NOTA TEORICA E STORICA

«Numero pari è quello che si divide a metà. E dispari che non si divide a metà, o quello che differisce di un'unità da un numero pari.» Euclide, Elementi, Libro VII

La classificazione in numeri pari e numeri dispari è di fondamentale importanza in aritmetica e accompagna tutta l'educazione. I numeri pari sono i numeri interi divisibili per 2 (cioè tali che la divisone con divisore 2 dà resto zero), come 0, 2, 4. Gli altri numeri, cioè quelli non divisili per 2, vengono detti numeri dispari, come 1, 3, 5.
Pur essendo la definizione appena presentata la più comune, a livello didattico - per i primi anni di scuola primaria - è consigliabile dare invece una definizione equivalente: un numero pari è un numero che si può ottenere come somma di un numero con sé stesso. Ad esempio, 8 è pari perché 8 = 4 + 4, 6 è pari perché 6 = 3 + 3, 0 è pari perché 0 = 0 + 0. Un numero dispari è un numero non pari, ossia un numero che non può essere scritto come somma di un numero intero con sé stesso. Aggiungiamo che per verificare se un numero è pari o dispari è sufficiente controllare se l'ultima cifra del numero è pari o dispari.

Pari e dispari accompagnano l'attività umana da sempre, tanto a livello matematico quanto a livello filosofico e mistico. Ad esempio, per i pitagorici lo studio dei numeri pari e dispari, come d'altronde del resto della matematica, era sempre in un labile confine fra aritmetica e numerologia, associando ai pari (ártion) il concetto di "illimitato" e ai dispari (perittón) il concetto di "limitato". Questo approccio portava a osservazioni che risultano errate da un punto di vista prettamente matematico.
Ad esempio, il pitagorico Filolao scrive: «il numero, in effetti, ha due specie proprie, il dispari e il pari, e una terza mescolata da entrambi, il pari-dispari». Probabilmente il "pari-dispari" è il numero 1 - da noi giustamente considerato dispari - perché con 1 si possono “generare” tutti gli altri numeri. Fra gli altri studiosi che trattarono di numeri pari e dispari, citiamo Euclide e il pitagorico Nicomaco di Gerasa, che scrive un'interessante Introduzione all'aritmetica basandosi sul lavoro di Euclide. Sfogliando il lavoro di Nicomaco, ci si rende presto conto di come misticismo e matematica fossero due facce della stessa medaglia.

Proprietà importanti da osservare in classe sono che la somma di due pari è pari, la somma di due dispari è pari, mentre la somma di un pari e di un dispari è dispari. Inoltre il prodotto di un pari con un pari è pari, il prodotto di un pari con un dispari è pari, il prodotto di un dispari con un dispari è dispari. Si noti che mentre presi due numeri casuali e fatta la somma questa è equiprobabilmente o pari o dispari, è molto più probabile che il prodotto di due numeri presi a caso sia pari. Per approfondire il discorso, si veda la voce La tavola pitagorica 1.

Concludiamo con una piccola nota etimologica. La parola “pari” deriva dal latino par che vuol dire uguale, equo ma anche paio, coppia. Il prefisso "dis" si usa invece in italiano per negare il concetto che segue: una persona dis-obbediente è una persona non obbediente, una stanza dis-ordinata è una stanza non ordinata, un numero dis-pari è un numero non pari. Proprio facendo leva su parole come disobbediente, disordinato, disattenzione, disperato, disaccordo, disagio si può introdurre alla classe la parola “dispari”.

IL GIOCO DELLO SPECCHIO

Il gioco dello specchio è un gioco che si può proporre fin dalla classe prima per introdurre i concetti di pari e dispari. Si chiamano due studenti e si pongono uno di fronte all'altro: uno dei due studenti (che in seguito chiameremo “libero”) si muove liberamente e l'altro (che in seguito chiameremo “specchio”) deve mimare i suoi movimenti, a specchio.
Si chiede quindi allo studente libero di fare un numero a sua scelta con le dita, meglio se inizialmente con una sola mano. Lo studente specchio mimerà quindi il numero e si conterà il numero totale ottenuto. Ad esempio, nell'immagine seguente, lo studente libero ha fatto 2 con le dita: il numero totale ottenuto è dunque 4.

Si chiede ora allo studente libero di fare in modo che il numero totale sia un numero scelto dall'insegnante. Ad esempio, se l'insegnante dice 2 lo studente libero dovrà rendersi conto che, per ottenere 2 come totale, dovrà fare 1 con le dita. In quest'altro esempio, gli studenti fanno invece il numero 8, ossia 4 + 4.

Dopo aver proposto qualche numero pari si propone un numero dispari, notando quindi che non è possibile in alcun modo replicare quel numero. Ci si interrogherà con la classe su quali numeri si possano riprodurre e perché. Si compilerà inoltre una lista dei numeri da 0 a 20 scrivendo per ogni numero se può essere replicato o meno con il gioco dello specchio. Si potranno poi scrivere alla lavagna uguaglianze come 8 = 4 + 4, 6 = 3 + 3. Dopo queste attività si possono introdurre le parole pari e dispari seguendo quanto suggerito alla fine della sezione precedente.

Sottolineiamo che questa stessa attività può essere proposta per parlare di multipli di 3: per farlo, basterà chiamare tre studenti, dove uno sarà libero e gli altri due faranno lo specchio dello studente libero. Ovviamente, aumentando il numero di studenti che giocano il ruolo dello specchio, si possono trattare multipli di 4, 5 e così via. Notiamo che, a prescindere dal numero di studenti che gioca il ruolo dello specchio, sarà sempre possibile fare il numero 0 (se il libero fa 0 e tutti gli specchi copiano, il numero risultante è 0): difatti 0 è multiplo di tutti i numeri.

Per ripassare i numeri pari e dispari, si possono eseguire gli esercizi pari_dispari_esercizi.pdf disponibili nella sezione ALLEGATI.

I NUMERI CON ZERMELO GAME

ZERMELO GAME è un gioco online (disponibile qui: www.oiler.education/zermelo) che accompagna le varie attività sui numeri pari e dispari da un punto di vista logico. In questa sezione forniamo qualche indicazione più precisa sul gioco, che può essere giocato da L.I.M., da tablet o in aula informatica.

Nel seguente video si trova una panoramica generale del gioco. Una guida scritta è invece disponibile facendo click qui.

Nella pagina iniziale si seleziona con quali quantificatori giocare (si possono anche selezionare entrambi), l'ambiente numeri, il livello 1 e il tempo a disposizione nella partita. Si possono inoltre selezionare le modalità negazione e testimone.

Nel livello 1 di numeri, compaiono i numeri compresi fra 0 e 9 e le proprietà PARI e DISPARI. Per ogni insieme di numeri, bisognerà indicare se almeno uno o nessuno degli elementi possiede la proprietà in alto oppure, in alternativa, se tutti o non tutti la possiedono. Facendo riferimento all'esempio in figura, la risposta è ALMENO UNO, poiché almeno uno dei numeri mostrati è pari.

Come approfondimento tecnico, notiamo che effettivamente i numeri pari e dispari sono intimamente legati ai quantificatori “almeno uno” (∃) e “tutti” (∀). Un numero n è pari se ∃ k (k + k = n) mentre un numero n è dispari se ∀ k ¬(k + k = n). In altre parole, un numero n è pari se esiste un numero k tale per cui k + k = n (ad esempio, n = 6 è pari perché esiste k = 3 tale che k + k = n), mentre un numero n è dispari se comunque si scelga un numero k non sarà mai vero che k + k = n (il simbolo ¬ indica la negazione).

UN GIOCO DI MAGIA

Per il seguente gioco, bisogna avere un certo numero di monete da un lato blu e dall'altro rosse (o dove comunque le due facce siano distinguibili, ad esempio testa e croce).
L'insegnante si presenta come "mago dei numeri pari e dispari" e dispone un numero di monete a sua scelta sul tavolo, tutti mostranti la stessa faccia. Nell'esempio in figura sono state disposte 5 monete che mostrano la faccia blu.

A questo punto, l'insegnante si gira di spalle e chiede a uno studente di girare un qualsiasi numero di monete a propria scelta facendole diventare rosse, senza ovviamente comunicarlo all'insegnante. Una volta che lo studente ha eseguito il compito, l'insegnante chiede se siano di più le monete blu o rosse e quindi di sottrarre il numero di monete maggiore al numero di monete minore, senza dire nulla ad alta voce ma limitandosi a scrivere il risultato su un pezzo di carta. Nell'esempio in figura, lo studente ha girato due gettoni facendoli diventare da blu a rossi, la sottrazione eseguita è dunque 3 − 2 = 1. L'insegnante a quel punto potrà dire, senza ovviamente guardare il tavolo, se il numero scritto dallo studente sul foglio (1 nell'esempio) è pari o dispari.

Il gioco di magia è facile da eseguire per l'insegnante se conosce il trucco: la parità del risultato della sottrazione è sempre uguale alla parità del numero di monete totali totali: nel nostro esempio, sul tavolo è stato inizialmente messo un numero dispari di monete (5 monete) e difatti la sottrazione ha dato come risultato un numero dispari, ossia 1. Lo stesso sarebbe accaduto qualsiasi numero di monete fosse stato girato. Se invece inizialmente ci fosse stato un numero pari di monete, allora il numero finale scritto sul biglietto sarebbe stato pari.
Perché questo accade? Se ci si pensa a fondo, si nota che l'atto di girare una moneta non cambia la parità del risultato della sottrazione (se è pari resta pari, se è dispari resta dispari). Se all'inizio, ad esempio, ci sono 5 monete tutte che mostrano la faccia blu, allora la sottrazione da eseguire è 5 − 0 = 5, che è dispari. Girare una moneta vuol dire levare un blu (che da 5 passano a 4) e aggiungere un rosso (che da 0 passano a 1); in altre parole, girare una moneta significa modificare di due il risultato della sottrazione (4 − 1 = 3): procedendo per salti di due, non si altera la parità del numero che se è pari resta pari e se è dispari resta dispari.

L'insegnante può ripetere il gioco varie volte, cambiando di volta in volta il numero di monete sul tavolo (ogni tanto pari, ogni tanto dispari) e incitando la classe a capire il trucco, all'occasione con un piccolo aiuto.

UNA CATENA DI NUMERI

A partire dalla classe terza, si potrà proporre un gioco interessante, utile sia per esercitare il calcolo scritto e mentale, sia per giocare con numeri pari e dispari, sia per fare esperienza di un primo semplice algoritmo.
Il gioco da proporre è il seguente: ogni studente pensa un numero qualsiasi, meglio se - almeno in un primo momento - minore di 30, e lo scrive su un foglio. Esegue ora il seguente passaggio: se il numero è pari, lo divide per 2, se è dispari invece lo moltiplica per 3 e aggiunge 1. Scrive poi il risultato accanto al numero scritto all'inizio. Ad esempio, se lo studente ha scritto 18, accanto scriverà 9 = 18 : 2, se invece ha scritto 15, accanto scriverà 46 = 15 × 3 + 1. Ora, facendo riferimento all'ultimo numero scritto, si procede allo stesso modo: se il numero è pari lo si divide per 2, se invece è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. Gli studenti continuano a scrivere la successione di numeri ottenuta continuando ad applicare l'algoritmo.

Di seguito, si trovano alcuni esempi di successioni di numeri costruite seguendo l'algoritmo illustrato.

• 2 → 1
• 8 → 4 → 2 → 1
• 9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 100 → 50 → 25 → 76 → 38 → 19 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Come si nota, dopo un numero - anche cospicuo - di passaggi, ogni catena arriva a 1. Una volta arrivati a 1, si ottiene 1 × 3 + 1 = 4, poi 2, poi nuovamente 1: la successione comincia quindi a ripetersi indefinitamente. Il fatto che ogni catena di numeri arrivi a 1 è noto come Congettura di Collatz, dal nome del matematico Lothar Collatz (1910 - 1990) che la ideò e… sì, è proprio una congettura! Ossia nessuno sa - nemmeno i matematici e le matematiche più brave! - se da qualsiasi numero si parta si arriverà sempre a 1 o se esista un numero per cui, applicando l'algoritmo, non si giungerà mai a 1. Il numero di passaggi può crescere all'aumentare del numero di partenza: per arrivare a 1, partendo dal numero 97 servono 118 passaggi e partendo da 4646 servono 183 passaggi!

Il fatto che sia ancora una congettura può essere stimolante da spiegare alla classe: esistono tanti problemi in matematica che nessuno è ancora riuscito a risolvere.