La congiunzione e, indicata con il simbolo ∧ oppure con l'inglese AND, è un connettivo. In logica matematica un connettivo congiunge due affermazioni, per esempio quelle costruite con i predicati o le loro negazioni. In questo modo si ottiene una nuova affermazione.
Per esempio, congiungendo PARI(10) e DISPARI(5) si ottiene l'affermazione PARI(10) ∧ DISPARI(5) che va letta come "il numero 10 è pari e il numero 5 è dispari".
Le due affermazioni non devono necessariamente avere significati affini:
PARI(10) ∧ ALBERO(cellulare) è un'affermazione costruita correttamente che va letta come "il numero 10 è pari e il cellulare è un albero".

Il punto centrale è capire quando un'affermazione costruita con una congiunzione è vera e quando è falsa. Davanti all'affermazione precedente PARI(10) ∧ ALBERO(cellulare) la maggior parte di noi può essere portato a dire qualcosa come "la frase è metà vera e metà falsa". In logica matematica si stabilisce invece che una congiunzione è vera solamente nel caso in cui entrambi i predicati sono veri. Quindi, riassumendo, la congiunzione COLORE(finestra) ∧ 2+2=3 è falsa perché i predicati sono entrambi falsi, COLORE(finestra) ∧ 2+2=4 è falsa perché uno dei due predicati è falso mentre COLORE(rosso) ∧ 2+2=4 è vera perché entrambi i predicati sono veri. La tabella seguente - chiamata normalmente tavola di verità - esprime meglio la situazione, dove A e B indicano predicati qualsiasi.

Altri esempi sono:

• PARI(8) ∧ ¬PARI(9) si traduce come "il numero 8 è pari e il numero 9 non è pari" che è vera;
• ¬ALBERO(quercia) ∧ ANIMALE(cane) si traduce come "la quercia non è un albero e il cane è un animale" che è falsa.

Suggeriamo, nell'affrontare la ∧ con la classe, di non presentarla subito come un simbolo che traduca fedelmente la congiunzione "e" ma lasciare che le analogie emergano gradualmente. Quando la classe avrà sviluppato una certa consapevolezza del simbolo si possono sottolineare i punti in comune ma anche le differenze con la "e" usata nel linguaggio corrente. Per esempio, spesso la e si usa nelle liste dove non vengono congiunte due affermazioni: le città più popolose di Italia sono Roma, Napoli e Milano; oppure i numeri si distinguono in pari e dispari. Infine, nel linguaggio corrente usiamo spesso anche altri vocaboli che sul piano logico corrispondono alla ∧, come il "ma" (fa freddo ma è sereno) ed il "mentre"(5 è dispari mentre 4 no).

IL CIRCUITO CON L’AND

Per intrdourre la ∧, consigliamo di riprendere l'idea dei circuiti vista nell'ATTIVITÀ TEATRALE. Il circuito sarà percorso simultaneamente da più studenti che formano una squadra: se nel cerchio rosso (che è sempre uno) riesce ad arrivare un cavaliere vincono tutti i giocatori che hanno preso parte al circuito. Si introduce inoltre il nuovo simbolo AND: lo studente che indosserà quel simbolo sarà in un hula hoop con due corde “in entrata” ed una “in uscita”. La "Signora AND" o il "Signor And" preferisce i furfanti: se vede arrivare due furfanti fa passare uno dei due a sua scelta, se arrivano un furfante ed un cavaliere fa il furfante e se vede arrivare due cavalieri sarà costretto, in mancanza di furfanti, a far passare uno dei due cavalieri
La strategia vincente in questo caso è partire entrambi cavalieri: se anche uno solo dei due parte furfante, come nell'esempio in figura, nel cerchio rosso arriverà un furfante.

Si nota quindi l'analogia con la tavola di verità della ∧: così come si vince al circuito solo se entrambi i giocatori sono cavalieri, così la ∧ è verificata solo se entrambi i predicati sono veri.

Le regole del gioco possono essere cambiate: invece di far arrivare un cavaliere nel cerchio rosso, l'obiettivo diventa farci arrivare un furfante.
Se si vuole far ripassare alla classe i circuiti, si possono consegnare gli esercizi esercizi_circuiti_and.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI.

COLORARE IL SIMBOLO

Prima di introdurre il simbolo esplicitamente, si può raccontare che furfanti e cavalieri - quando scrivono - usano uno strano simbolo per costruire nuove frasi. Si può consegnare il simbolo da colorare che si trova nella sezione ALLEGATI (simbolo_and.pdf).

IL GIOCO DELLE VARIABILI CON LA ∧

Si riprende il gioco visto nell'attività Le variabili con l'aggiunta della nuova carta ∧ che si trova pronta da stampare nella sezione ALLEGATI (carta_and.pdf).
Si aggiunge la regola di usare il simbolo AND fra due predicati ottenendo una nuova scrittura come quella mostrata di seguito.

Quando si sostituisce una costante alla x, la costante deve essere la stessa in entrambi i predicati. Si tratta quindi di trovare un numero che soddisfi entrambe le condizioni. Nel caso mostrato in figura, le soluzioni possibili sono 0, 2, 4.

INTRODURRE LA "E" IN CLASSE

Quando si introduce il connettivo in classe, è importante porre molta attenzione alla parola entrambi - presentandola magari prima del connettivo stesso. Infatti la frase costruita con l'AND è vera se e solo se entrambi i predicati sono veri. Per aiutare l'apprendimento, si possono consegnare alla classe esercizi come quelli suggeriti in esercizi_and.pdf oppure esercizi dove ci sono espressioni da completare, dette da furfanti o cavalieri. Per esempio se un furfante dice "ANIMALE (cavallo) ∧ ANIMALE (x)" allora x dovrà necessariamente essere qualcosa che non è un animale, mentre se il furfante dice "ANIMALE (sedia) ∧ ANIMALE (x)" allora al posto di x si potrà mettere sia un animale che una qualnque altra cosa: la frase è già resa falsa da ANIMALE (sedia). In maniera simile, se un cavaliere dice "ANIMALE (cavallo) ∧ ANIMALE(x)" allora al posto della x dovremo necessariamente mettere un animale, mentre un cavaliere non potrà mai dire "ANIMALE (sedia) ∧ ANIMALE (x)", a prescindere da cosa sia x.

ARGOMENTARE CON LA "E"

Un aspetto importante riguarda la discussione fra due persone che hanno pareri diversi su un'affermazione costruita con un ∧.
Si consideri l'esempio in cui una persona afferma "COLORE(rosso) ∧ 3 + 3 = 5": se un interlocutore non è d'accordo vuol dire che ritiene che almeno un predicato fra COLORE(rosso) è 3 + 3 = 5 sia falso. Quindi l'interlocutore replicherà alla prima persona che ha fatto l'affermazione dicendo "Non è vero che COLORE(rosso) ∧ 3 + 3 = 5 perché 3 + 3 non fa 5".

In generale, ogni volta che non si è d'accordo con un'affermazione costruita con una "E", bisogna specificare quale delle due parti che sono congiunte è falsa (nel caso fossero entrambe false, basterà indicarne una a propria scelta).

BUL GAME

Un'attività conclusiva da svolgere alla L.I.M. o con computer o tablet per ogni studente, è il gioco BUL GAME (disponibile su www.oiler.education/bul). Nel menù principale si selezionano le tipologie VERO&FALSO, PREDICATI, NEGAZIONE e AND. Si può scegliere se inserire predicati di cultura generale - e.g. ANIMALE (tigre) - o predicati matematici - e.g. 3+2=5. Il livello corrisponde alla difficoltà dei predicati proposti: consigliamo di proporre il livello 2 esclusivamente per le classi quarta e quinta.