E, mentre C ha come genitori F e G.

Nel seguito, diremo che B e C (così come D, E, F e G) appartengono alla stessa generazione o livello.

Se lo si ritiene opportuno rispetto al contesto classe, si assegna agli studenti il compito di fare una ricerca e disegnare il proprio albero genealogico. Nel disegnare il proprio albero genealoco, per ogni persona che compare bisognerà indicare - se li si conoscono - nome, luogo e anno di nascita. Se si vuole, si possono chiaramente aggiungere ulteriori informazioni: una fotografia, un piccolo resoconto della sua storia, l'eventaule data di morte.

Soprattutto in passato, l'albero genealogico ricopriva un ruolo importante nel giustificare lo status della propria famiglia: molte persone cercavano infatti nei propri antenati un lignaggio nobile (vero o presunto). Nel seguito, un'immagine di un albero genealogico del 1776 di una famiglia tedesca.

Proponiamo inoltre un video con vari alberi genelogici del XVI secolo di famiglie del belgio e dell'olanda.

Dopo che gli studenti avaranno costruito ciascuno il proprio albero genealogico, si cominceranno a fare alcune domande relative ad aspetti matematici. Per esempio: quanti genitori ha una persona? Quanti nonni? Quanti bisnonni?
Più si prosegue con le generazioni, più chiaramente diventa difficile ricostruire nomi e luoghi, ma si può tuttavia provare a stimare il periodo in cui vissero i propri antenati: difatti, in media, fra una generazione e l'altra passano circa 30 anni. Per esempio, è ragionevole pensare che i trisavoli di una certa persona siano nati circa 120 anni prima della data di nascita di quella persona.

È invece facile determinare il numero di persone in ciascuna generazione perché a ogni livello si raddoppia il numero di persone: 2 genitori, 4 nonni, 8 bisnonni, 16 trisavoli, e così via. Tuttavia, bisogna fare attenzione nel seguire ciecamente questo ragionamento: se ci si fa prendere troppo dall'entusiasmo, si potrebbe dedurre che i propri antenati, 1000 anni fa, fossero più di un miliardo! Il che chiaramente è impossibile, perché 1000 anni fa la popolazione mondiale è stimata intorno ai 400 milioni di abitanti.

L'apparente paradosso si spiega osservando che una stessa persona può apparire più volte nello stesso albero genealogico: il fenomeno si nota ad esempio nei piccoli paesi non soggetti a immigrazioni esterne, dove può accadere che i genitori di un individuo siano cugini, abbiano cioè due nonni in comune.
Nell'esempio in figura, le due persone collegate con una freccia rossa sono fratelli. Il bambino ha quindi 4 nonni ma solo 6 bisnonni.

Sottolineiamo che quella descritta è una situazione che può realmente verificarsi, anche se molto di rado. Tuttavia, tornando indietro nelle generazioni, il fenomeno diviene presto quasi certo.

Prima di procedere all'attività successiva, consigliamo di proporre alla classe la seguente situazione: in uno strano pianeta, ogni persona non ha 2 genitori bensì 3! In questo caso, quanti nonni avrà ogni persona? Quanti bisnonni? Per rispondere alle domande, gli studenti saranno invitati a disegnare un albero genealogico di un generico abitante del pianeta: ogni persona risulterà avere 3 genitori, 9 nonni e 27 bisnonni!

LE PITAGORAS CELL

Per introdurre all'attività, si racconta alla classe - chiarendo che è una storia inventata - che sono stati scoperti alcuni tipi di cellule chiamate Pitagoras Cell. Queste cellule hanno una proprietà particolare: quando vengono colpite da un raggio detto raggio power, si moltiplicano!
Esistono diversi tipi di Pitagoras Cell. Ad esempio, una particolare Pitagoras Cell si chiama bicell: quando viene colpita con un raggio power, si divide in due bicell identiche a lei!

Un altro esempio di Pitagoras Cell è la tricell, che quando viene colpita da un raggio power si divide in tre tricell identiche a lei.

Nella sezione ALLEGATI, si trova il file pitagoras_cell.pdf con una presentazione di tutte le cellule da mostrare alla classe con la L.I.M.

Si chiede quindi di descrivere il comportamento delle cellule, cercando di portare la classe alla domanda fondamentale: che succede se applichiamo il raggio più volte a una cellula?
Prendiamo, ad esempio, una bicell e colpiamola con un raggio power: otteniamo così 2 bicell. Esponiamo ancora queste 2 bicell a un raggio power: ognuna di queste 2 bicell si sdoppierà, dando luogo - in totale - a 4 bicell. Applicando il raggio power ancora una volta, si otterranno 8 bicell. Quindi 16, 32, e così via.
Nella figura seguente viene mostrato l'inizio dell'evoluzione del processo.

Come ulteriore esempio, consideriamo la pentacell, ossia quella cellula che - colpita - si trasforma in 5 pentacell. Cosa succede applicando il raggio 3 volte?
Alla prima esposizione al raggio power, si otterranno 5 pentacell. Esponendo le 5 pentacell un'ulteriore volta al raggio power se ne otterranno 25. Infine, alla terza esposizione, avremo 25 × 5 = 125 pentacell!

In generale, nel descrivere la situazione, l'insegnante potrà usare le espressioni "esporre al raggio power" e "proprietà di base della cellula" (ossia quante volte si moltiplica la cellula se colpita dal raggio power: ad esempio, la bicell ha 2 come propreità di base, mentre la tricell ha 3). Le espressioni richiamano il linguaggio matematico usato per le potenze.

Prima di procedere alla sezione successiva, si consegna alla classe il foglio di esercizi esercizi_pitagoras_cell.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI, su cui si potrà lavorare a coppie. Alcuni esercizi richiedono calcoli piuttosto complessi e si potrà quindi valutare l'uso della calcolatrice. In tal modo, gli studenti potranno constatare la rapida crescita dei numeri in gioco: in effetti, l'espressione corrente "crescere esponenzialmente" indica proprio una crescita veloce e smisurata. Nello svolgere gli esercizi, gli studenti saranno invitati a rappresentare la soluzione anche graficamente.
Sottolineiamo, infine, che se una qualsiasi Pitagoras Cell viene esposta a 0 raggi power si avrà una sola cellula alla fine del processo, ossia quella di partenza.

DESCRIVERE LE CELLULE CON UN LINGUAGGIO MATEMATICO

Ci si interroga con la classe su come indicare, attraverso un linguaggio matematico, il processo di colpire una certa cellula più volte con il raggio power. Dopo una discussione, si cercherà di far convergere la classe verso il linguaggio matematico standard per indicare le potenze: la proprietà di base della cellula, pensata come numero, viene scritta normalmente, mentre l'esponente (che indica quante volte la cellula viene colpita dal raggio power) è scritto come apice. Ad esempio, la scrittura 3² indica che una tricell è stata colpita 2 volte con un raggio power, ottenendo in tutto 3² = 3 × 3 = 9 tricell.
Per maggiore chiarezza, si veda la tabella seguente.

Sottolineiamo che, come abbiamo notato alla fine della sezione precedente, qualsiasi numero elevato alla 0 dà sempre 1: ad esempio, 6⁰ = 1.
Inoltre, qualsiasi numero elevato alla 1 dà sempre il numero stesso: ad esempio, 8¹ = 8.
Si può inoltre introdurre alla classe la unicell, ossia quella cellula che se viene colpita da un raggio power... rimane sé stessa! Infatti, 1 elevato a qualsiasi numero dà sempre come risultato 1: ad esempio, 1⁹ = 1.