UN GIOCO PRELIMINARE

Dividendo la classe a coppie, si propone il seguente gioco. Uno dei due giocatori pensa un numero intero (ad esempio, compreso fra 1 e 100), scrivendolo segretamente su un pezzo di carta: lo scopo dell'altro giocatore è indovinare il numero pensato.
Il giocatore che deve indovinare dice un numero a sua scelta e l'altro ha tre possibili risposte: "giusto", "maggiore", "minore".
"Giusto" vuol dire che il numero pensato è stato indovinato, "maggiore" vuol dire che il numero pensato è più grande del numero appena detto e "minore" vuol dire che è più piccolo. Le domande proseguono finché non viene indovinato il numero.
Nell'esempio in figura, lo studente con la maglia blu sta cercando di indovinare il numero pensato dall'avversario.

Una volta che il numero è stato indovinato, i giocatori si scambiano i ruoli. Vince chi indovina il numero dell'avversario con il minor numero di tentativi.

Quando la classe ha capito il meccanismo del gioco, sorge spontanea l'esigenza di tenere traccia dei vari numeri proposti.
Per farlo, è importante guidare la classe verso una scrittura condivisa, in modo che tutti usino le stesse notazioni per prendere nota della partita.
La notazione più naturale è usare scritture del tipo "n > 12", "n < 24", dove n indica il numero da indovinare. Riprendendo l'esempio in figura, lo studente con la maglia blu prenderà nota della partita scrivendo in ordine:

1. n < 43
2. n > 30
3. n < 36
4. n = 33 (soluzione)

Per tenere traccia della partita, da un punto di vista grafico, si può disegnare la retta dei numeri e cancellare di volta in volta le partiti escluse.

UNA BUONA STRATEGIA

Dopo alcune partite, gli studenti cominceranno probabilmente a sviluppare strategie per aumentare le proprie possibilità di vittoria.
Una strategia, che sicuramente permette di indovinare il numero, consiste nel dire - uno dopo l'altro - tutti i numeri in ordine! Chiaramente non è una buona strategia, perché richiede molto tempo per arrivare ad indovinare il numero.
Con il passare del tempo, è probabile che la classe capisca che - quando si sta cercando di indovinare il numero - dire un numero vicino alla metà (per esempio dire il numero 50 se l'intervallo è fra 1 e 100) è più conveniente che dire un numero vicino agli estremi (come 20 o 90).
In effetti, la strategia migliore (senza tener conto di aspetti psicologici) è quella di dire sempre il numero a metà: vediamo la strategia applicata ad un esempio, in cui l'intervallo è fra 0 e 100.
Si comincia dicendo il numero 50: salvo casi particolarmente fortunati, la risposta sarà "maggiore" o "minore": in entrambi i casi avremo eliminato 51 numeri dalla lista dei numeri possibili.
Se la risposta è "minore" diremo 25 (perché 25 è a metà fra 0 e 50), se la risposta è "maggiore" diremo 75 (perché 75 è a metà fra 50 e 100). Continuiamo così, dicendo - di volta in volta - il numero a metà fra i numeri che rimangono: se la metà non è intera potremo accontentarci di un'approssimazione per difetto o per eccesso a nostra scelta.
A rigore, anche nel nostro esempio precedente, avremmo dovuto considerare il numero a metà fra 0 e 49 (cioè 24,5) e abbiamo approssimato a 25.

La strategia, applicata in un altro contesto, è nota come metodo di bisezione.

BARARE AL GIOCO

Una variante più complicata del gioco consiste nel dare la possibilità, al giocatore che ha pensato il numero da far indovinare all'avversario, la possibilità di barare.
Più precisamente, può modificare il numero pensato durante la partita per rendere più difficile la partita dell'altro giocatore. Modificando il numero, il giocatore non potrà però entrare in contraddizione con le prorpire risposte precedenti. Ad esempio, se in un certo momento il giocatore ha detto che il numero è maggiore di 30, non potrà in seguito asserire che il numero è minore di 24.
Con questa variante si limita molto la fortuna del giocatore che sta cercando di indovinare; in particolare, non capiterà mai che il numero venga azzeccato al primo tentativo.
Nel giocare a questa variante è bene avere un terzo studente che giochi il ruolo dell'arbitro, tenendo traccia della partita e verificando che il giocatore che ha pensato il numero non entri in contraddizione con sé stesso.

INDOVINA IL NUMERO

Si propongono alla classe indovinelli del tipo: "conosco un numero che si chiama n e che sommato con 7 dà 13. Che numero è?".
Nel proporre gli esercizi, l'affermazione viene scritta alla lavagna in forma matematica: n + 7 = 13.
Per risolvere l'indovinello, è di fondamentale importanza accettare e incoraggiare un procedimento per tentativi (quindi anche risposte sbagliate) da parte degli studenti. Si invita a dare risposte veloci e intuitive e, se si sbaglia, a provare di nuovo con un altro numero aggiustando il tiro.
Prima di procedere alla fase successiva, è bene proporre vari esercizi di questo tipo, come "conosco un numero che sommato con 8 dà 8" (n + 8 = 8), "conosco un numero che sommato con sé stesso è uguale a 10" (n + n = 10), "conosco un numero che sommato con sé stesso e poi con 5 dà 9" (n + n + 5 = 9).
È importante fornire alla classe, ogni tanto, anche indovinelli impossibili, come "conosco un numero che sommato con sé stesso dà 3" (n + n = 3), che non ha soluzione all'interno dei numeri naturali, e indovinelli con più di una soluzione possibile, come "conosco un numero che moltiplicato per 0 dà 0" (n  × 0 = 0). In questo caso si metterà in evidenza che ogni soluzione è esatta e nessuna esclude le altre.

In generale, i problemi in cui bisogna trovare un numero incognito corrispondono a equazioni. La parola deriva dal verbo latino aequare cioè uguagliare. In quest'attività ci limitiamo alle equazioni di primo grado, in cui cioè compare n ma non compare mai n × n o, peggio, n × n × n.

RISOLVERE EQUAZIONI PER TENTATIVI

In uno spazio ampio, si dispongono confusamente sul pavimento alcuni dei fogli presenti in equazioni.pdf e i numeri numeri_ritagliare.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI. Il file con i numeri va stampato in più copie in modo che ci siano più foglietti con lo stesso numero. Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file equazioni_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi a piacere.

Lo scopo del gioco è mettere sopra la n di un'equazione un numero adatto per soddisfare l'uguaglianza. Per esempio, se si ha davanti un foglio con scritto 4 = n + 3 biosgna mettere il numero 1 sopra la n (mettendo qualsisasi altro numero l'uguaglianza non è soddisfatta). È importante sottolineare che nel caso di un'equazione in cui la n compare più di una volta, questa deve assumere sempre lo stesso valore: il quesito n + n = 4 ha come soluzione solo 2 + 2 = 4 e non 1 + 3 = 4.

La strategia da adottare in un primo tempo è una strategia per tentativi. Si sceglie un numero a caso, si osserva se l'ugualianza è verificata ed in caso contrario si prova un altro numero, aggiustando il tiro di volta in volta. Per aggiustare il tiro, e quindi avvicinarsi alla soluzione, la tecnica migliore è riprendere quanto visto nell'attività Maggiore o minore?.

Per risolvere l'equazione 5 + n = 7, come mostrato in figura, si comincia provando con un numero a caso, ad esempio 6. Si nota quindi che il numero ottenuto a sinistra del segno uguale è maggiore del numero alla destra; pertanto si passa a provare un numero più piccolo di 6, ad esempio 1. In questo la somma a sinistra dà un risultato minore del numero a destra: questo vuol dire che la soluzione è compresa fra 1 e 6. Dopo pochi tentativi si arriva alla soluzione 5 + 2 = 7.
Anche se l'esempio appena mostrato è semplice e forse non richiede tentativi, questa stessa tenica può essere applicata anche a equazioni più complesse con le dovute accortezze.

Sottolineiamo infine che alcune delle equazioni proposte non hanno soluzioni: per esempio n = n +1 non può mai essere soddisfatta, perché nessun numero è uguale al proprio successivo. Altre invece hanno più soluzioni: n + 2 = 2 + n è soddisfatta da qualsiasi numero!

SFIDARSI SULLE EQUAZIONI: LE DISFIDE

L'attività seguente si ispira alle disfide matematiche, che si svolgevano in Italia nel 1500. I concorrenti, a coppie, si ponevano l’un l’altro problemi matematici - di vario genere - e vinceva chi era in grado di rispondere a più domande dell’avversario. Chi poneva la domanda doveva conoscerne almeno una risposta parziale. Particolarmente famose sono state le disfide tra algebristi, in cui si chiedeva di risolvere equazioni di terzo e quarto grado. Queste disfide non erano un “gioco”, avevano un valore economico: si scommetteva sul vincitore e le Università assumevano i matematici anche in base al valore dimostrato nelle disfide.
Fra i protagonisti ricordiamo Scipione dal Ferro (1465-1526), il quale aveva trovato un formula (probabilmente non generale) per risolvere le equazioni di terzo grado, Niccolò Tartaglia (1499-1557), il personaggio più noto, Ludovico Ferrari (1522-1565) che trovò la formula per le equazioni di quarto grado. Dato che si trattava di sfide, ciascun matematico si guardava bene dal far conoscere le proprie formule, che dunque rimanevano segrete. Il primo che le divulgò - riuscendo a “carpire” la formula di Tartaglia - fu Gerolamo Cardano (1501-1576), del quale Ferrari era allievo. Nella sua Ars Magna Cardano pubblicò formule e dimostrazioni, ponendo così fine alle disfide sull’argomento. Anche se la Ars Magna contiene un parziale riconoscimento del lavoro di dal Ferro, Tartaglia e Ferrari, le formule divennero note come formule di Cardano.

Giocando a coppie, i giocatori si sfidano nel risolvere equazioni. Ogni giocatore crea un'equazione (di cui conosce una soluzione) e la fornisce all'avversario in forma scritta: il primo che risolve l'equazione ricevuta vince.
Prima di cominciare a giocare, si concorda con la classe l'intervallo in cui deve essere compresa la soluzione (ad esempio fra 0 e 10). Se, per esempio, l'intervallo scelto è fra 0 a 50 l'equazione n + 1 = 100 non può essere proposta perché la soluzione è 99 ed esce dall'intervallo.

Facendo riferimento alla figura, lo studente con la maglietta gialla - per poter proporre l'equazione - deve sapere che la soluzione è 6, mentre lo studente con la maglietta blu che la soluzione è 3.

LE PAROLE IMPORTANTI

Come si è visto, durante l'attività possono apparire tre tipi diversi di equazioni: equazioni per cui esiste una soluzione specifica (come n + 3 = 5), equazioni dove tutti i numeri sono una soluzione (come n = n + 2 – 2), equazioni impossibili, cioè dove nessun numero è soluzione (come n = n + 4).

Vale la pena discutere esplicitamente con la classe le espressioni "almeno uno", "tutti" e "nessuno". Nel farlo, si può integrare la discussione con il software Zermelo Game (disponibile su www.oiler.education/zermelo).
Nella pagina iniziale si sceglie se giocare con l'espressione TUTTI o con ALMENO UNO e l'ambiente di gioco (colori, numeri, figure).

Se si seleziona ad esempio l'espressione TUTTI, in ogni turno della partita il giocatore deve capire se la proprietà che compare in alto è rispettata da TUTTI o NON TUTTI gli elementi dell'insieme raffigurato.

Nell'esempio in figura la rispsota è TUTTI, perché tutti i pallini che compaiono sono rossi.

Per approfondire il discorso si consiglia il percorso di Zermelo (disponibile qui www.oiler.education/scuola/materiali/secondaria_primo_grado/zermelo).