I POLIGONI

Un poligono è figura limitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata. I segmenti che delimitano il poligono si chiamano lati del poligono, e gli angoli formati da due lati consecutivi si chiamano angoli interni del poligono. Gli estremi dei lati si chiamano vertici del poligono.
Il numero di angoli di un poligono è sempre uguale al numero di lati; non sorprende quindi che, nella terminologia corrente, si faccia a volte riferimento agli angoli (e.g., triangolo) e altre ai lati (e.g., quadrilatero), anche se i corrispettivi termini “trilatero” e “quadrangolo” sono ugualmente corretti.

CLASSIFICAZIONE DEI POLIGONI

In primo luogo i poligoni si classificano in base al numero di lati: triangolo è un poligono con 3 lati, quadrilatero è un poligono con 4 lati, pentagono con 5, esagono con 6, e così via. Le parole “pentagono” ed “esagono” hanno una radice etimologica greca: "pénte" vuol dire cinque, mentre "éxi" significa sei. È importante che gli studenti si abituino fin dalla classe prima di scuola primaria a classificare i poligoni contando semplicemente il numero dei lati.

Si potrà poi parlare, dalla classe seconda, di poligono equilatero se il poligono ha tutti i lati congruenti e, dalla classe terza, di poligono equiangolo se il poligono ha tutti gli angoli congruenti. Un poligono sia equiangolo sia equilatero si chiama regolare. Sottolineiamo che un triangolo equiangolo è anche equilatero e viceversa (e dunque regolare), un quadrilatero equilatero viene chiamato rombo, un quadrilatero equiangolo viene chiamato rettangolo, un quadrilatero regolare viene chiamato quadrato. Nelle figure seguenti vengono riportanti alcuni esempi di poligoni equilateri e equiangoli.

Per triangoli e quadrilateri esistono poi classificazioni specifiche, oggetto delle prossime voci, che fanno riferimento ai lati (congruenza o parallelismo) o agli angoli (ampiezza).

LE DIAGONALI

Una diagonale di un poligono è un segmento che collega due vertici non consecutivi del poligono. Un triangolo non ha diagonali.

Un'attività impegnativa, da proporre a partire dalla classe terza, consiste nel capire la relazione fra numero di lati del poligono e numero totale delle diagonali del poligono.

Si lascia alla classe il compito di compilare autonomamente la seguente tabella, cercando poi regolarità all'interno di questa.

Si nota anzitutto che il numero di diagonali è inizialmente minore del numero di lati, poi il pentagono ha tanti lati quante diagonali, infine il numero di diagonali diventa maggiore del numero di lati. La non semplice relazione fra il numero n di lati e il numero d di diagonali è d = n x (n − 3) / 2. Per capire la formula, notiamo che ogni vertice viene connesso da una diagonale a ciascuno degli altri vertici, tranne che a sé stesso e ai due vertici a lui vicini (perché connessi da un lato). Quindi da ogni vertice di un poligono con n lati escono n − 3 diagonali. Per ottenere il numero di diagonali bisogna dunque moltiplicare il numero di vertici per il numero di diagonali che escono da ogni vertice, ossia calcolare n x (n − 3). Tuttavia, così facendo, stiamo contando ogni diagonale due volte: il risultato finale va diviso per due. Questa attività di conteggio presenta strette analogie con l'attività Quanti saluti?.

ATTIVITÀ SUI POLIGONI

RICONOSCERE, CLASSIFICARE, RIPRODURRE

Un'attività importante in tutti gli anni di corso è l'osservazione della realtà, di fotografie o di immagini. Si osserva attentamente per individuare poligoni e classificarli in relazione a quanto visto su un piano teorico. Un'ulteriore attività importante è quella della copia: si sceglie un'immagine o un oggetto e si prova a disegnarlo. Prima di eseguire una copia, per aiutarsi nel lavoro è utile individuare dei poligoni nella figura da riprodurre: per approfondire il discorso di veda la voce Usare le tavole.

Come prima attività di classificazione, suggeriamo di ritagliare i poligoni presenti nel file poligoni_ritagliare.pdf nella sezione ALLEGATI e di fornirli alla classe. Il compito degli studenti, all'occasione divisi a coppie o in piccoli gruppi, è quello di classificare i poligoni in base a proprietà a loro scelta. Le proprietà potranno riferirsi ad esempio ai lati, agli angoli, alle simmetrie. Quanto individuato dai singoli gruppi potrà essere spunto per discussioni collettive dove introdurre criteri di classificazione.

COSTRUIRE POLIGONI

Con polionda (o cartoncino) e fermacampioni si possono svolgere varie attività manipolative per approfondire i poligoni. In particolare si tagliano dal polionda “segmenti” di varie lunghezze, bucati alle estremità per unirli fra di loro tramite fermacampioni. La classe potrà quindi costruire poligoni a propria scelta, indagando all'occasione alcune interessanti proprietà: una spezzata di tre lati, che forma un triangolo, una volta costruita non è deformabile (i lati individuano quindi gli angoli). Lo stesso non accade con poligoni di più lati. Si potrà poi notare che alcuni casi non si riesce a costruire un poligono: in particolare ogni lato deve essere minore della somma degli altri.

Un'attività analoga può essere svolta con fili di lana o con corde. Gli studenti tengono in mano corde di varie lunghezze e provano a formare poligoni.

I POLIGONI CON ZERMELO GAME

ZERMELO GAME è un gioco online (disponibile qui: www.oiler.education/zermelo) che accompagna le varie attività sui poligoni da un punto di vista logico. In questa sezione forniamo qualche indicazione più precisa sul gioco, che può essere giocato da L.I.M., da tablet o in aula informatica.

Nel seguente video si trova una panoramica generale del gioco. Una guida scritta è invece disponibile facendo click qui.

Nella pagina iniziale si seleziona con quali quantificatori giocare (si possono anche selezionare entrambi), l'ambiente poligoni, il livello e il tempo a disposizione nella partita. Si possono inoltre selezionare le modalità negazione e testimone.

LIVELLO 1

Gli elementi che compaiono sono poligoni e le proprietà sono TRIANGOLO, QUADRILATERO, PENTAGONO, ESAGONO (non compaiono invece poligoni con più di 6 lati). Si consiglia di introdurre progressivamente i vari tipi di poligono in classe, ripassandoli poi con quanto proposto nella sezione ALLEGATI in esercizi_poliogni_livello_1.pdf. Nelle schede - dopo aver scelto come colorare ogni tipologia di poligono - si procede alla colorazione, come mostrato in figura.

Per maggiore varietà, alcuni poligoni hanno forme poco usuali nella pratica scolastica: per rispondere basterà sempre contare il numero dei lati (o equivalentemente degli angoli) del poligono in questione. Questo livello può essere proposto fin dalla classe prima.

LIVELLO 2

Nel livello 2, oltre alle proprietà del livello 1, viene introdotta la proprietà EQUILATERO. Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati uguali. Analogamente, un poligono non è equilatero se ha almeno una coppia di lati diversi. Ricordiamo che un quadrilatero equilatero viene comunemente chiamato rombo (dal gr. rhómbos che vuol dire trottola).

Per ripassare le proprietà di lati uguali e diversi si può usare la scheda esercizi_poligoni_livello_2.pdf, scegliendo con quale colore colorare i poligoni equilateri e con quale quelli non equilateri.

LIVELLO 3

Nel livello 3, oltre alle proprietà del livello 1 e 2, vengono introdotte le proprietà ALMENO DUE ANGOLI UGUALI, ALMENO DUE LATI UGUALI, UN ANGOLO RETTO, UN ANGOLO OTTUSO. Le proprietà "un angolo retto" e "un angolo ottuso" sono da intendersi come "il poligono ha almeno un angolo retto/ottuso". Molto spesso, infatti, l'espressione "almeno uno" è sottointesa nel linguaggio.

Le proprietà "almeno due angoli uguali" e "almeno due lati uguali" compaiono riferite esclusivamente a triangoli. Si noterà con la classe che le proprietà sono equivalenti: un triangolo ha almeno due lati uguali se e solo se ha almeno due lati uguali. Un triangolo del genere viene chiamato comunemente isoscele (dal greco isoskelḗs, dove ísos vuol dire uguale e skélos vuol dire lato).

LIVELLO 4

A partire dal livello 4, i pulsanti di risposta variano leggermente, dando più spazio al simbolismo: in particolare al posto dell'espressione tutti compare esclusivamente il simbolo ∀ e al posto dell'espressione almeno uno compare esclusivamente il simbolo ∃. Ricordiamo che il simbolo ∀ deriva dall'inglese ALL (cioè, appunto, tutti) mentre il simbolo ∃ dall'inglese EXISTS (cioè esiste, almeno uno). Nel livello 4, oltre alle proprietà precedenti, viene introdotta la proprietà ALMENO DUE LATI PARALLELI.

Per un triangolo è impossibile avere due lati paralleli, mentre un quadrilatero con almeno due lati paralleli viene usualmente chiamato trapezio (dal greco trapézion cioè piccola tavola).

LIVELLO 5

Il livello 5 aggiunge le proprietà EQUIANGOLO e REGOLARE. Un poligono si dice equiangolo quando ha tutti gli angoli uguali mentre regolare quando è sia equiangolo che equilatero. Un quadrilatero equiangolo viene comunemente chiamato rettangolo (perché se un quadrilatero ha tutti gli angoli uguali ha di conseguenza tutti gli angoli retti), mentre un quadrilatero regolare (che è cioè sia un rettangolo sia un rombo) viene comunemente chiamato quadrato.