È PIÙ FREQUENTE CHE...

Prima di cominciare l'attività, suggeriamo di proporre in classe alcune semplici domande che coinvolgano la nozione di frequenza. In particolare si tratta di valutare quale fra due eventi si verifica più spesso, come quelli suggeriti di seguito. Si lasceranno gli studenti liberi di argomentare a favore delle proprie risposte.

• In estate, è più frequente che piova o che ci sia il sole?
• È più frequente vedere una macchina o una moto?
• Sono più le volte che vado a dormire tardi o presto?
• È più frequente, dopo che è piovuto, che esca l'arcobaleno o che non esca?
• Nel gioco del calcio è più facile per una squadra vincere quando gioca in casa o quando gioca fuori casa?
• Sono più numerose le macchine scure o chiare?
• Capita più spesso che una persona abbia gli occhi azzurri o marroni?
• È più frequente incontrare una persona più grande o più piccola di me?

Per alcune di queste domande può essere stimolante raccogliere dati per analizzarli: ad esempio, affacciandosi dalla finestra, si contano quante moto e quante macchine passano in 5 minuti.

L'URNA

In questa prima attività si esplora il concetto di probabilità attraverso l'uso di palline colorate e di un'urna, che può essere una scatola o un qualunque contenitore.
Per iniziare, si inseriscono tre palline nell'urna: due di uno stesso colore (ad esempio verde) e una di colore diverso (ad esempio rosso).

Si chiede ad uno studente di pescare una pallina a caso senza far vedere la pallina pescata; si chiede poi alla classe quale colore sia stato pescato. Si incoraggiano gli studenti ad argomentare a favore delle proprie risposte.
Si procede dunque con varie estrazioni (ogni volta reinserendo nell'urna la pallina estratta), segnando il risultato di ogni estrazione alla lavagna. Poiché il contenuto dell'urna risulterà probabilmente non visibile dall'esterno, si consiglia di disegnare l'urna alla lavagna in modo da rendere evidente il contenuto (come nella figura precedente).

Dopo varie estrazioni - almeno 20 - si chiede agli studenti di commentare i risultati.
Si aggiungono poi due palline verdi all'urna, ottenendo in totale quattro palline verdi e una rossa. Si chiede alla classe se le possibilità di estrarre una pallina verde siano aumentatate, diminuite o rimaste invariate rispetto all'esperienza precedente. Si procede poi - anche in questo caso - a fare varie estrazioni, segnando i risultati alla lavagna, confrontandoli con quelli ottenuti nel primo esperimento.

Si continua quindi modificando i numeri di palline rosse e verdi nell'urna e chiedendo se sia più probabile pescare una pallina rossa o una pallina verde. In particolare, si inserirà nell'urna un numero uguale di palline rosse e verdi. Notiamo che nella terza delle urne in figura è impossibile pescare una pallina rossa perché è certo pescare una pallina verde.

Nel corso di questa fase dell'attività, l'attenzione sarà posta sull'argomentazione e sull'approccio qualitativo alla probabilità, piuttosto che su quello quantitativo: la probabilità qualitativa consiste nel confrontare eventi per stabilire quale è il più probabile senza ricorrere a calcoli. In contrasto, un approccio quantitativo alla probabilità implica il ricorso a calcoli e formule matematiche per determinare la probabilità di un evento.

Infine, si introducono all'interno dell'urna palline di un terzo colore, come il blu. Anche in questo caso si propongono diversi scenari con diverse combinazioni di palline colorate e si chiede agli studenti di mettere in ordine le probabilità di ogni colore. Per esempio, nella prima delle seguenti urne, è ugualmente probabile pescare il rosso e il blu ed è impossibile perscare il verde. Nella seconda pescare il verde è più probabile che pescare il rosso, che a sua volta è più probabile del blu. Nella quarta urna, è certo pescare una pallina blu.

CONFRONTARE DUE URNE

Si procede considerando due urne diverse: ciascuna può contenere palline blu, verdi o rosse. L'obiettivo è valutare quale delle due urne offre una probabilità maggiore di estrarre un certo colore.
Con due urne come quelle mostrate in figura, si propone il seguente gioco: si vince un premio se si estrae una pallina verde. Da quale urna conviene pescare? 

Una domanda analoga può essere posta con la seguente configurazione.

Per rispondere alla domanda, notiamo che - anche se entrambe le urne contegono quattro palline verdi - nell'urna marrone c'è solo una pallina rossa: è più probabile quindi pescare una pallina verde dall'urna marrone. Per contrapposizione, è più probabile pescare una pallina rossa dall'urna nera.

Si considerano poi le due urne seguenti, dove sono presenti anche palline blu. Si pongono alla classe tutte e tre le domande:

1. Si vince un premio se si estrare una pallina rossa. Da quale urna conviene pescare?
2. Si vince un premio se si estrare una pallina verde. Da quale urna conviene pescare?
3. Si vince un premio se si estrare una pallina blu. Da quale urna conviene pescare?

Per sperare di estrarre una pallina verde, bisogna chiaramente pescare dall'urna marrone. Per la pallina rossa è meglio l'urna nera, mentre per la pallina blu il discorso è più complicato: serve notare che nell'urna marrone le palline blu sono meno della metà mentre nell'urna nera sono esattamente la metà. Quindi l'urna da cui è più probabile pescare una pallina blu è l'urna nera.
Le stesse domande possono poi essere poste modificando la composizione delle urne.

UNA VARIANTE

Si propone alla classe il seguente gioco: se si pesca una pallina verde si vince, se si pesca una pallina rossa si perde e se si pesca una pallina gialla si reinserisce la pallina gialla e si pesca di nuovo (fino a che non esce una pallina verde o rossa).

Le urne da cui gli studenti possono pescare sono le seguenti due.

Il punto centrale dell'attività è comprendere che le palline gialle non hanno alcun ruolo: l'unica cosa che conta è il rapporto fra palline verdi e palline rosse. Facendo riferimento alla figura sopra, nella prima urna ci sono tante palline rosse quante verdi mentre nella seconda il numero di palline verdi è doppio rispetto al numero di palline rosse. Conviene quindi pescare dalla seconda urna.

NOTA METODOLOGICA: NON SEMPRE LE COSE VANNO COME PREVISTO

Consideriamo nuovamente il primo esempio, con due palline verdi e una rossa.

Supponiamo che lo studente A dica che è più probabile estrarre una pallina verde, mentre lo studente B una pallina rossa. Si procede all'estrazione e viene effettivamente estratta una pallina rossa. L'insegnante dovrà gestistire con cautela queste situazioni, in cui la risposta a priori "sbagliata" corrisponde - di fatto - all'evento. Un accorgimento sempre valido è ripetere più volte gli esperimenti, mostrando che - nel caso in esame - la pallina rossa esce meno di frequente. In ogni caso, va sottolineato che lo studio della probabilità fa previsioni sull'andamento di un evento, indicando l'esito che si verifica più volte, chiaramente senza la pretesa di dare garanzie.

LE FRAZIONI

Quest'attività si presta bene per introdurre o ripassare il concetto di frazione. Proponiamo alcuni spunti che possono essere esplorati durante tutto il corso dell'attività.

1. INTRODUZIONE ALLE FRAZIONI

Come prima idea, si può rappresentare l'urna con un grafico a torta, dove ogni fetta rappresenta una pallina.
Per esempio, nella figura seguente, la torta è stata divisa in 5 fette perché 5 sono le palline dell'urna, ogni fetta è stata poi colorata dello stesso colore della pallina corrispondente.

Con vari esempi, si chiarisce con la classe che la torta nel suo insieme corrisponde all'urna nel suo complesso e il numero di palline al numero delle fette. Per far intuire la costruzione del grafico a torta alla classe, si può partire da un'urna con due palline e, aggiungendo una pallina dopo l'altra, modificare di volta in volta il grafico a torta corrispondente.
Una volta chiarito il concetto di grafico a torta, si possono contare i numeri di palline di un certo colore riferendosi alla torta, cominciando con frasi del tipo "ci sono 3 fette rosse su un totale di 5 fette", oppure "3 su 5 sono rosse" oppure "i tre quinti sono rossi".

Per concludere, si possono consegnare alla classe esercizi come quelli proposti in esercizi_frazioni.pdf, dove viene chiesto dall'urna di ricavare il grafico a torta e dal grafico a torta di ricavare l'urna. In questa seconda tipologia di esercizio, chiaramente la risposta non è unica.

2. CONFRONTARE DUE FRAZIONI

Riprendiamo il primo esempio proposto nella sezione CONFRONTARE DUE URNE.

Per chiarire meglio da quale urna conviene pescare quando si vuole pescare una pallina verde, conviene confrontare i corrispondenti grafici a torta.

Come si nota, la porzione di cerchio colorata in verde è maggiore nella seconda torta.
Come ulteriore esempio, nella figura seguente si nota facilmente che la probabilità di pescare una pallina verde è uguale a quella di pescare una pallina rossa in entrambe le urne.