COS'È UNA RETTA?

«Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti» Euclide

Similmente a quanto succede per una linea - a livello matematico formale - è difficile dare una definizione di retta e, come detto nella sezione precedente, quello che usualmente si fa - in un contesto logico matematico - è introdurre questi enti in una teoria assiomatica: invece che cercare definizioni si precisano le proprietà caratteristiche. In altre parole, non si dice cosa la retta sia, ma come si comporta. In questo modo, qualunque sia l'immagine mentale che una persona può avere a riguardo, lo studio matematico si poggerà soltanto sulle proprietà condivise ed enunciate all'inizio della teoria.

RETTE PARALLELE

La parola parallelo deriva dal greco "Παρά" che vuol dire "accanto" e "ἄλληλος" che vuol dire "altro". Due rette parallele sono due rette "una accanto all'altra".
Più formalmente, due rette si dicono parallele se non si incontrano mai. Intuitivamente, le rette parallele si mantegono sempre a una stessa distanza.

RETTE PERPENDICOLARI

La parola perpendicolare deriva dal latino "perpendiculum" cioè "filo a piombo". Il filo a piombo era ed è infatti molto usato per trovare perpendicolari al terreno. Più precisamente, il prefisso "per" sta per "attraverso" mentre il suffisso "culum" è un diminutivo. Dal latino "pendere" deriva anche la parola "pound", unità di peso anglosassone.
Due rette si dicono perpendicolari quando, incontrandosi, individuano quattro angoli uguali.

I SEGMENTI

Un segmento è la porzione di una retta compresa tra due punti, chiamati estremi. La parola segmento deriva da "segmentum" cioè "taglio": un segmento è effettivamente tagliato su una retta.
Vale qui la pena di osservare che, quando si disegna una retta, di fatto si sta disegnando un segmento. Anche se a livello teorico la retta ha lunghezza infinita, non è essenziale precisarlo subito su un piano didattico. È invece importante far osservare che il disegno di una retta può essere prolungato a piacere da una parte e dall'altra. Aggiungiamo che i Greci avevano difficoltà filosofiche ad accettare l'infinito e Euclide stesso intende la retta come segmento prolungabile.
Concludiamo dicendo che se si considera un punto su una retta, questo è l'origine di due semirette. 

ATTIVITÀ SULLA RETTA

Ricordiamo che tutte le attività suggerite sono strettamente interconnesse tra loro e dovrebbero essere svolte in maniera alternata.

MANIPOLAZIONE

Si dividono gli studenti a coppie fornendo ad ogni coppia una corda, uno spago e un filo con un eventuale foglio su cui appuntare osservazioni. Si chiede di manipolare i differenti fili, facendo tenere ad ogni studente della coppia un estremità. In particolare, si proverà a rispondere a domande come:

• Quando le varie corde formano una retta?
• Quando una non retta?

Le osservazioni di ogni gruppo potranno poi essere condivise, guidate dall'insegnante.

OSSERVAZIONE 

Per l’attività di osservazione, come è avvenuto per la linea, si cercano dapprima esempi di rette e segmenti all’interno della classe o della scuola e successivamente si proiettano fotografie o dipinti. In questa fase può essere interessante introdurre il concetto di linee rette parallele.

DISEGNO

È molto importante che gli studenti imparino a disegnare una retta a mano libera con una certa accuratezza. Disegnare una linea più o meno dritta non è semplice e richiede pratica.
Ci limitiamo a lasciare qualche indicazione e qualche esercizio che può risultare utile.

1. Non calcare quando si sta tracciando la retta
2. Mentre si traccia la retta cercare di tenere fermi polso e gomito, muovendo il braccio con la spalla
3. Le rette in orizzontale sono più facili da tracciare, quindi valutare se può essere conveniente girare il foglio

Gli esercizi che possono essere svolti sono vari, ad esempio disegnare due punti a piacere su un foglio e tracciare la linea retta che passa per questi due punti, oppure disegnare varie linee parallele cercando di mantenerle invariata la distanza fra ogni retta e la successiva.

PER DUE PUNTI PASSA UNA SOLA RETTA

Si chiede alla classe di disegnare due punti a piacere su un foglio bianco. Si chiede ora di disegnare una spezzata a piacere che passi per i due punti: una volta terminato il disegno si confrontano i vari disegni ottenuti dagli studenti, notando che le spezzate sono diverse fra loro.
Si ripete l'esercizio con una linea curva, notando - anche in questo caso - che le linee ottenute sono diverse fra loro.
Si conclude l'esperienza ripetendo l'esercizio con una linea retta: in questo caso i disegni fatti dagli studenti risulteranno tutti - sostanzialmente - uguali. Questo perché per due punti passa una sola retta.

PIEGATURA DELLA CARTA

La piegatura della carta, conosciuta anche come origàmi, riveste un ruolo cruciale. Non solo stimola lo sviluppo delle abilità motorie fini e della concentrazione negli studenti, ma facilita anche la comprensione di concetti geometrici fondamentali. Inoltre, l'approccio dell'origami, basato su approssimazioni successive, insegna l'importanza dei tentativi e degli errori.

Si chiede alla classe di segnare due punti a piacere su un foglio bianco, come quelli mostrati in figura.

Si chiede ora di piegare il foglio in modo tale che i due punti verdi siano contenuti nella piega. L'esercizio non è facile e probabilmente saranno necessari alcuni tentativi prima di ottenere la piega desiderata. In figura è mostrata la piega con una linea tratteggiata.

Si chiede quindi alla classe di commentare quanto ottenuto: una linea retta che passa per i due punti.
Si procede chiedendo di effettuare una seconda piega, questa volta che faccia toccare (i.e., sovrapporre) i due punti.

Si commenta quindi il risultato con la classe, confrontando le varie configurazioni ottenute. Si noterà che le due rette assumono sempre la stessa posizione reciproca e si chiederà di descriverla. L'esperienza può risultare utile come primo approccio agli angoli retti.

Su un altro foglio, si chiede di disegnare due semirette a piacere che abbiano l'origine in comune.

Si chiede ora di piegare il foglio in modo da far sovrapporre le due rette. In figura, la piega è mostrata con una linea tratteggiata.

Da un punto di vista geometrico le due semirette sono i lati di un angolo e la linea tratteggiata divide l'angolo in due parti uguali, è cioè la bisettrice.

ILLUSIONI OTTICHE

Le illusioni ottiche rappresentano uno strumento prezioso per stimolare l'immaginazione e la creatività degli studenti. Queste immagini ingannevoli, che inducono il nostro cervello a percepire cose in modo diverso dalla realtà, non solo affascinano e divertono, ma servono anche come punto di partenza per discussioni: si incoraggia la classe a osservare e analizzare le illusioni ottiche, sviluppando la capacità di vedere le cose da prospettive diverse.

Riguardo a rette e segmenti, consigliamo di cominciare mostrando l'illusione di Muller-Lyer, chiedendo quale linea sia più lunga.

In realtà i due segmenti hanno stessa lunghezza.

Si prosegue poi con l'illusione di Hering, chiedendo di descrivere la configurazione.

Le due linee rosse sono in realtà rette parallele.

Si conclude con l'illusione di Zollner.

Le rette verdi sono tutte parallele fra di loro.