Le espressioni tutti, al massimo, almeno e nessuno sono di fondamentale importanza sia in matematica che nella vita quotidiana. Meritano quindi particolare attenzione fin dall’inizio dell’educazione scolastica.

Proponiamo di riprendere le attività viste nella sezione Gli insiemi usando, questa volta, anche le espressioni tutti, al massimo, almeno e nessuno. Nella descrizione libera la classe è chiamata a descrivere le tavole con proprietà a scelta che includano necessariamente una fra le espressioni citate; analogamente in indovina il personaggio l'insegnante farà affermazioni usando le suddette espressioni.
Per aiutarsi nell'attività, si può scaricare il file GUIDA ALLE TAVOLE facendo click qui. Nel file si trovano proposte di descrizione di alcune tavole, fatte da cavalieri e furfanti.

TUTTI

L’intera quantità, l’intero numero, il pieno complesso, senza esclusione di alcuna parte o di alcuni elementi dell’insieme. [Treccani]

Probabilmente la maggioranza degli studenti conosce già la parola "tutti". Suggeriamo comunque, prima di procedere all’attività di descrizione delle tavole, di chiedere alla classe una spiegazione dell’espressione e qualche esempio concreto.

• Qual è una proprietà che vale per tutti i componenti della classe? (e.g. tutti hanno più di 2 anni, tutti hanno un quaderno).
• Qual è una proprietà che non vale per tutti i componenti della classe? (e.g. tutti hanno i capelli biondi, tutti hanno il nome che finisce per A).

Si procede dunque con l'attività di descrizione delle tavole, come mostrato in figura.

Oppure con l'attività di verifica delle proprietà enunciate dall'insegnante, come mostrato nella figura seguente.

Quando l'insieme è composto da pochi elementi, dopo la parola "tutti" si può specificare il numero di elementi dell'insieme: "tutti e due", "tutti e tre", ...
Il numero aggiunto non altera il significato della frase ma la rende più chiara. In particolare, "tutti e due" ha come sinonimo di uso più frequente la parola "entrambi".

L'attività di descrizione può essere svolta anche dividendo la classe in piccoli gruppi e consegnando ad ognuno una tavola di Zermelo stampata (o, in alternativa, proiettata alla L.I.M.). Nella sezione ALLEGATI si trova la scheda descrizione_tavole_tutti.pdf dove ogni gruppo può scrivere le proprie frasi.

Per conlcudere la discussione del concetto di "tutti" si può giocare a ZERMELO GAME (disponibile alla pagina www.oiler.education/zermelo) usando la L.I.M. o in aula informatica.
Nella pagina iniziale si seleziona esclusivamente TUTTI, scegliendo il livello 1 e il tempo a disposizione per la partita. Esistono tre tipi differenti di oggetti con cui giocare: COLORI, POLIGONI e NUMERI. Si consiglia di cominciare con la modalità COLORI e procedere in seguito alla modalità NUMERI (se la classe ha già affrontato i numeri fino al 9 e i concetti di numeri pari e dispari) e POLIGONI, dove la classe deve saper distinguere fra triangolo (un poligono con 3 angoli e 3 lati), quadrialtero (un poligono con 4 angoli e 4 lati), pentagono (un poligono con 5 angoli e 5 lati) ed esagono (un poligono con 6 angoli e 6 lati).

ALMENO

La locuzione "almeno" è molto spesso accompagnata da un numero che indica appunto il limite minimo che può essere raggiunto.
Facciamo un esempio: dire "ieri ho mangiato almeno 2 mele" vuol dire che ieri ho mangiato 2 mele oppure un numero maggiore.
Come si evince dall'esempio, quando si usa "almeno" non si dà sempre una descrizione completa della situazione, perché in generale si lasciano aperte più possibilità - a volte anche moltissime: in teoria, se dico la frase "ieri ho mangiato almeno 2 mele", potrei averne mangiate 100!

Dopo aver introdotto il concetto di "almeno", si procede con l'attività di descrizione delle tavole e verifica delle proprietà, come mostrato in figura.

Nell'usare "almeno" per descrivere le tavole si incoraggerà la classe a usare numeri diversi: "almeno 5 persone", "almeno 2 figure", ...

L'attività di descrizione può essere svolta anche dividendo la classe in piccoli gruppi e consegnando ad ognuno una tavola di Zermelo stampata (o, in alternativa, proiettata alla L.I.M.). Nella sezione ALLEGATI si trova la scheda descrizione_tavole_almeno_uno.pdf dove ogni gruppo può scrivere le proprie frasi.

Per conlcudere la discussione del concetto di "almeno" si può giocare a ZERMELO GAME (disponibile alla pagina www.oiler.education/zermelo) usando la L.I.M. o in aula informatica.
Nella pagina iniziale si seleziona esclusivamente ALMENO UNO, scegliendo il livello 1 e il tempo a disposizione per la partita. Esistono tre tipi differenti di oggetti con cui giocare: COLORI, POLIGONI e NUMERI. Si consiglia di cominciare con la modalità COLORI e procedere in seguito alla modalità NUMERI (se la classe ha già affrontato i numeri fino al 9 e i concetti di numeri pari e dispari) e POLIGONI, dove la classe deve saper distinguere fra triangolo (un poligono con 3 angoli e 3 lati), quadrialtero (un poligono con 4 angoli e 4 lati), pentagono (un poligono con 5 angoli e 5 lati) ed esagono (un poligono con 6 angoli e 6 lati).

AL MASSIMO

La locuzione "al massimo" presenta strette analogie con la locuzione "almeno", in effetti la parola "almeno" nasce come abbreviazione di "al minimo". La locuzione "al massimo" è molto spesso accompagnata da un numero che indica appunto il limite massimo che può essere raggiunto.
Facciamo un esempio: dire "si possono mangiare al massimo 2 mele" vuol dire che si può mangiare una mela, oppure se ne possono mangiare 2, o anche nessuna.
Come si evince dall'esempio, quando si usa "al massimo" non si dà sempre una descrizione completa della situazione, perché in generale si lasciano aperte più possibilità. Questo non avviene con la parola "tutti", perché questa descrive un'unica situazione (e.g. "ho mangiato tutte le mele" non lascia aperte più possibilità).

Dopo aver introdotto il concetto di "al massimo", si procede con l'attività di descrizione delle tavole e verifica delle proprietà, come mostrato in figura.

Nell'usare "al massimo" per descrivere le tavole si incoraggerà la classe a usare numeri diversi: "al massimo 5 persone", "al massimo 2 figure", ...
Un sinonimo di "al massimo", frequente perlopiù nell'uso matematico, è "al più".
Sottolineiamo infine che l'espressione "al massimo 0", per altro raramente usata, equivale a dire "nessuno".

NESSUNO

Neanche uno; è usato solamente al singolare, per escludere in maniera assoluta l’esistenza o la presenza o altra qualità o condizione di una persona, di un animale, di una cosa. [Treccani]

Ci troviamo nella situazione diametralmente opposta a "tutti". Suggeriamo anche qui, prima di procedere all’attività di descrizione delle tavole, di chiedere alla classe una spiegazione dell’espressione e qualche esempio concreto sull'uso della parola "nessuno".

STESSO CONCETTO, PAROLE DIVERSE

Con riferirimento all'ultima figura, dove l'insegnate afferma giustamente che nessun numero è dispari, notiamo che si può esprimere lo stesso concetto dicendo che tutti i numeri sono pari. In generale, affermare che "nessun oggetto ha un determinata proprietà" è equivalente ad affermare che tutti gli oggetti non hanno quella proprietà. Analogamente affermare che "tutti gli oggetti hanno una determinata proprietà" equivale ad affermare che non c'è un oggetto che non ha quella proprietà.

Facciamo qualche esempio:

• Dire "nessuna mela è marcia" equivale a dire "tutte le mele sono non marce"
• Dire "tutti gli studenti hanno portato il libro richiesto a scuola" equivale a dire che "nessuno ha dimenticato di portare il libro richiesto"
• Dire "tutti i rettangoli hanno le diagonali uguali fra loro" equivale a dire che "nessun rettangolo ha le due diagonali diverse"

NEGARE LE ESPRESSIONI "TUTTI" E "NESSUNO"

Molta attenzione va posta nel negare frasi che contengono le locuzioni "tutti" e "nessuno".
Se, ad esempio, un furfante dice "nessuna persona ha la maglietta rossa" non vuol dire che tutti abbiano la maglietta rossa: basta una sola persona con la maglietta rossa per rendere falsa la frase "nessuna persona ha la maglietta rossa".
Analogamente, se un furfante dice "tutti i numeri della tavola sono pari" non vuol dire che nessun numero sia pari: basta un solo numero dispari per rendere falsa la frase "tutti i numeri della tavola sono pari".

Nell'esempio in figura, il furfante dice mentendo che tutti i tetti sono verdi. D'altra parte non è vero che nessun tetto è verde - in realta ben 2 su 3 lo sono.

In generale, la negazione di "tutti hanno un certa proprietà" è "almeno uno non ha quella proprietà". Analogamente la negazione di "nessuno ha una certa proprietà" è "almeno uno ha quella proprietà".

Per approfondire la questione, proponiamo questi tre indovinelli: CLASSIC 17, CLASSIC 26, CLASSIC 47.

NEGARE LE ESPRESSIONI "ALMENO" E "AL MASSIMO"

Più delicata è la negazione delle locuzioni "almeno" e "al massimo". Ci limitiamo a qualche esempio:

• Se non è vero che "al massimo due studenti hanno la maglietta rossa" vuol dire che ci sono almeno tre studenti con la maglietta rossa
• Se non è vero che "almeno quattro mele sono marce" vuol dire che ci sono al massimo tre mele marce
• Se non è vero che "almeno uno studente è arrivato in ritardo" vuol dire che nessuno studente è arrivato in ritardo

COSTRUISCI L'INSIEME

Un'altra competenza importante è saper costruire un insieme rispettando le indicazioni fornite da furfanti e cavalieri, come nei due esempi mostrati di seguito. Per costruire gli insiemi si possono usare gli oggetti che si trovano nella sezione ALLEGATI (oggetti_figure, oggetti_numeri, oggetti_animali, oggetti_persone, oggetti_sacchi) o nella sezione LE TAVOLE.
Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre un modello da riempire per formulare esericizi simili (esercizi_costruire.pdf).

1. Due cavalieri stanno descrivendo un insieme di numeri. Riesci a creare un insieme coerente con quanto dicono?

   
   Soluzione: i cavalieri dicono sempre la verità, quindi bisogna creare un insieme dove tutti i numeri siano pari e ci sia almeno un numero di due cifre, come quello mostrato in figura.
   

2. Un cavaliere e un furfante stanno descrivendo un insieme di figure. Riesci a creare un insieme coerente con quanto dicono?

Soluzione: i cavalieri dicono sempre la verità, quindi bisogna creare un insieme dove tutte le figure abbiano quattro lati; i furfanti, d'altra parte, mentono sempre, quindi bisogna creare un insieme dove ci sia almeno una figura gialla. Una possibile soluzione è mostrata nella figura che segue.