Un anagramma di una parola è una parola che ha tutte e sole le lettere della parola iniziale, in qualsiasi ordine. Per esempio, a partire dalla parola ROMA, possiamo trovare gli anagrammi RAMO, MORA, ORMA, etc. In matematica è utile accettare come anagrammi anche parole prive di significato: MROA è un anagramma di ROMA. Inoltre, si considera anagramma di una parola anche la parola stessa: ROMA è un anagramma di ROMA.

QUANTI SONO GLI ANAGRAMMI DI UNA PAROLA?

Si stampano le lettere che si trovano nella sezione ALLEGATI. Si sceglie una parola qualsiasi di tre lettere, in seguito ERA, e si chiamano tre studenti per "indossare" le lettere, una a testa. Scegliendo la parola bisogna fare attenzione che le lettere siano tutte diverse fra loro.

Gli studenti si mettono in fila nell'ordine corretto per formare la parola. Si chiede quindi ai tre studenti di cambiare posizione, in modo da creare un'altra parola - per esempio REA. Ogni parola trovata in questo modo viene letta dalla classe e scritta alla lavagna; se si vuole si può distinguere fra parole e non parole, cioè parole con significato e parole senza significato.

Dopo qualche esempio, si contano tutte le parole e non parole scritte alla lavagna e si chiede se ce ne siano altre. Quest'ultima domanda è centrale nell'attività, vale quindi la pena dedicarci il tempo necessario ascoltando le opinioni di tutta la classe. Il passo successivo è chiedere, a chi afferma che le parole trovate siano tutte, una spiegazione: "come fai ad essere sicura/o che siano tutte?". Non è necessario arrivare subito ad una conclusione condivisa, mentre è molto opportuno trovare gli anagrammi di altre parole, sempre con tre lettere: ORA, EVA, TRA, ALI... In questo modo, si cerca di far sviluppare alla classe una strategia per trovare e contare gli anagrammi indipendentemente dalle lettere in gioco.

Gli anagrammi delle parole con tre lettere diverse sono 6. Vediamo un ragionamento più strutturato per capire il perché, che si potrà condividere con la classe in un secondo momento. Date tre lettere qualsiasi, per esempio ABC, per scegliere la prima lettera con cui formare un anagramma abbiamo tre possibilità: A, B oppure C (analogamente abbiamo tre scelte su quale sia il primo studente in fila). Una volta scelta la prima lettera - cioè fissato il primo studente - abbiamo due lettere restanti per la seconda posizione: se per esempio scegliamo che il nostro anagramma inizi con la lettera B, in seconda posizione potremo avere A oppure C, ottendendo BA oppure BC. Una volta fissate le prime due lettere, la terza è obbligata: nel caso di BA avremo BAC e nel caso di BC avremo BCA. Ricapitolando, abbiamo tre possibilità per scegliere la prima lettera, due per la seconda ed una sola per la terza. In tutto abbiamo quindi 3 × 2 × 1 = 6 possibilità.
Il ragionamento formale ricalca sicuramente la strategia intuitiva che molti svilupperanno per contare il numero degli anagrammi. Se si decide tuttavia di svolgere il calcolo con gli studenti è opportuno arrivare alla conclusione in maniera collettiva, sottolineando che il ragionamento che si sta facendo non dipende dalle lettere in questione (ragionare con ABC è equivalente a ragionare con, per esempio, HTR).

Dopo aver esaminato parole con tre lettere, si passa dapprima a parole di sole due lettere - per le quali si arriva in fretta a capire che gli anagrammi possibili sono solamente due - e poi a parole con quattro lettere, come ROMA citata nell'introduzione.

Nel caso di quattro lettere, scrivere tutti i possibili anagrammi richiede tempo ma è molto utile, specie se si arriva a scriverli in uno schema ordinato. Per schema ordinato si intende una tabella dove non si distingue più fra parole e non parole (che comunque possono essere evidenziate in seguito) ma dove si dà importanza all'ordine in cui le lettere compaiono, in particolare raggruppando tutte le parole che iniziano con una data lettera (analogamente tutte le parole che hanno lo stesso studente in prima posizione).

Dalla tabella risulta chiaro che gli anagrammi possibili della parola ROMA sono 24. Il ragionamento per arrivare al risultato è analogo al precedente: abbiamo 4 possibilità per scegliere la prima lettera (R, O, M oppure A), 3 per la seconda, 2 per la terza e una sola per l'ultima. Si ottiene quindi 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Dalla tabella si nota più precisamente che in ogni riga viene fissata la prima lettera e le altre assumono tutte le posizioni possibili. Per esempio, nella prima riga della tabella, viene fissata la R come lettera iniziale, a cui seguono tutti gli anagrammi della parola OMA, che già sappiamo essere 3 × 2 × 1 = 6. Siamo in presenza di un'applicazione di ciò che viene usualmente definito come principio di induzione, che chiaramente esula dai programmi del primo ciclo. Tuttavia, è probabile che sviluppare una buona intuizione sugli anagrammi aiuti la classe a capire il concetto chiave di passare dal caso con n lettere al caso con n+1 lettere ogni volta tramite uno stesso procedimento.
 
Nella sezione ALLEGATI, si trova anagrammi_esercizi.pdf da consegnare alla classe come esercitazione insieme a anagrammi_esercizi_libero.docx con cui l'insegnante può creare esercizi personalizzati.

GIOCARE CON GLI ANAGRAMMI

Abbiamo fino ad ora trattato gli anagrammi da un punto di vista matematico. Ciò non toglie che gli anagrammi più interessanti siano quelli che abbiano a loro volta un significato. In questa direzione, è opportuno che la classe si diverta a cercarli: per esempio NOMADI e DINAMO sono anagrammi di DOMANI, ARGINE e REGINA sono anagrammi di GERANI, etc. Inoltre, può essere divertente la richiesta di trovare il numero "nascosto" in alcune parole: si propone alla classe la parola TESTE e si chiede di trovare un anagramma che sia un numero (la soluzione è SETTE). Altre parole che nascondono un numero sono CONTE, INDUCI, CREDITI, NOTTATA, NERVETTI, NOTTURNE, STENTATA, STANASSE o QUANTA TERRA.

Vi lasciamo altri esempi di anagrammi: in giro è un anagramma di giorni, frase è un anagramma di sfera, aperti dopo è un anagramma di doppiatore, il libro è un anagramma di birillo. Una piccola curiosità è che si cerca la parola "anagramma" su Google, compare "forse cercavi: arma magna" - ossia un anagramma di anagramma.

IL FATTORIALE

Abbiamo visto che gli anagrammi di una parola con tre lettere tutte diverse fra loro sono 3 × 2 × 1, che gli anagrammi di una parola con due lettere diverse sono 2 × 1 e che gli anagrammi di una parola con quattro lettere - tutte diverse - sono 4 × 3 × 2 × 1. Non è difficile intuire che nel caso di una parola con cinque lettere (sempre diverse fra loro) gli anagrammi sono 5 × 4 × 3 × 2 × 1 e che, in generale, il numero degli anagrammi di una parola con n lettere è il prodotto di tutti i numeri fino ad n, cioè n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 × 1. In matematica, l'espressione appena fornita si definisce come fattoriale e si indica come n!. Per esempio, 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Come si nota dal precedente calcolo, il fattoriale cresce molto velocemente al crescere del numero: basti pensare che il fattoriale di 2 vale 2, mentre il fattoriale di 10 vale più di 3 milioni.
L'uso del punto esclamativo per indicare il fattoriale è stato introdotto all'inizio del XIX secolo dal matematico francese Christian Kramp.

ANAGRAMMI CON LETTERE RIPETUTE

La seconda fase dell’attività sugli anagrammi riguarda le parole dove una lettera viene ripetuta più volte, come ARA, CASA, ORSO, TETTO.
Per cominciare, si chiamano tre studenti per formare una parola di tre lettere di cui due uguali, come ARA.

Si chiede di prevedere quante parole diverse (i.e. quanti anagrammi) si possano formare con queste lettere. Si procede quindi trovando tutti gli anagrammi e scrivendoli alla lavagna; in realtà questa volta gli anagrammi sono solo 3: RAA, ARA, AAR. Il punto cruciale è chiarire che se due studenti che indossano la stessa lettera si scambiano fra loro, la loro posizione cambia ma la parola ottenuta è sempre la stessa. Questa eventualità non si presentava nella prima fase, perché ogni studente aveva una lettera diversa (cioè ad ogni lettera corrispondeva un unico studente).

Dopo aver fatto un altro esempio con una parola di tre lettere di cui due ripetute, si passa ad una parola di quattro lettere con due lettere ripetute, come CASA o ORSO.
Anche in questo caso, il numero di anagrammi è minore di quello visto nella prima fase dove le parole avevano quattro lettere tutte diverse fra loro. Gli anagrammi di CASA sono infatti 12:

È opportuno, in questa attività, fare molti esempi con parole diverse: la classe deve sviluppare una strategia per scrivere, velocemente e con sicurezza, tutti gli anagrammi di una parola data.

Analizziamo il punto centrale dell’attività, riprendendo in considerazione le parole ARA e CASA.
In ciascuna delle due parole, scambiare le due A in un anagramma non comporta alcuna differenza mentre nel caso delle parole, per esempio, ORA e CASO scambiare la A con la O genera una parola nuova. Si intuisce quindi il perché da 6 anagrammi per la parola ORA si passa a 3 per la parola ARA, così come da 24 anagrammi per la parola CASO si passa a 12 per la parola CASA: in entrambi i casi il numero di anagrammi è stato diviso per 2. In altre parole, ogni anagramma di ARA (oppure di CASA) può essere ottenuto con due posizioni diverse degli studenti, come mostrato in figura.

Si esamina quindi una parola con quattro lettere di cui una ripetuta tre volte, come ENEE.

Si cerca, anche qui, di capire a priori quanti siano gli anagrammi della parola considerata. Visto che questa volta le lettere ripetute sono tre, è spontaneo prendere il numero di anagrammi di una parola con quattro lettere tutte diverse fra loro e poi dividerlo per 3 (come prima si divideva per 2). Tuttavia, scrivendo tutti gli anagrammi di ENEE alla lavagna, ci si rende conto che sono solamente 4: NEEE, ENEE, EENE, EEEN. Si nota quindi che, per ottenere il numero di anagrammi della parola ENEE, 24 non è stato diviso per 3 bensì per 6. Questo perché ogni anagramma della parola ENEE può essere ottenuto con sei posizioni diverse degli studenti, scambiando fra loro gli studenti che indossano la lettere E.
In figura sono mostrati tutti i 6 modi in cui si può ottenere la parola EEEN cambiando la posizione degli studenti.

Si procede infine ad esaminare una parola con cinque lettere di cui una ripetuta tre volte, come TETTO.

Anche qui si scrivono tutti gli anagrammi trovati alla lavagna, accorgendosi che sono solamente 20. Il numero totale di anagrammi di una parola con cinque lettere tutte diverse fra loro, ossia 5 × 4 × 3 × 2 × 1, è stato diviso – invece che per 3 – per 6: si ha 120 ÷ 6 = 20.

Nella sezione ALLEGATI, si trovano due prove di verifica da consegnare alla classe (anagrammi_esercizi_2.pdf).

APPROFONDIMENTO: UNA FORMULA PER GLI ANAGRAMMI CON LETTERE RIPETUTE

Prendiamo come esempio la parola ENEE. Tutte le configurazioni dove si scambiano fra loro studenti che indossano la lettera E danno origine allo stesso anagramma. In quanti modi si possono scambiare fra loro i tre studenti che indossano la lettera E? La risposta è, in realtà, molto semplice: calcolare i possibili modi in cui si possono mettere tre studenti equivale a calcolare il numero degli anagrammi di una parola con tre lettere tutte diverse fra loro: 6, ossia 3! (ricordiamo che il “!” indica il fattoriale). Si capisce quindi perché, nel calcolare gli anagrammi della parola ENEE il numero totale di anagrammi di una parola con 4 lettere tutte diverse fra loro viene diviso per 6 e non per 3.
In generale, se si ha una parola con n lettere dove k lettere sono uguali fra loro, per calcolare il numero di anagrammi si fa n! ÷  k!.