Calcoli a mente III

In quest’attività vediamo altri tipi di piramide somma, già introdotta in Calcoli a mente I.

PIRAMIDE A 2 LIVELLI E 4 NUMERI

In questa variante compaiono tre numeri in basso, come nell’esempio in figura. Naturalmente il numero in alto è la somma dei tre numeri in basso.

Dopo aver presentato alla classe la piramide, si possono proporre gli esercizi piramide_somma_2_livelli.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI. In ogni esercizio bisogna completare opportunamente la piramide (nella prima delle tre piramidi nella figura sotto la soluzione è 2); se nella piramide compaiono due spazi vuoti la soluzione non è unica (nella seconda piramide basta inserire due numeri che abbiano somma 7, come 2 e 5 o 1 e 6), mentre in altri casi la soluzione non esiste (l'ultima piramide in figura non si può completare se non usando i numeri negativi, di cui non ci occupiamo in quest'attività).

Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file piramide_somma_2_livelli_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi a piacere.

PIRAMIDE A TRE LIVELLI

Una variante più complessa vede l’uso di piramidi a tre livelli. La regola generale è che ogni numero è la somma dei due numeri su cui poggia.
Per esempio, nella prima figura 4 + 6 = 10, 6 + 2 = 8, 10 + 8 = 18 mentre nella seconda figura 3 + 0 = 3, 0 + 10 = 10 e 3 + 10 = 13.

Gli esercizi piramide_somma_3_livelli.pdf che compaiono nella sezione ALLEGATI sono di diverse difficoltà. Nei primi casi si chiede di completare una piramide con un solo spazio vuoto e si prosegue con esercizi via via più complessi.
Analizziamo alcuni esempi per vedere due strategie risolutive. Nelle prima piramide della figura seguente completare la piramide è relativamente facile, basta procedere con ordine eseguendo tutte le somme necessarie: si otterrà quindi 10 + 4 = 14, 4 + 8 = 12 e in cima 12 + 14 = 26.
Il completamento della seconda piramide in figura è analogo: il numero da inserire in ogni mattone vuoto può essere ottenuto come risultato di un'operazione specifica. Notiamo che uno stesso numero può essere ottenuto con due calcoli diversi: il numero della seconda riga può essere ottenuto sia come 19 – 8 sia come 4 + 7.

In altri casi è necessario applicare una strategia differente. Facendo riferimento alla figura seguente, si nota che non è possibile trovare facendo operazioni dirette i numeri mancanti.

La strategia che conviene consigliare alla classe per risolvere questo tipo di situazione è procedere per tentativi ed errori: si inserisce un numero a caso alla base, si completa la piramide di conseguenza e, infine, si analizza la situazione. Per esempio, nella figura seguente, si è provato inserendo il numero 4 alla base: la somma finale purtroppo non torna perché 5 + 5 è diverso da 20. Poiché 10 è minore di 20, si aggiusta il tiro, provando - al posto di 4 - un numero più grande. Si procede in questo modo, provando vari numeri, fino alla risoluzione dell'esercizio.

Con piramidi di questo tipo, dove la soluzione va trovata con tentativi ed errori, si esercita bene il calcolo mentale e si acquisisce il senso del numero: pian piano i vari tentativi, all'inizio casuali, saranno rimpiazzati da tentativi sensati che si basano sugli errori precedenti.

Un ulteriore aspetto chiave è che esistono piramidi non possibili da completare se ci si limita ai numeri interi, come quella mostrata nella figura seguente.

Questo può avvenire, in particolare, per un problema di parità. Facendo riferimento alla figura sotto, poniamoci nella situazione in cui il numero nel vertice in alto sia un numero pari e i due numeri nei vertici alla base siano un pari e un dispari.

Immaginiamo di inserire un numero qualsiasi n al centro della base.

Abbiamo due possibilità: n è pari oppure n è dispari. Nel caso n sia pari, nel secondo livello troveremo un pari (dato dalla somma PARI + n) e un dispari (dato dalla somma n + DISPARI): se così fosse, il numero in alto dovrebbe essere dispari, risultando dalla somma di un pari e un dispari, e non pari come ipotizzato. Ma anche nel caso n sia dispari nel secondo livello troveremo un dispari (dato da PARI + n) e un pari (dato da n + DISPARI): se così fosse, il numero in alto dovrebbe essere dispari, risultando dalla somma di un dispari e un pari. In altre parole, qualunque sia il numero interno n, la piramide non risulta completabile perché nel vertice in alto non può esserci un numero pari. In generale, ragionare su numeri pari e dispari è un metodo efficace per rendersi conto dell'impossibilità di completare una piramide con numeri interi. Proporre argomentazioni di questo tipo è un'esperienza significativa nelle ultime classi di scuola primaria.

La modalità di procedere per tentativi è intimamente legata con le attività del percorso ROBINSON, sempre parte del nucleo tematico numeri.
Nella sezione ALLEGATI si trova inoltre il file piramide_somma_tre_livelli_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati

PITAGORAS GAME

Quando la classe ha sviluppato una certa confidenza con le piramidi a tre livelli, si può giocare a PITAGORAS GAME [https://oiler.education/pitagoras] sulla L.I.M. o in aula informatica.

Nella pagina iniziale si seleziona la modalità SOMMA PLUS, si sceglie il tempo a disposizione per la partita e si fa click su START.

Durante la partita compaiono piramidi a tre livelli, come mostrato in figura. Il numero massimo che può comparire sul vertice della piramide è 100.