Si presenta alla classe l'isola di Smullyan, un mondo fantastico dove abitano furfanti e cavalieri.

Furfanti e cavalieri sono pigri, e - quando scrivono - preferiscono essere sintetici usando simboli al posto di certe parole.

Il SIMBOLO "TUTTI"

Il primo simbolo ∀ serve per indicare la parola "tutti".
Dopo aver introdotto alla classe il simbolo, si pone un indovinello: come mai furfanti e cavalieri abbiano scelto proprio il simbolo ∀ per indicare il significato di "tutti"?
Si noterà, dapprima, che il simbolo è una A rovesciata, si suggerirà poi che la "A" è l'iniziale di una parola, quindi che la parola è in inglese.
In effetti, il simbolo ∀ deriva dall'inglese ALL.

Si possono proporre alla classe esercizi simili a quelli visti nell'attività Tutti, almeno, al massimo, nessuno, questa volta chiedendo anche di scrivere le affermazioni fatte da furfanti e cavalieri, usando chiaramente il simbolo ∀.

Quando si scrive una frase che contenga il simbolo ∀ questa va costruita seguendo regole precise, che possono essere stabilite dall'insegnante. Lasciamo comunque qualche suggerimento che ricalca le regole della logica formale: il ∀ si scrive all'inizio della frase, seguito da un nome generico che indichi gli oggetti che si stanno classificando (ad esempio, "∀ le figure"). Di seguito, si enuncia la proprietà che si vuole descrivere.

Per esempio, se si sta descrivendo una tavola dove ci sono numeri, si potrà scrivere "∀ i numeri sono pari" oppure, se si sta descrivendo una tavola con delle figure, "∀ le figure sono dei quadrati".

Se si vuole, in un secondo momento, approfondire il discorso aggiungiamo che - più propriamente - il simbolo ∀ indica "per ogni".
Pur avendo "per ogni" lo stesso significato di "tutti", ci sono due differenze di tipo linguistico: la prima è che "per ogni" regge il singolare e non il plurale (e.g. "per ogni persona" - "tutte le persone"), la seconda è che "per ogni" non si declina a seconda del genere (e.g. "per ogni animale", "per ogni sedia", ...). Inoltre, conviene specificare che si sta parlando di una determinata tavola, scrivendo "∀ figura della tavola".

Nello svolgere gli esercizi, è necessario avere due accortezze: in primo luogo il simbolo ∀ va sempre letto "tutti" (in alternativa "per ogni", "ogni" o "ciascun*") e non con altri suoni fantasiosi, in secondo luogo va chiarito che il simbolo si può usare solamente nell'isola dei furfanti e dei cavalieri (cioè in un contesto logico-simbolico) e non altrove (per esempio in un tema di italiano).

L'attività di descrizione può essere svolta anche dividendo la classe in piccoli gruppi e consegnando ad ognuno una tavola di Zermelo stampata (o, in alternativa, proiettata alla L.I.M.). Nella sezione ALLEGATI si trova la scheda descrizione_tavole_simbolo_tutti.pdf dove ogni gruppo può scrivere le proprie frasi.

Il SIMBOLO "ESISTE"

Il secondo simbolo ∃ serve per indicare le parole "almeno uno". Più propriamente, il simbolo ∃ indica "esiste".
Il simbolo "esiste" indica, appunto, l'esistenza di un oggetto con una determinata proprietà: analogamente ad "almeno uno", non è detto che questo oggetto sia unico (e.g. "in questa classe esiste uno studente con i capelli rossi" resta una frase corretta anche se in classe ci sono 5 studenti con i capelli rossi).

Anche in questo caso si pone un indovinello simile al precedente: come mai furfanti e cavalieri hanno scelto proprio il simbolo ∃ per indicare il significato di "esiste"?
Si noterà, dapprima, che il simbolo è una E rovesciata (questa volta specchiata rispetto a un asse verticale e non orizzontale), si suggerirà poi che la E è l'iniziale di una parola, quindi che la parola è in inglese.
In effetti, il simbolo ∃ deriva dall'inglese EXISTS.

Si possono anche qui proporre alla classe esercizi simili a quelli visti nell'attività Tutti, almeno, al massimo, nessuno, questa volta chiedendo anche di scrivere le affermazioni fatte da furfanti e cavalieri, usando chiaramente il simbolo ∃.

Quanto detto per il simbolo ∀ vale anche per ∃: il simbolo ∃ compare all'inizio della frase, seguito da un nome generico che indichi gli oggetti che si stanno classificando, per poi descrivere la proprietà.

Per esempio, si potrà scrivere "∃ un numero pari" oppure "∃ un numero della tavola pari" oppure "∃ una figura della tavola che è un rettangolo".

L'attività di descrizione può essere svolta anche dividendo la classe in piccoli gruppi e consegnando ad ognuno una tavola di Zermelo stampata (o, in alternativa, proiettata alla L.I.M.). Nella sezione ALLEGATI si trova la scheda descrizione_tavole_simbolo_esiste.pdf dove ogni gruppo può scrivere le proprie frasi.

GIOCARE CON I SIMBOLI: PRIME ESPERIENZE DI ARGOMENTAZIONE

Una volta che la classe ha compreso i simboli ∀ e ∃ si possono proporre giochi per analizzarli meglio. Per facilitare la successiva attività ZERMELO GAME si può introdurre anche il simbolo ¬, che furfanti e cavalieri usano per scrivere la parola "non". L'espressione "¬∀" andrà quindi letta come "non tutti" mentre l'espressione "¬∃" come "non esiste", cioè "nessuno".

ZERMELO GAME

Si gioca a ZERMELO GAME (disponibile alla pagina www.oiler.education/zermelo) con l'ausilio di una L.I.M. Mentre si gioca, si aggiungono nuove regole:

• Giocando alla modalità TUTTI, nel caso si voglia rispondere "NON TUTTI" è necessario spiegare il perché (cioè argomentare a favore delle proprie idee).
  Più precisamente, ad esempio, bisogna indicare uno pallino specifico che non è del colore che appare scritto sullo schermo; nella figura seguente, se si vuole rispondere NON TUTTI, si deve indicare un pallino che non è blu (o il pallino rosso o uno dei verdi), pronunciando una frase come "non tutti i pallini sono blu perché questo è rosso".
  Nel caso si voglia rispondere "TUTTI" non è invece necessario aggiungere spiegazioni.

• Giocando alla modalità ALMENO UNO, quando si vuole rispondere effettivamente "ALMENO UNO" bisogna indicare un pallino che è del colore che appare sullo schermo. Nell'esempio mostrato in figura, si dirà "almeno un pallino è rosso perché questo è rosso".
  Nel caso si voglia rispondere "NESSUNO" non è necessario aggiungere spiegazioni.

Nella pagina iniziale si seleziona, oltre alle altre impostazioni, anche la Modalità Testimone.

Durante la partita, quando si sceglierà l'opzione "NON TUTTI" (o in alternativa "ALMENO UNO") il gioco chiederà PERCHÉ. Si dovrà dunque fare click su un testimone, cioè su un oggetto che testimonia la propria risposta: nel caso del "NON TUTTI" si farà click su un oggetto che non soddisfa la proprietà mostrata, nel caso dell' "ALMENO UNO" su un oggetto che la soddisfa.

Nell'esempio in figura, dopo aver scelto l'opzione "NON TUTTI", si fa click sul rettangolo rosa perché questo non è un triangolo. In altre parole, non tutti sono triangoli perché c'è una figura che non ha tre lati.

LE TAVOLE

Successivamente, prendendo spunto dall'attività in cui l'insegnante fa un'affermazione riguardo una tavola e lo studente deve capire se a parlare sia un furfante o un cavaliere, l'insegnante (o un altro studente) scrive - vicino una tavola - un'affermazione usando il simbolo ∀. Se lo studente ritiene che a parlare sia un cavaliere, quindi che la frase sia vera, dice semplicemente di essere d'accordo. Se invece ritiene che la frase sia falsa (cioè che sia un furfante a parlare) dovrà fornire un controesempio, cioè indicare un elemento della tavola dove la proprietà espressa dall'insegnante non sia verificata.

Difatti, per sostenere che un'affermazione del tipo "∀ figura della tavola, quella figura è un triangolo" è falsa bisogna individuare una figura della tavola che non sia un triangolo, affermando cioè  "∃ una figura che non è un triangolo".
In modo analogo, la negazione di "∀ numero della tavola, il numero è minore di 100" è "∃ un numero della tavola che non è minore di 100".

L'insegnante può scrivere anche affermazioni che iniziano con il simbolo ∃. Come nel caso precedente, se lo studente ritiene che a parlare sia un cavaliere, dovrà semplicemente dire di essere d'accordo. Se invece lo studente ritiene che a parlare sia un furfante, dovrà chiedere all'insegnante "chi?" o "quale?" oggetto della tavola verifichi la proprietà enunciata con l'esiste. A quel punto, l'insegnante indicherà un oggetto della tavola. Se lo studente sarà convinto che quell'oggetto verifica effettivamente la proprietà descritta dall'insegnante, lo studente avrà perso; se invece l'oggetto non verifica la proprietà enunciata dall'insegnante, lo studente, dopo aver messo in luce che l'oggetto non verifica la proprietà, avrà vinto la partita.

I QUANTIFICATORI E IL QUADRATO ARTISTOTELICO

I simboli ∀ ed ∃ sono noti in logica matematica come quantificatori. I quantificatori, come suggerisce la parola, indicano "quanti" elementi godono di una certa proprietà: almeno uno o tutti. Si noti, inoltre, che è facile esprimere il concetto "nessuno" usando i quantificatori: asserire che "nessun animale della tavola sa volare" equivale ad asserire che "tutti gli animali della tavola non sanno volare". Più in generale, dire "nessuno ha la proprietà A" equivale a dire che "tutti non hanno la proprietà A" oppure, anche, a dire "non esiste un elemento con la proprietà A".

Gottlob Frege (1848-1925) fu il primo ad utilizzare un quantificatore in un contesto matematico formale. Giuseppe Peano (1858-1932) introdusse poi notazioni specifiche per i quantificatori, usando in particolare il simbolo ∃. Gerhard Gentzen (1909-1945), nel 1935, introdusse il simbolo ∀ - modificando la meno chiara notazione di Peano per il quantificatore universale - che divenne canonico negli anni '60-'70.
In effetti, l'importanza dei quantificatori è stata riconosciuta fin dai tempi antichi; accenniamo qui al ben noto quadrato artistotelico, che confronta i quantificiatori e i loro significati.

L'immagine (ripresa dal blog Utopia Razionale) mette in luce i legami fra quattro proposizioni: A (tutti gli uomini sono mortali), E (nessun uomo è mortale), I (alcuni uomini sono mortali) e O (alcuni uomini non sono mortali). Esprimiamo le quattro proposizioni nel nostro linguaggio:

• A è ∀ uomo è mortale
• E è ∀ uomo è ¬ mortale
• I è ∃ uomo mortale
• O è ∃ uomo ¬ mortale

Come si può notare dalla figura, alcune di queste informazioni sono in contrasto l'una con l'altra. Più precisamente si parla di proposizioni contradditorie quando una equivale alla negazione dell'altra (nel nostro caso la coppia A, O e la coppia E, I), si parla di proposizioni contrarie quando si esprimono fatti incompatibi (ma non per forza una delle due deve verificarsi, nel nostro caso A, E), si parla infine di proposizioni subcontrarie quando almeno una delle due deve verificarsi per forza (ma possono anche verificarsi entrambe, nel nostro caso la coppia I, O).

POTERE E DOVERE

Vale la pena accennare all'analogia, linguistica e concettuale, fra i quantificatori almeno uno e tutti con le parole potere e dovere. Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, affermare ¬ ∃ equivale ad affermare ∀ ¬ (cioè dire che nessun elemento gode di una certa proprietà equivale a dire che tutti non ne godono); similmente, affermare ¬ ∀ equivale ad affermare ∃ ¬ (cioè dire che non tutti gli elementi godono di una certa proprietà equivale a dire che almeno un elemento non ne gode). In altre parole, è lecito cambiare l'ordine fra negazione e quantificazione (lasciando inalterato il significato) a patto di cambiare il quantificatore. Un discorso del tutto analogo avviene con i verbi potere e dovere: affermare ¬ potere equivale ad affermare dovere ¬ (ad esempio, affermare "non puoi parlare" equivale a dire "devi stare zitto", cioè "devi non parlare"). Similmente, affermare ¬ dovere equivale ad affermare potere ¬ (ad esempio, affermare "non devi partire per forza" equivale a dire "puoi rimanere qui", cioè "puoi non partire"). Alcune volte, in alcune frasi retoriche, si usa addirittura ¬ potere ¬ per indicare appunto dovere (e.g., "non posso non ricordare che..." si usa per dire "sono costretto a ricorde che..."). Tuttavia, nel linguaggio corrente, ¬ dovere è in alcuni contesti inteso come dovere ¬: "non devi uscire" è spesso usato come sinonimo di "devi non uscire".

L'analogia fra quantificatori e i verbi potere e dovere è approfondita dalla cosiddetta logica modale (dove esistono dei simboli anche per i due verbi!). L'idea di fondo è che "dovere fare A" equivale a dire "in tutti i mondi possibili si fa A", mentre "potere fare A" equivale a "in almeno un mondo possibile si fa A".

È OPPORTUNO INTRODURRE I QUANTIFICATORI COME SIMBOLI?

La decisione di introdurre o meno i quantificatori come simboli spetta, chiaramente, all'insegnante. La mancata introduzione dei quantificatori non compromette il proseguimento del percoso da noi suggerito.
Riteniamo tuttavia che, in generale, l'introduzione di simboli - come anche i più semplici "+" e "=" - aiuti a condividere il significato di un concetto. In particolare, essendo le parole "tutti" e "almeno uno" importanti nella vita quotidiana, riteniamo che un simbolo che ne catturi il significato possa favorire un adeguato sviluppo del concetto soggiacente.