Il calcolo mentale è una competenza fondamentale da sviluppare e stimolare in vari contesti e forme.
In questa sezione presentiamo le note piramidi della somma e del prodotto. Nell'affrontare le piramidi, ci occuperemo esclusivamente dei numeri naturali; l'insegnante che lo ritenga opportuno potrà estendere l'attività ai numeri relativi.

LA PIRAMIDE SOMMA

Nella piramide somma, come quelle mostrate in figura, il numero scritto nel mattone in alto è la somma dei numeri scritti nei mattoni in basso (per esempio 13 è la somma di 6 e 7).

Con l'ausilio della L.I.M. o in aula informatica, si può giocare al gioco PITAGORAS GAME (disponibile su www.oiler.education/pitagoras). Il gioco sviluppa l'argomento delle piramidi con l'ausilio del personaggio del Più, che chiede di fare somme. Nella pagina principale del gioco, si seleziona esclusivamente la modalità SOMMA, scegliendo poi - a seconda della classe - la grandezza massima dei numeri presenti nelle piramidi (SOMMA MASSIMA).

I numeri possono essere inseriti da tastiera o da schermo con il mouse.

LA PIRAMIDE PRODOTTO

Nella piramide prodotto, come quelle mostrate in figura, il numero scritto nel mattone in alto è il prodotto dei numeri scritti nei mattoni in basso.

Con l'ausilio della L.I.M. o in aula informatica, si può giocare al gioco PITAGORAS GAME (disponibile su www.oiler.education/pitagoras). Il gioco sviluppa l'argomento delle piramidi con l'ausilio del personaggio del Per, che chiede di svolgere prodotti. Nella pagina principale si seleziona esclusivamente la modalità PRODOTTO, scegliendo poi le tabelline già note alla classe (SELEZIONA TABELLINE).

I numeri possono essere inseriti da tastiera o da schermo con il mouse.

PIRAMIDE A 2 LIVELLI E 4 NUMERI

In questa variante compaiono tre numeri in basso, come nell’esempio in figura. Naturalmente il numero in alto è la somma dei tre numeri in basso.

Dopo aver presentato alla classe la piramide, si possono proporre gli esercizi piramide_somma_2_livelli.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI. In ogni esercizio bisogna completare opportunamente la piramide (nella prima delle tre piramidi nella figura sotto la soluzione è 2); se nella piramide compaiono due spazi vuoti la soluzione non è unica (nella seconda piramide basta inserire due numeri che abbiano somma 7, come 2 e 5 o 1 e 6), mentre in altri casi la soluzione non esiste (l'ultima piramide in figura non si può completare se non usando i numeri negativi, di cui non ci occupiamo in quest'attività).

Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file piramide_somma_2_livelli_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi a piacere.

PIRAMIDE A TRE LIVELLI

Una variante più complessa vede invece l’uso di piramidi a tre livelli. La regola generale è che ogni numero è la somma dei due numeri su cui poggia.
Per esempio, nella prima figura 4 + 6 = 10, 6 + 2 = 8, 10 + 8 = 18 mentre nella seconda figura 3 + 0 = 3, 0 + 10 = 10 e 3 + 10 = 13.

Gli esercizi piramide_somma_3_livelli.pdf che compaiono nella sezione ALLEGATI sono di diverse difficoltà. Nei primi casi si chiede di completare una piramide con un solo spazio vuoto e si prosegue con esercizi via via più complessi.
Analizziamo alcuni esempi per vedere due strategie risolutive. Nelle prima piramide della figura seguente completare la piramide è relativamente facile, basta procedere con ordine eseguendo tutte le somme necessarie: si otterrà quindi 10 + 4 = 14, 4 + 8 = 12 e in cima 12 + 14 = 26.
Il completamento della seconda piramide in figura è analogo: il numero da inserire in ogni mattone vuoto può essere ottenuto come risultato di un'operazione specifica. Notiamo che uno stesso numero può essere ottenuto con due calcoli diversi: il numero della seconda riga può essere ottenuto sia come 19 – 8 sia come 4 + 7.

In altri casi è necessario applicare una strategia diversa. Facendo riferimento alla figura seguente, si nota che non è possibile trovare direttamente i numeri mancanati.

La strategia che più conviene consigliare alla classe in questa situazione è una strategia per tentativi. Si inserisce un numero a caso alla base, si completa la piramide di conseguenza e si analizza la situazione. Per esempio, nella figura seguente, si è provato inserendo 4 alla base: la somma finale purtroppo non torna perché 5 + 5 è diverso da 20. Poiché 10 è minore di 20, si aggiusta il tiro, provando - al posto di 4 - un numero più grande. Si procede in questo modo, provando vari numeri, fino alla risoluzione dell'esercizio.

Questa modalità di procedere è intimamente legata con le attività del percorso ROBINSON, sempre parte del nucleo tematico numeri.
Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file piramide_somma_tre_livelli_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati.

PIRAMIDI E CALCOLO ALGEBRICO

Le piramidi a tre livelli possono rivelarsi un buono spunto per parlare di calcolo algebrico e di equazioni. Riprendendo il caso analizzato in precedenza, indichiamo con x il numero incognito alla base. I numeri al secondo livello saranno entrambi 1 + x, come mostrato in figura.

Si ricava quindi che per scoprire il valore di x bisogna risolvere l'equazione 20 = 1 + x + 1 + x, cioè 20 = 2 + 2x, ottenendo x = 9.
In generale, qualsiasi piramide a tre livelli può essere schematizzata nella forma mostrata in figura.

Notiamo esplicitamente che il numero al vertice non è x + y + z bensì x + 2y + z.

PITAGORAS GAME

Quando la classe ha sviluppato una certa confidenza con le piramidi a tre livelli, si può giocare a PITAGORAS GAME [https://oiler.education/pitagoras] sulla L.I.M. o in aula informatica.

Nella pagina iniziale si seleziona la modalità SOMMA PLUS, si sceglie il tempo a disposizione per la partità e si fa click su START.

Durante la partita compaiono piramidi a tre livelli, come mostrato in figura. Il numero massimo che può comparire sul vertice della piramide è 100.