DISCUSSIONE PRELIMINARE

Si rivolgono alla classe delle domande per indagare le conoscenze pregresse sui numeri negativi e relativi (avete mai visto un numero con il segno meno davanti? Dove e in quale occasione?), invitando gli studenti ad esplorare tra i propri ricordi. Idee che possono emergere durante la discussione sono: la temperatura, l'altitudine, i piani segnati in un ascensore, i punti penalità nei videogiochi, le classifiche negli sport, le coordinate geografiche e la linea temporale della storia (dove ricordiamo che l'anno 0 non esiste!). Per ogni idea che emerge, si cercano immagini che chiariscano i vari contesti.
Si invitano poi gli studenti a inserire i numeri negativi sulla linea dei numeri (Come e dove si scrivono i numeri negativi sulla linea dei numeri? Dove è lo zero?).

IL GIOCO DELLA MONETA RELATIVA

La prima attività che suggeriamo di proporre è un gioco corporeo. Sul pavimento del corridoio o della classe, si dispone la linea dei numeri relativi. La linea dei numeri può essere rappresentata con fogli A4 ciascuno dei quali reca scritto un numero (come mostrato in figura) o con il nastro adesivo di carta scrivendo sopra i numeri. I numeri pronti per formare la linea dei numeri sono disponibili nella sezione ALLEGATI con il nome di linea_numeri_relativi.pdf.

Se ci sono le piastrelle, si possono usare queste come riferimento, chiedendo alla classe dove inserire ogni numero. Consigliamo una linea lunga 19 piastrelle, dal –9 al 9.
Dopo aver correttamente sistemato la linea dei numeri, si passa al gioco. Il gioco si svolge fra due giocatori e vince chi arriva per primo a una delle due estremità della linea (ad esempio –9 o 9).

REGOLE DEL GIOCO

I due giocatori si dispongono entrambi sulla casella 0.

A turno, ciascun giocatore esegue questa sequenza di mosse:

• Il giocatore lancia una moneta che ha su una faccia il segno + e sull'altra il segno –, come quella mostrata in figura.
  
  Per la realizzazione della moneta, basterà tagliare un cerchio da un pezzo di cartone, scrivendo su una faccia il + e sull'altra il –, all'occasione con colori diversi.
  Il risultato del lancio indica se i passi verrano eseguiti in avanti (+) o indietro (–).
• Il giocatore ha a disposizione due dadi con un numero differente di facce, del tipo di quelli mostrati in figura. Ad esempio, si possono scegliere il dado classico a 6 facce e il dado tetraedrico a 4 facce. Il giocatore prende un dado a sua scelta e lo lancia.
  
  Il lancio del dado indica il numero di passi da fare (in avanti o indietro, seguendo quanto indicato dalla moneta).

Nell'esempio in figura, lo studente lancia la moneta ed esce +, successivamente sceglie di lanciare il dado a 6 facce e, nel lancio, esce 2. Lo studente compie quindi due passi in avanti.

Si possono far giocare pochi studenti alla volta; il resto della classe è chiamato a prendere nota di tutti gli spostamenti fatti da chi sta giocando. Alcuni studenti possono essere coinvolti chiamandoli a fare da arbitro, cioè a verificare che i passi fatti corrispondano a quanto uscito sulla moneta e sul dado, all'occasione scrivendoli sulla lavagna.

Ci si può quindi interrogare con la classe su quale sia una buona strategia da seguire. Si cercherà di sottolineare, durante la discussioe, come il risultato della moneta influenzi la scelta del dado: se si è in posizione "–8" e il lancio della moneta dà +, allora si spererà in un numero piccolo, scegliendo il dado con con meno facce.

Sottolineiamo che il gioco viene vinto anche andando oltre i numeri (da una parte o dall'altra).

COME RAPPRESENTARE UNA PARTITA?

Ci si interroga quindi con la classe sul come rappresentare lo svolgimento di una partita con un formalismo matematico. Per prima cosa, si concordano con la classe gli aspetti importanti che vanno comunicati. Verosimilmente - per indicare una mossa durante una partita - si individueranno come aspetti importanti: posizione iniziale, esito della moneta, esito del dado, posizione finale.

Si cercherà di condurre la classe verso la scrittura classica, dove l'esecuzione della mossa può essere indicato con una freccia → o con il simbolo =. È importante, una volta giunti a una scrittura condivisa, cercare di dare significato a ogni simbolo che appare nell'espressione, come mostrato in figura.

GIOCO DA TAVOLO

Il gioco può essere in seguito proposto come gioco da tavolo, dove ogni giocatore (anche più di due) usa una pedina da lui creata. La plancia da gioco è disponibile pronta da stampare nel file gioco_moneta_relativa.pdf presente nella sezione ALLEGATI. Per poter giocare, gli studenti saranno chiamati a costruire la propria moneta relativa. Durante la partita, i giocatori dovranno registrare su un foglio le mosse eseguite con la modalità discussa nella sezione precedente.

I NUMERI NEGATIVI NELLA STORIA

Una delle prime testimonianze dell'uso dei numeri negativi si ritrova nella matematica cinese, in particolare nel libro "Nove capitoli sull'arte matematica".
Nove Capitoli sull'Arte Matematica è un libro scritto da diverse generazioni di studiosi dal X al II secolo a.C., fra i primi testi matematici cinesi conosciuti. In questo testo, vengono usate bacchette da calcolo rosse per i numeri positivi e nere per i negativi, permettendo di risolvere sistemi di equazioni con coefficienti negativi​​.

In varie culture, fra cui quella indiana, i numeri negativi furono formulati e compresi nel contesto di situazioni come prestiti e debiti. Un numero negativo era quindi un debito, mentre un numero positivo un credito. Il matematico indiano Brahmagupta (598 – 668) descrive addirittura le regole per le operazioni con i numeri negativi, partendo da somma e differenza:

La somma di due positivi è positiva, di due negativi è negativa; la somma di un positivo e un negativo è la loro differenza; se sono uguali è zero. La somma di un negativo e zero è negativa, quella di un positivo e zero è positiva, e quella di due zeri è zero.
Un negativo meno zero è negativo, un positivo meno zero è positivo; zero meno zero è zero. Quando un positivo deve essere sottratto da un negativo o un negativo da un positivo, allora deve essere aggiunto.

Il testo prosegue quindi descrivendo la moltiplicazione.

Il prodotto di un negativo e un positivo è negativo, di due negativi è positivo, e di positivi è positivo; il prodotto di zero e un negativo, di zero e un positivo, o di due zeri è zero.

Il matematico persiano Abu l-Wafa (940 - 997) associa i numeri negativi a un debito: ad esempio, la scrittura 3 – 5 rappresenta un debito di 2. Accetta inoltre di moltiplicare questi numeri negativi per dei positivi. Tuttavia, non è raro trovare casi in cui i numeri negativi non fossero totalemente accettati. Ad esempio, Diofanto di Alessandria (200-284) considerava le soluzioni negative di un'equazione come "inutili", "prive di significato" e addirittura "assurde".

Per approfondire il discorso sulla storia dei numeri negativi, consigliamo il capitolo 3 di Negative Math: How Mathematical Rules Can be Positively Bent di Alberto A. Martínez. L'inizio del capitolo sottolinea come nonostante l'uso dei numeri negativi fosse diffuso in Europa già dalla metà del 1500, il loro uso ha creato vari disaccordi tra i matematici fino a metà del 1800.

Nella sezione ALLEGATI è presente il file india_numeri_negativi.pdf pronto da stampare su cui la classe può lavorare a coppie. Il lavoro può essere utile come preliminare per poi discutre le proprietà dei numeri negativi. Durante la discussione, si farà chiaramente riferimento a quanto avveniva nel gioco della moneta relativa.

LE PIRAMIDI DELLA SOMMA

Si possono quindi proporre le piramidi della somma, affrontate per esempio nella voce Calcoli a mente I, inserendo negli spazi anche numeri negativi.
Ricordiamo che nella piramide somma, come quelle mostrate in figura, il numero scritto nel mattone in alto è la somma dei numeri scritti nei mattoni in basso (ad esempio, –3 + 5 = 2).

Nella sezione ALLEGATI è disponibile il file esercizi_somma_relativi.pdf con alcuni esercizi pronti da stampare. È inoltre disponibile il file esercizi_somma_relativi_libero.odt con cui l'insegnante può creare esercizi a piacere. Nel risolvere gli esercizi ci si può chiaramente aiutare con la linea dei numeri.

Concludiamo precisando che si definiscono numeri interi (o numeri relativi) i numeri negativi (–1, –2, –3, ...) uniti ai numeri naturali (0, 1, 2, 3, ...).