I numeri triangolari sono, come i numeri quadrati, numeri figurati, cioè che si possono ben rappresentare in forma geometrica.
Più precisamente, se la quantità di alcuni pallini è un numero quadrato - ad esempio 4, 9, 16, ... - allora i pallini possono essere disposti in modo da formare proprio un quadrato, nel senso geometrico.

Analogamente, un numero è triangolare se corrisponde al numero di pallini che si può inserire in un triangolo equilatero.

Scriviamo alcuni numeri triangolari a partire dal più piccolo: 1 (triangolo costituito da un solo punto), 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66...

I numeri triangolari offrono un buono spunto per sviluppare l'abitudine ad individuare regolarità in una sequenza di numeri.

Gli esercizi seguenti richiedono un'ampia esplorazione libera da parte della classe, all'occasione divisa in piccoli gruppi, nonché frequenti discussioni collettive sotto la guida dell'insegnante. È efficace che gli studenti ipotizzino e congetturino proprietà, che poi si riveleranno vere o false, con calma e con i tempi che sono necessari. Fornire direttamente alla classe le proprietà qui elencate senza alcuna discussione potrebbe rivelarsi poco fruttoso.

UNA FORMA ELEGANTE PER DESCRIVERE I NUMERI TRIANGOLARI
30 minuti

Si consegna alla classe numeri_triangolari.pdf e si chiede, sotto ogni triangolo, di inserire il numero di pallini corrispondente. Nella scheda di lavoro, sono presenti triangoli con molti pallini: questo può costituire uno stimolo a cercare strategie di conteggio alternative e più rapide. Si fa quindi emergere il concetto chiave: per contare il numero dei pallini di un dato triangolo, basta considerare il numero dei pallini del triangolo precedente e aggiungere il numero dei pallini dell'ultima riga.

Quindi:

• il secondo numero triangolare è composto da 1 (numero di pallini del triangolo precedente) + 2 (numero di pallini nell'ultima riga) = 3 pallini. 
• Il terzo numero triangolare è composto da 3 + 3 = 6 pallini.
• Il quarto triangolo è composto da 6 + 4 = 10 pallini.

In generale quindi l'n-esimo numero triangolare si scrive come somma di tutte le righe, cioè 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n.
È importante soffermarsi con la classe sul concetto che i numeri triangolari sono infiniti, nel senso che non esiste l'ultimo numero triangolare - perché la regola di cui sopra può essere applicata per qualsiasi numero n.

PARI, DISPARI E MULTIPLI DI 3
40 minuti

Osservando la successione dei numeri triangolari 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... si pongono alla classe le seguenti domande, all'occasione diviendola in piccoli gruppi per far ragionare insieme gli studenti:

1. Come si susseguono numeri pari e numeri dispari nella successione?
   Si chiede alla classe come si susseguano numeri pari e numeri dispari nella successione dei numeri triangolari. Scrivendo una decina di termini e osservandoli con attenzione, si conclude che nella successione si alternano due numeri dispari e due numeri pari. Una volta divisa la classe in piccoli gruppi, si chiede loro di cercare una spiegazione del perché questo accada. Il punto fondamentale da tenere presente è che la somma di due numeri pari è sempre pari, così come la somma di due numeri dispari; sommando invece un numero pari e un numero dispari si ottiene un numero dispari.
   Vediamo ora una spiegazione della proprietà sopra enunciata. Sottolineiamo che si parla di parità di un numero per indicare se quel numero è pari o dispari: la parità di 8 è pari mentre la parità di 7 è dispari.
   Come visto in precedenza, si passa da un numero triangolare al successivo sommando un nuovo numero. Se quest'ultimo numero è pari allora i due numeri triangolari avranno la stessa parità (se il primo è pari anche il secondo è pari, se il primo è dispari anche il secondo è dispari). Quando invece si somma ad un numero triangolare un nuovo numero dispari per ottenere il successivo numero triangolare allora si cambia la parità (se il primo numero è pari il secondo è dispari, se il primo numero è dispari il secondo è pari). Facciamo un esempio: il primo numero triangolare è 1 che è dispari. Per ottenere il successivo si fa 1 + 2, cioè si aggiunge un numero pari ad 1. Il risultato è 3, che è dispari così come 1: sommare 2, un numero pari, non ha cambiato la parità. Per arrivare al successivo numero triangolare si aggiunge 3, che è dispari, il precedente numero triangolare ottenuto era dispari e quindi quello nuovo, cioè 6, è pari.
2. Come si susseguono i multipli di 3 nella successione?
   Si nota che i multipli di 3 sono più numerosi di quanto ci si aspetterebbe: normalmente i multipli di 3 sono uno ogni tre numeri (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...) ma nella successione dei numeri triangolari sono ben due ogni tre (si parte da 1 che non è multiplo di 3, poi 3 e 6 sono multipli di 3, poi ancora 10 non è multiplo di 3 ma è seguito da 15 e 21 che sono multipli di 3).
   Una spiegazione rigorosa del perché questo accada esula dagli scopi dell'attività, ma anche la semplice osservazione della proprietà risulta utile.

LA FORMULA DI GAUSS
1 ora 30 minuti

La seguente attività prende spunto da un noto e verosimile aneddoto.

Carl Friedrich Gauss è uno dei maggiori matematici di tutti i tempi, nato in Germania nel 1777. Si racconta che, ai tempi della primaria, l'insegnante di Gauss gli avesse assegnato per punizione il compito di sommare tutti i numeri fino al 100 (sperando e pensando che il compito lo avrebbe tenuto buono per almeno mezz'ora). Dopo pochi minuti Gauss portò il risultato esatto all'insegnante, che probabilmente ne fu più infastidito che ammirato.

Lo scopo dell'attività è scoprire la regola che Gauss ha usato per svolgere i calcoli in maniera così veloce.
Per capire il ragionamento, partiamo da un caso semplice: calcolare la somma dei numeri da 1 a 10.

Scriviamo la somma per esteso e aggiungiamo una seconda riga con gli stessi addendi ma in ordine inverso, come in figura.

Notiamo che i due numeri presenti in ogni colonna hanno per somma 11, perché ogni volta che l'addendo della prima riga aumenta di 1 il corrispondente della seconda riga diminuisce di 1. In tutto le colonne sono 10.

In definitiva, per calcolare la somma di 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, si fa 11 × 10, cioè la somma di ogni colonna per il numero di colonne. Per ottenere la somma cercata inizialmente basta dividire il risultato per 2, perché la somma è stata scritta due volte (una volta in ordine crescente ed un'altra in ordine decrescente). Abbiamo quindi che la somma dei numeri da 1 a 10 è 11 × 10 ÷ 2 = 55.

Il discorso è generalizzabile a qualunque somma di numeri interi consecutivi a partire da 1. Per esempio, per sommare i numeri fino al 20, si fa 21 x 20 ÷ 2 = 210, come mostrato in figura.

Gauss, per svolgere il compito, ha semplicemente calcolato 101 x 100 ÷ 2 = 5050. Notiamo che nella formula compare l'ultimo numero della somma addizionato con 1 (e.g. 101) e il numero di addendi della somma (e.g. 100). Questi due numeri sono sempre consecutivi, perché l'ultimo numero della somma corrisponde esattamente al numero di addendi della somma stessa: abbiamo così la garanzia che uno dei fattori del prodotto sia pari, così che questo diviso per 2 dia un numero intero come risultato.
Fra gli allegati si trova gauss_esercizi.pdf, una proposta per far riscoprire alla classe i concetti appena espressi.

Lo scopo ultimo, raggiungibile anche riprendendo l'attività più volte, è capire che per calcolare la somma dei numeri fino ad un certo numero n (i.e. 1 + 2 + 3 ... + n) basta calcolare n × n+1 e dividere il risultato per 2.

SOMMA DI DUE TRIANGOLARI CONSECUTIVI
20 minuti

Si pone alla classe la seguente domanda: "che tipo di numero si ottiene se si sommano due numeri triangolari consecutivi qualsiasi?".
Facciamo qualche esempio: 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16. Osservando questi ed altri esempi, è probabile che qualche studente intuisca la risposta corretta: tutti i numeri ottenuti sono quadrati. È vero anche il viceversa, ogni quadrato è ottenibile come somma di due numeri triangolari consecutivi.
Una dimostrazione algebrica va rinviata al termine della scuola secondaria di primo grado, mentre una giustificiazione geometrica è interessante anche alla scuola primaria.

Notiamo anzittutto che rappresentare i numeri triangolari con un triangolo equilatero non è l'unica possibilità, un altro modo elegante per farlo è ricorrere a triangoli rettangoli isosceli - come in figura.

La conlcusione segue immediatamente da questa nuova disposizione: accostando opportunamente due triangoli consecutivi come in figura si forma sempre un quadrato.

Oltre alla giustificazione geometrica appena illustrata, può risultare stimolante anche un approccio algebrico. Come abbiamo visto nell'attività precedente, l'n-esimo numero triangolare può essere espresso dalla formula n × (n + 1) / 2. Il numero triangolare successivo è (n + 1) × (n + 2) / 2. La somma di due numeri triangolari consecutivi è dunque n × (n + 1) / 2 + (n + 1) × (n + 2) / 2 = (n + 1) × [ n + (n + 2) ] / 2 =  (n + 1) × (2n + 2) / 2 = (n + 1)².

I NUMERI TRIANGOLARI NELLA REALTÀ

Nella vita quotidiana possiamo trovare i numeri triangolari disposti proprio in un triangolo. Ad esempio i 10 birilli del bowling, o la posizione iniziale delle 15 palle in alcune specialità del biliardo.