LA PAROLA "MONETA"

Nel 390 a.C. Roma è assediata dai Galli comandati da Brenno. I Galli entrano in città di notte per sorprendere i Romani ma - presso il tempio di Giunone, che si trova sul Campidoglio - alcune oche sacre si mettono a starnazzare. Marco Manlio, svegliato dal baccano delle oche, dà l'allarme e sventa l'attacco. Da quell'episodio in poi la dea Giunone prende il nome di Moneta, dal verbo latino monere (cioè ammonire, avvertire, insegnare, far vedere), perché per mezzo delle oche aveva avvisato i Romani della presenza degli invasori.
Circa un secolo dopo viene costruita la zecca proprio sul Campidoglio, e - per vicinanza - l'appellativo Moneta viene trasferito dalla Dea a quello che veniva prodotto nella zecca, cioè proprio le monete.

Concludiamo con piccole note linguistiche:

• la parola inglese "money" deriva dal latino moneta
• la parola "dimostrazione" deriva dal latino monstrare che ha la stessa radice di monere
• in greco moneta si dice nomisma, da cui deriva la nostra parola numismatica, ossia il collezionismo di monete

BREVE STORIA DELLA MONETA

La forma più antica di commercio è il baratto. Questo presenta vari limiti, primo fra tutti la difficoltà di trovare una persona che dispone del bene di cui abbiamo bisogno che a sua volta abbia necessità di un bene a nostra disposizione. Via via si rende necessario uno scambio più agile delle merci, usando dei beni - accettati da tutti - con un valore definito a priori. Questi beni devono avere le seguenti caratteristiche: il bene deve essere frazionabile, per permettere una maggiore agilità economica, e non deperibile, che non perda cioè valore nel tempo. Esempi di questi beni che furono ampiamente usati come mezzi di pagamento sono sale, riso, pezzi di tessuto, metalli. Quest'ultimi (oro, argento, rame, ferro) sono molto longevi ma non sono facilmente frazionabili se non con attrezzature specifiche, per cui fu necessario fabbricare vari tipi di pesi con diversi valori, cioè proprio le monete.
Notiamo che tutti questi beni hanno grossomodo il valore per cui vengono scambiati. Più precisamente, il valore nominale - cioè il valore dichiarato e condiviso del bene - corrisponde al valore intrinseco del bene (una moneta d'oro vale di più di una moneta di ferro a parità di peso).

La tradizione vuole che la moneta sia stata coniata per la prima volta da Creso, re di Lidia, nel VI secolo a.C. Nel secolo successivo l'uso di coniare monete si è diffuso nell'Impero Persiano e nelle città greche. Quindi, attraverso i Greci, l'uso della moneta è stato introdotto nel Mediterraneo Occidentale. Infine al tempo di Alessandro Magno si è diffuso anche in India. La moneta, in questa lunga fase storica, non è altro che un lingotto recante il punzone del re o della repubblica, che ne garantisce il peso e l'autenticità. Infatti lo Stato, punzonando il lingotto, promette che lo accetterà come mezzo di pagamento (tipicamente delle imposte) e pertanto, anche se il peso risultasse inferiore (a causa delle "tosature"), o se il titolo risultasse inferiore al dovuto (perché la zecca stessa tende a coniare moneta "di bassa lega") chi ha in mano una moneta sa che lo Stato non gliela può rifiutare. Si comprende quanto fosse importante la zecca, in quanto dava corso legale a quei lingotti metallici che sono le monete.

TESTA O CROCE

Il concetto di "testa o croce" ha origine dalle figure presenti sulle due facce delle monete, ossia una testa e una croce. Questo metodo di selezione casuale è diffuso in diverse culture, e il nome varia in base alle immagini sulle monete dei singoli paesi. Nell'antica Roma, il testa o croce era un gioco chiamato "navia aut capita" (nave o testa), poiché le monete mostravano da un lato la testa di Giano Bifronte e dall'altro la prua di una galea, come mostrato in figura.

Successivamente le due facce furono dedicate rispettivamente al sovrano e a Cristo. Nel 754 d.C., l'imperatore iconoclasta Costantino V sostituì l'immagine di Cristo con una croce, mantenendo l'effigie del sovrano sull'altro lato della moneta, dando origine al noto detto italiano.

Le origini del gioco testa o croce sono molto lontane nel tempo. Nell'antica Grecia troviamo l'Ostrakinda (gioco della conchiglia), un passatempo per ragazzi. Due avversari coloravano la faccia esterna di una conchiglia di nero, e lasciavano bianca quella interna. Uno dei due lanciava quindi in aria la conchiglia, mentre l'altro doveva indovinare quale faccia (nera o bianca, la formula greca era "nyx kai hemera", giorno e notte) essa mostrasse una volta a terra.

Allo stesso modo, l'espressione inglese "heads or tails" (letteralmente teste o code) deriva probabilmente dalla moneta da dieci pence, su cui erano raffigurati il volto del monarca regnante e un leone araldico con la coda sollevata. In Germania, il gioco è chiamato "kopf oder zahl" (testa o numero), poiché un lato della moneta riporta il numero che indica il valore. In Irlanda, si utilizza il termine "heads or harps" (teste o arpe), dato che lo strumento musicale è spesso rappresentato sulle monete, incluso l'euro irlandese attuale. Similmente, in Brasile il testa o croce è chiamato "cara ou coroa" (faccia o corona), in Messico "águila o sol" (aquila o sole), in Russia "орёл или ре́шка" (orël ili reška, aquila o simbolo sul verso), mentre a Hong Kong si utilizza "公定字" (testa o parola), poiché sulle monete di Hong Kong il valore è scritto per esteso.

COSTRUIRE UNA MONETA

Si propone agli studenti di lavorare individualmente per costruire una moneta dove sulle due facce venga rappresentata una dualità originale inventata da loro stessi, come quelle descritte nella sezione precedente. La dualità non deve necessariamente rifarsi ad uno schema esistente e può essere fantasiosa: acqua e fuoco, pianta e animale, etc.

Una volta che ogni studente ha scelto la sua dualità, le disegna in due cerchi del foglio sagoma_moneta.pdf, utilizzando matite colorate, pennarelli o pastelli. Dopo aver completato i disegni, gli studenti dovranno ritagliare i cerchi e incollarli su un supporto a forma di moneta, che può essere realizzato in cartone o altro materiale rigido.

Alla fine dell'attività, si può  organizzate una piccola esposizione delle monete create da ciascuno studente, in modo che tutti possano ammirare le creazioni dei loro compagni e confrontare le diverse dualità inventate. Chiedete agli studenti di spiegare brevemente la loro moneta e la dualità scelta, discutendo insieme delle diverse idee e del loro significato. Si trova inoltre il file testa_croce_moneta.pdf con teste e croci pronte da stampare per costruire monete che verrano poi usate nelle attività.

GIOCHI CON LA MONETA

TESTA O CROCE

L'attività con cui suggeriamo di cominciare è legata al lancio di una sola moneta. Si suppone sempre che la moneta usata sia ben equilibrata (i.e., non presenti imperfezioni e la probabilità che esca testa sia analoga alla probabilità che esca croce).
Si fanno vari lanci e si invita la classe a scommettere sull'esito. I soldi finti da usare nelle scommesse si trovano nella sezione ALLEGATI (soldi_pingo.pdf). In un primo momento le scommese vengono organizzate a coppie, formate da studenti che fanno previsioni opposte: uno scommette testa e l'altro croce, chi vince prende i soldi che ha scommesso l'altro. Dopo qualche prova la classe capirà che è bene che ogni coppia scommetta la stessa quantità di soldi: se un giocatore scommette più dell'altro, il gioco risulta più vantaggioso per chi scommette meno soldi, e quindi non equo.

In un secondo momento si faranno vari lanci e si registreranno gli esiti sulla lavagna. I lanci saranno effettuati da piccoli gruppi che useranno monete diverse.

Gli esiti vengono discussi e si cercano regolarità nelle sequenze ottenute. Non c'è da stupirsi se si presenta una sequenza relativamente lunga di un certo simbolo.

A questo punto si chiede alla classe come comporre un'urna in modo che questa corrisponda al lancio di una moneta. La risposta è relativamente semplice: basta prendere un'urna con solamente due palline all'interno, una che rappresenta testa e l'altra che rappresenta croce. Estrarre una pallina dall'urna equivale a lanciare una moneta.

Come visto con le urne, si può disegnare un grafico a torta che rappresenti le probabilità in gioco: 1/2 è la probabilità che esca testa e 1/2 è la probabilità che esca croce. La situazione si può anche esprimere dicendo che la probabilità che esca testa è il 50%.

TWO-UP

Il gioco two-up è un'evoluzione di testa o croce. Si tratta di un gioco popolare tra i cittadini inglesi e irlandesi più poveri nel XVIII secolo. Si diffuse poi in Australia a partire dal 1800, prima giocato dai detenuti e poi nelle aree aurifere delle colonie orientali, diffondendosi in tutto il paese in seguito alla corsa all'oro.
ll two-up fu anche giocato dai soldati australiani durante la Prima Guerra Mondiale (vedi figura), comparendo così regolarmente delle celebrazioni dell'Anzac Day, commemorazione che si tiene in Austriala e Nuova Zelanda per i caduti in tutte le guerre. Il two-up era illegale in tutti gli altri momenti dell'anno.

REGOLE

Un giocatore designato, detto Spinner, disponde due monete su un Kip, cioè un piccolo pezzo di legno, come mostrato in figura e le lancia in aria facendole cadere per terra.

Gli altri giocatori, disposti a cerchio intorno a lui, possono scommettere in due modi, tenendo 10$ sopra la testa o sulla schiena.
Tenere i soldi sopra la testa vuol dire scommettere sull'uscita di due teste, sulla schiena di due croci. Ogni scommettitore deve appaiarsi con un altro che faccia la scommessa opposta: chi vince prende i 10$ dell'altro. Se escono una testa e una croce non vince nessuno, si tira di nuovo e ogni giocatore deve mantenere la propria scommessa. Se escono due croci per tre volte di seguito cambia lo spinner, scelto fra uno degli altri giocatori.

ANALISI MATEMATICA DI TWO-UP

Si divide quindi la classe a coppie o in piccoli gruppi e si chiede di analizzare il gioco. In particolare, si chiede se il gioco è equo e quante volte capita che sia necessario procedere a un nuovo lancio perché sono uscite due facce diverse.

Può essere spontaneo ragionare nel modo seguente: gli esiti possibili sono tre - due teste, due croci, una testa e una croce - e quindi la probabilità che si verifichi ognuno di questi è 1/3. Ciò tuttavia contrasta con quanto avviene nel gioco: se la classe ha fatto un adeguato numero di partite, è facile rendersi conto che l'esito una testa e una croce è più frequente degli altri due. In effetti, la probabilità che esca una testa e una croce è di 1/2 mentre gli altri due eventi hanno ciascuno probabilità 1/4 (ovvero 25%).

Per convincersene si possono usare due monete di colore differente, per esempio rosso e blu. Come mostrato in figura, gli esiti possibili sono quattro, perché occorre distinguere fra testa blu insieme a croce rossa e testa rossa insieme a croce blu.

Anche in questo caso si può chiedere alla classe di simulare la situazione con un'urna, come mostrato in figura.

PENNEY'S GAME

Penney's game (inventato da Walter Penney) è un gioco fra due giocatori.
Il primo giocatore scrive su un foglio di carta una sequenza di tre simboli - teste (T) o croci (C) - a suo piacere, come TTC, CTC, CCC.
Il secondo giocatore può guardare la sequenza scritta dal primo giocatore e scrivere a sua volta una sequenza a sua scelta, a patto che sia diversa da quella scritta dal primo giocatore.
A questo punto si tira più volte una moneta e si registrano i risultati. Vince il primo giocatore la cui sequenza compare, a un certo punto, nei lanci fatti con la moneta.

Nell'esempio in figura, il primo giocatore dice TCT mentre il secondo CCC. Vince il secondo giocatore perché la sequenza CCC è la prima a uscire.

Essendo il gioco estremamente complesso da un punto matematico, si lascerà alla classe il tempo necessario per esplorarlo liberamente a coppie.

APPROFONDIMENTO: ANALISI MATEMATICA PENNEY'S GAME

Il gioco è davvero complesso, ma interessante. Contrariamente a quanto si può supporre a priori, il secondo giocatore - vedendo la sequenza scelta dal primo - ha ottime possibilità di vincere (circa 3 a 1).

Pur se una trattazione adeguata del gioco esula dagli obiettivi del primo ciclo, riteniamo interessante analizzare un caso particolare. Supponiamo che il primo giocatore scriva TTT. Il secondo giocatore ha ottime probabilità di vincere se dice CTT. Perché?
Se i primi tre lanci danno come esito proprio TTT vince il primo giocatore. Questa eventualità si presenta una volta su 8. Negli altri casi (cioè 7 volte su 8), esce almeno una croce nei primi tre lanci. A questo punto, se ci si pensa con attenzione, ci si convince che il primo giocatore non potrà più vincere: dato che è uscita una croce, e ricordando che il primo giocatore vince solo quando ci sono tre teste consecutive, prima che escano tre teste consecutive, dovrà comparire inevitabilmente la sequenza CTT.

Per pura curiosità riportiamo nelle righe seguenti le risposte più convenienti che il secondo giocatore può fare in base alla scelta del primo.

L'insegnante può giocare il ruolo del secondo giocatore vincendo quasi sempre, per incuriosire e stimolare la classe. Per approfondire il discorso, si può consultare la seguente pagina.