Dopo aver ripassato il concetto di coordinate di un punto, visto nell'attività I punti e il reversi si richiama il concetto di segmento fra due punti.
Un segmento è il tratto di linea retta - da tracciare con la riga - che unisce due punti, detti estremi. Nel percorso di Dekart i segmenti vengono indicati con una notazione non diffusa, ma che ci sembra adatta al contesto: per indicare il segmento che unisce, ad esempio, i punti (1, 2) e (3, 4) si usa la notazione (1, 2)(3, 4) oppure, equivalentemente, (3, 4)(1, 2). In generale, quindi, si scrivono i due punti uno di seguito all'altro, in qualsiasi ordine, con una linea sopra.
Precisiamo che, in alcuni testi, la scrittura AB indica invce la lunghezza del segmento AB.

Nella sezione ALLEGATI si trova il file tavola_dekart.pdf pronto da stampare, che contiene il piano cartesiano in forma adatta per svolgere le attività sui segmenti.

I SEGMENTI CON DEKART GAME

Si può portare la classe nel laboratorio di informatica per giocare a DEKART GAME, disponibile alla pagina www.oiler.education/dekart. Si fanno selezionare esclusivamente le modalità PUNTO e SEGMENTO.

Nella modalità PUNTO si chiede di fare click sul punto indicato. Se si sbaglia la partita termina e bisogna cominciarne una nuova.

Nella modalità SEGMENTO viene chiesto di tracciare il segmento indicato, facendo click su uno dei due estremi e trascinando fino all'altro.

Informazioni più precise sul funzionamento di DEKART GAME si trovano sulla pagina del gioco.

LA FRASE SEGRETA

Quando la classe ha raggiunto una certa familiarità con i segmenti, un'idea è quella di fornire alcuni segmenti in modo che questi - una volta disegnati - formino una parola, una frase o un'immagine. In figura viene mostrato l'esempio, con soluzione sulla tavola di Dekart, della parola "CAN".

Quest'attività può essere usata dall'insegnate per introdurre frasi o immagini anche in un'ottica interdisciplinare.
Nella sezione ALLEGATI si trova il file 1_can_che_abbaia.pdf dove vengono date indicazioni per disegnare 5 parole. Queste parole, una volta unite, daranno il noto proverbio "can che abbaia non morde". La classe può essere divisa in gruppi, assegnando ad ogni gruppo una parola: dalla somma dei lavori dei vari gruppi si otterrà la frase completa.
Nel file 2_cogito.pdf si trovano invece i segmenti da traccaire per ottenere la scritta "cogito ergo sum", celebre frase di Cartesio. Alla seconda pagina del file si trovano alcune domande per introdurre la figura di Cartesio: nella sezione ALLEGATI è presente inoltre la scheda cartesio.pdf  in cui sono riportati alcuni aspetti della sua vita.
Nella sezione ALLEGATI si trovano anche il file 3_i_have_a_dream.pdf con la celebre frase di Martin Luther King Jr. e il file segmenti_libero che l'insegnante può usare come traccia per creare configurazioni personalizzate.

QUANTO PENDE UN SEGMENTO?

Un discorso importante riguarda la pendenza dei segmenti. Diremo che un segmento pende se è inclinato, cioè non è orizzontale.
Prima di parlare esplicitamente di pendenza, si consiglia di dividere la classe in piccoli gruppi per lavorare sulla scheda scale_del_castello.pdf che si trova nella sezione ALLEGATI.
Dopo che i gruppi avranno terminato la scheda, la si discute brevemente: la fatica che si sente nel salire una scala è dovuta a quanto questa è ripida. I gradini, in ogni scala, sono tutti uguali fra loro ed è dalle loro dimensioni che dipende la risposta. Occorre tener presente sia l'altezza dei gradini (parte verticale) sia la loro lunghezza (parte orizzontale): ad esempio, la scala gialla è più faticosa della scala rosa anche se i gradini sono più alti in quest'ultima, perché la scala rosa ha gradini ben più lunghi della scala gialla ed è quindi meno ripida.

Si disegnano alla lavagna alcuni segmenti, come quelli mostrati nella figura qui sotto, e si chiede alla classe quale pende di più, cioè quale è più inclinato. Si procede dunque a mettere i segmenti in ordine dal meno pendente al più pendente. Nel disegnare i segmenti, conviene inizialmente limitarsi a segmenti crescenti, cioè "in salita".

Si disegna quindi un piano cartesiano collocando al suo interno due o più segmenti, facendo in modo che ogni segmento abbia un estremo nell'origine (0, 0), come mostrato in figura in due esempi diversi. Nel primo piano cartesiano vengono mostrati i segmenti (0, 0)(1, 2) e (0, 0)(6, 3) mentre nel secondo piano cartesiano i segmenti
(0, 0)(2, 2) e (0, 0)(2, 4).

Si chiede quindi alla classe come si faccia a capire dalle coordinate del secondo estremo del segmento quanto questo pende. La classe può essere divisa in piccoli gruppi dove vengono discusse idee e formulate congetture. Ogni congettura va controllata con esempi e, per ogni congettura, si cercherà di capire se questa vale in tutti i casi o solo in alcuni; si andrà quindi alla ricerca di un eventuale controesempio, che falsifichi la congettura. Di seguito riportiamo alcune congetture sbagliate che possono emergere dalla discussione con relativi controesempi.
La prima risposta che forse viene in mente è che la pendenza dipende da quanto siano grandi le coordinate del secondo estremo, cioè che l'inclinazione sia legata alla grandezza delle coordinate. Si mostrerà quindi come questo non sia vero. In figura sono rappresentati i due segmenti (0, 0)(2, 2) e (0, 0)(4, 4): anche se le coordinate del secondo estremo sono più grandi per il secondo segmento, i due segmenti hanno palesemente la stessa pendenza.

Altre congetture consistono nel tener conto solo della prima o solo della seconda coordinata dell'estremo del segmento.

Si cerca quindi di introdurre l'intuizione che bisogna svolgere delle operazioni fra le coordinate del secondo estremo. Le prime operazioni che vengono in mente sono la somma e la differenza. La differenza non funziona: nella prima delle due figure qui sotto riportate, il segmento giallo è il più pendente e ha la differenza fra le coordinate minore rispetto al segmento viola. Nella seconda figura il più pendente è il segmento fucsia, per il quale la differenza delle coordinate e maggiore rispetto al verde. Nemmeno l'operazione di somma fra le due coordinate funziona: si può verificare facilmente con qualche esempio.

Considerando vari esempi, si giunge alla conclusione che per identificare la pendenza di un segmento, si esegue il rapporto fra la seconda e la prima coordinata: tanto più questo rapporto è grande, tanto più il segmento è inclinato. Nell'esempio in figura, il segmento rosso pende 2 ÷ 1, cioè 2, mentre quello azzurro pende 3 ÷ 6, cioè 0,5.

L'OMBRA DEI SEGMENTI

Si passa quindi a considerare il caso generale, senza limitarsi a segmenti con un estremo nell'origine. Per comprendere meglio come valutare la pendenza di un segmento in termini matematici, introduciamo l'ombra orizzontale e l'ombra verticale di un segmento. Il termine "ombra" può essere in seguito sostituito dal più preciso "proiezione".
L'ombra orizzontale è quel segmento orizzontale che ha un vertice in comune col segmento di cui si vuole tracciare l'ombra ed è orizzontale: la sua lunghezza dipende dal segmento di partenza e si tratta proprio di un'ombra, pensando che la luce arrivi verticalmente dall'alto. In figura è illustrata in rosso l'ombra orizzontale del segmento nero; l'ombra rossa disegnata ha lunghezza 3.

In altre parole, l'ombra orizzontale è quel segmento che ha le stesse prime coordinate del segmento di partenza e la seconda coordinata costante, uguale alla seconda coordinata del primo estremo del segmento.

Analogamente, l'ombra verticale è quel segmento verticale che ha un vertice in comune col segmento di cui si vuole tracciare l'ombra ed è verticale: la sua lunghezza dipende dal segmento di partenza e si tratta di un'ombra, pensando che la luce arrivi orizzontalmente da sinistra. In figura è illustrata in rosso l'ombra verticale del segmento nero; l'ombra rossa disegnata ha lunghezza 2.

Un segmento e le sue ombre formano sempre un triangolo rettangolo.
Il procedimento per calcolare la pendenza del segmento è analogo a quanto visto nella sezione precedente: se pensiamo di trasportare (più propriamente, traslare) il segmento in modo che il primo estremo sia nell'origine (come illustrato nelle figure seguenti) le lunghezze delle ombre corrispondono alle due coordinate del nuovo secondo estremo. Nell'esempio in figura, l'ombra orizzontale in verde ha lunghezza 2 mentre quella verticale, sempre in verde, ha lunghezza 1. Le coordiante dello stesso segmento traslato nell'origine sono proprio (0, 0)(2, 1). Si capisce quindi che per calcolare la pendenza di un segmento basterà dividere la lunghezza dell'ombra verticale per quella orizzontale.

Per calcolare la pendenza di un segmento in discesa il procedimento è analogo. Normalmente, in matematica, si stabilisce che un segmento in discesa ha pendenza negativa.

Per concludere l'attività si consiglia di consegnare alla classe esercizi_pendenza.pdf che si trova nella sezione ALLEGATI, gli esercizi possono anche essere svolti a coppie. Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file esercizi_pendenza_libero.doc con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati: una volta scaricato il file, i segmenti presenti possono essere modificati facendo click su un estremo e trascinando il segmneto a piacere.