Decine e unità

NOTA STORICA: IL SISTEMA DECIMALE POSIZIONALE

In primo luogo, definiamo alcuni concetti chiave che torneranno utili nella lettura. Un sistema numerico additivo è un sistema numerico dove alcuni numeri particolari sono contrassegnati da un simbolo mentre gli altri numeri sono ottenuti a partire da questi con somme o sottrazioni. Poniamo, ad esempio, A = 3 e B = 4; allora il numero 7 si scriverà AB (perché 3 + 4 = 7), oppure equivalentemente BA. Il numero 6 sarà invece scritto AA. Un sistema numerico moltiplicativo è analogo a un sistema numerico additivo, solo che i vari numeri si moltiplicano fra loro invece di sommarsi. Con gli stessi valori dell'esempio precedente, avremo dunque che la scrittura AB indica 12 (perché 12 = 3 × 4). Un sistema numerico posizionale è invece un sistema più raffinato, dove un simbolo non ha valore di per sé (come A che vale sempre 3 o B che vale sempre 4) ma il suo valore dipende dalla posizione che occupa. I sistemi posizionali fanno riferimento a potenze successive di uno stesso numero, detto base; si introducono simboli, dette cifre, per indicare i numeri minori della base. Per esempio, il numero 422 in base 10 indica 4 × 10² + 2 × 10¹ + 2 × 10⁰ mentre la stessa scrittura in base 6 indica 4 × 6² + 2 × 6¹ + 2 × 6⁰. Notiamo, come detto, che il 2 della scrittura “422” compare due volte e indica due valori differenti (una volta 20, una volta 2). Un altro aspetto fondamentale è che lo 0 ha senso esclusivamente all'interno dei sistemi posizionali (in un sistema additivo non porterebbe alcuna nuova possibilità di scrittura, e in un sistema moltiplicativo non avrebbe altra utilità che annullare un numero!). Nei sistemi posizionali più arcaici il metodo di scrittura dei simboli per le cifre seguiva spesso una logica additiva.

Fin dall'antichità più remota l'umanità ha creato simboli per rappresentare quantità. Dalle ossa incise con tacche della preistoria fino ai sistemi di calcolo personali dei contadini analfabeti di epoca recente, la necessità di registrare i numeri è indipendente dall'epoca e dalla cultura. L'esigenza di contare prescinde infatti dall'alfabetizzazione: tali simboli avevano per lo più funzione comunicativa o di supporto mnemonico e servivano per contare animali o oggetti. Già nelle tavolette rinvenute a Uruk, nell'odierno Iraq, risalenti al quarto millennio a.C., troviamo numeri espressi da segni o pallini. Nel terzo millennio a.C., gli egiziani incidevano su tavolette geroglifici contenenti simboli corrispondenti alle prime sei potenze del 10 (1, 10, 100, 1000, …).  La numerazione era in base 10 ma non era posizionale bensì additiva: un numero era rappresentato tramite la ripetizione dei vari simboli. Tuttavia, per quanto non necessaria, in molti sistemi di numerazione si è sempre rispettata tacitamente una posizione che presentasse le unità sulla destra, “precedute” a sinistra dai numeri più grandi. In Cina, almeno dal 14° secolo a.C., si trovano simboli per le prime 9 cifre insieme a simboli per le prime potenze di 10, in un sistema che è sia moltiplicativo (ad esempio, il simbolo del 2 sovrapposto al simbolo del 100 indica il numero 200) sia additivo, perché i simboli venivano poi giustapposti.  Una situazione analoga si aveva con i simboli cuneiformi babilonesi. I babilonesi avevano un simbolo per l’unità e uno per la decina, ma, come documentato in tavolette del 1700 a.C. circa, avevano anche simboli per 60 e per 3600.  I babilonesi passarono a poco a poco a un sistema di tipo “quasi” posizionale (ma non decimale) usando i simboli dell’unità per rappresentare anche quantità maggiori: due cunei rappresentavano due unità, due cunei leggermente distanziati a sinistra dai primi due rappresentavano due volte 60. Rimanevano alcune ambiguità, dovute alla mancanza dello 0, ma - in tavolette risalenti al 4° secolo a.C. - una particolare posizione dei cunei indicava la posizione vuota (anche se lo 0 non veniva mai collocato come ultima cifra). In questo periodo anche i romani avevano consolidato il loro sistema di numerazione (derivante da quello etrusco), con un numero maggiore di simboli (esisteva anche il simbolo per il 5 o il 50) e un minimo ricorso alla posizione per distinguere - ad esempio - il numero 9 (IX) dal numero 11 (XI). Il sistema di numerazione greco-attico era molto simile a quello romano, e nacque anch’esso introno al 5° secolo a.C. Invece il sistema greco-ionico nacque qualche secolo dopo e faceva uso di ben 27 lettere dell’alfabeto greco per indicare le unità da 1 a 9, le decine da 10 a 100 e le centinaia fino a 900. Con qualche segno aggiuntivo si potevano indicare le migliaia.

Cerchiamo ora di tracciare la storia del sistema posizionale decimale, oggi in uso in quasi tutto il mondo. Il sistema decimale posizionale affonda le sue radici nella numerazione indiana dell'alfabeto Brahmi (diffuso fin dal III sec. a.C.). Anche in questo caso il sistema è additivo, ma - come nel sistema greco-ionico - vi sono simboli diversi per le cifre fino a 9 e altri simboli per indicare numeri specifici, come 50 e le centinaia. Nell'iscrizione in figura, datata attorno al 250 a.C., viene evidenziato il numero 256, ottenuto con un simbolo per il 200, seguito da un simbolo per il 50 e un simbolo per il 6 che - con un po' di fantasia - può ricordare il nostro 6.

L'aspetto interessante è difatti che questi simboli cominciano a somigliare alle cifre che usiamo oggi: li ritroviamo in iscrizioni nelle grotte di Naneghat e Nasik, nell’India occidentale, di controversa datazione ma risalenti sostanzialmente a un periodo che va dal primo secolo a.C. al primo secolo d.C.
In particolare, nell'immagine seguente è riportata un'iscrizione presente nella grotta di Naneghat, dove viene evidenziato il simbolo usato per rappresentare il numero 2.

Nel complesso delle grotte di Nasik, probabilmente leggermente successivo a quello delle grotte di Naneghat, compaiono vari simboli per rappresentare numeri in contesti differenti. Mettendo insieme i vari simboli, questa è la lista dei numeri da 1 a 9.

Non è difficile immagine l'evoluzione dei simboli per il 2 e il 3 nei nostri simboli odierni, così come i simboli 6, 7 e 9 appaiono già simili ai nostri.

Per ottenere un sistema posizionale serve però l'attore principale: lo zero. La prima iscrizione nota che riporta uno 0 simile al nostro con valore posizionale è mostrata nell'immagine seguente ed è stata ritrovata in Cambogia. L'iscrizione, databile attorno al 658 d.C., è attribuibile alla civiltà dei Khmer, e riporta il numero 605 per indicare che sono passati 605 anni dall'inizio del regno.

L'aspetto fondamentale è che lo 0 viene studiato in India non come segnaposto (come accadeva con i Babilonesi, che spesso non lo mettevano per ultima cifra e il significato andava ricostruito dal contesto) ma come numero degno di tale nome. In particolare, il matematico indiano Brahmagupta (628 d.C.). non si limita a usare lo zero nella scrittura del numero, ma ne teorizza anche il ruolo nelle operazioni. Gli scritti di Brahmagupta sono andati perduti e la sua opera è nota solo attraverso le successive trascrizioni, quindi non sappiamo purtroppo come egli scrivesse lo zero. Lo zero rappresentato con un cerchietto, come lo conosciamo oggi, si trova invece nelle iscrizioni del tempio di Chaturbhuy, all’interno del forte di Gwalior (875 d.C.), in India. Non sarà difficile per il lettore riconoscere nell'iscrizione il numero 270.

L’uso dello zero transita dall'Oriente al mondo islamico grazie ad opere come quelle di Abu al-Khwārizmī, matematico persiano del 9° secolo d.C., subendo una biforcazione morfologica dettata dalla geografia politica del Califfato: mentre nel Mashriq (Oriente) si consolidano le cifre arabo-orientali (١, ٢, ٣), tuttora standard in alcuni paesi del Medio Oriente, nel Maghreb (Occidente) e nella Spagna islamica si afferma la variante Gobar. È proprio questo filone occidentale, introdotto in Europa latina e in Inghilterra da studiosi come Gerberto d'Aurillac, Adelardo di Bath, Giovanni di Siviglia e dai traduttori della Scuola di Toledo (come Gerardo da Cremona), a evolversi graficamente. Legittimato dall'uso mercantile promosso dal Liber Abaci (1202) di Fibonacci, il sistema si stabilizza morfologicamente con la tipografia rinascimentale di Dürer, definendo i simboli (0, 1, 2, 3...) che costituiscono oggi l'alfabeto numerico standard in molte nazioni.

Sottolineiamo che anche i Maya avevano raggiunto un sistema numerico posizionale in base 20, con un simbolo specifico per lo zero, come testimoniato dal codice Dresden risalente al 11° secolo d.C. circa. È lecito supporre che l'evoluzione del sistema numerico dei Maya sia del tutto indipendente da quelli descritti fino ad ora. In generale, è importante specificare che non è facile stabilire con certezza le date dell’evoluzione dei vari sistemi di numerazione. Intanto vi è la difficoltà della datazione dei vari reperti. Ad esempio, il manoscritto di Bakhshali (attuale Pakistan), che contiene un esempio di sistema di numerazione posizionale con il punto al posto dello zero, era stato datato nel 2017 tra il 3° e  4° d.C. secolo (quindi anticipando di molto la nascita del simbolo per lo zero), ma nel 2024 è stata corretta la datazione ponendola invece tra il 10° e l’11° secolo. Inoltre, se viene trovata un'iscrizione che riporta alcuni caratteri specifici ad indicare numeri, da un lato il ritrovamento non implica che l'uso del simbolo nasca in quel momento (potrebbe essere nato ben prima), ma dall'altro non indica nemmeno che sia diffuso (potrebbe essere proprio di una cultura, di una classe sociale, o anche solo di un piccolo gruppo di persone). In sintesi, abbiamo solo alcuni punti fermi. Un altro sviluppo parallelo che andrebbe considerato nella discussione è quello dell’abaco. Comparso nel 20° secolo a.C. in Mesopotamia e in Cina, si è evoluto nei secoli da tavoletta di sabbia o polvere su cui si disegnavano punti, a sassolini, fino a quelli più recenti con pallini infilati in asticelle di ferro. Si tratta di uno strumento molto usato da tutte le popolazioni nel corso della storia e ancora usato in Cina. Non c’è dubbio che l’abaco veicoli una scrittura posizionale, ma non è certo che la scrittura posizionale sia nata ispirata all’abaco. Probabilmente era usato per calcoli in ambito commerciale ma non è detto che influisse sul modo in cui i numeri venivano scritti.

Come abbiamo visto la conquista di un sistema numerico la cui idea di fondo fosse condivisa dalla maggior parte delle culture è stata lenta, ma non c’è dubbio che “l'invenzione” dello zero le abbia impresso una notevole accelerazione. All’interno di una storia di oltre 4000 anni, gli ultimi 400 sono quelli che hanno portato alla diffusione del sistema posizionale in tutto il mondo. Notiamo inoltre che mentre l'essere umano - come detto all'inizio - conta da sempre, l'adozione del sistema posizionale decimale ha rappresentato una vera e propria sfida, con passi avanti e indietro fra sistemi posizionali e additivi. In altre parole, se da un lato è un'invenzione fondamentale che è bene che i nostri studenti capiscano a fondo, possiamo essere clementi se l'apprendimento e il consolidamento richiederà diversi mesi: l'umanità ci ha messo millenni!

BIBLIOGRAFIA

1. C. Boyer, Storia della matematica (Mondadori, 1980)
2. G. Ifrah, Storia universake dei numeri (Mondadori, 1983)
3. L. Giacardi, S. Roero, L’origine della numerazione romana. Un’ipotesi di Giuseppe Nicasi (Edizioni dell’Arquata, 1987)
4. J. C. Martzloff, A History of Chinese Mathematics (Springer, 1996)
5. https://en.wikipedia.org/wiki/Khmer_inscriptions
6. https://en.wikipedia.org/wiki/Edicts_of_Ashoka

CONTARE LA PASTA

Per eseguire l'attività è bene che la classe sappia scrivere e interpretare correttamente i numeri da 0 a 9. Si portano in classe vari oggetti di uno stesso tipo (ad esempio pasta, riso, sassi, tappi, cannucce) e si distribuisce un bel mucchietto ad ogni studente, chiedendo di contare gli oggetti. Si lasciano gli studenti liberi di esplorare la strategia di conteggio che più preferiscono. L'aspetto fondamentale che si cercherà pian piano di trasmettere è che, per semplificare il conteggio, è opportuno creare gruppi di oggetti contenenti uno stesso numero di elementi. In particolare, si invitano gli studenti a creare gruppi ognuno composto da 10 elementi. Per isolare e tenere ordinati i vari gruppi da 10 elementi, è utile inserire i gruppi in un bicchiere (un bicchiere per gruppo) o, nel caso delle cannucce, semplicemente legarle con un elastico.

Si stabilirà con la classe di chiamare decina un gruppo di dieci elementi, rappresentato ad esempio dal bicchiere o dal fascio di cannucce. A questo punto il numero totale di elementi contati potrà essere espresso da una rappresentazione come quella riportata in figura: il numero totale di farfalle è 34, perché sono state contate 3 decine e 4 unità (che restano fuori da un bicchiere).

Pian piano la tabella scomparirà per lasciare il posto alle sole cifre, disposte in modo ordinato: la cifra a destra indicherà le unità e la cifra a sinistra le decine, ossia i gruppi di 10 elementi.

ATTENZIONE AI COLORI!

Una pratica diffusa consiste nell'indicare con colori differenti decine e unità (ad esempio, rosso e blu), per aiutare gli studenti a distinguerne i ruoli. Così facendo si sta purtroppo trasmettendo un messaggio totalmente sbagliato su cosa sia il sistema posizionale decimale. Come spesso ricorda Bruno D'Amore, il nostro non è un sistema cromatico decimale, ma un sistema posizionale decimale: la cifra non assume valore in base al colore che ha, ma in base alla posizione che occupa. È sicuramente più impegnativo spiegare la vera natura del sistema posizionale decimale, ma è questo ciò che - come insegnanti - siamo chiamati a fare.

OILER CARDS: ESPANSIONE BLU

L'espansione Blu delle OILER CARDS presenta i numeri da 1 a 100. Le quantità sono visualizzate attraverso raggruppamenti strutturati in gruppi da cinque e da dieci elementi, come mostrato nell'immagine seguente.

Questa impostazione grafica permette di distinguere immediatamente le unità dalle decine, favorendo la comprensione del sistema decimale posizionale e lo sviluppo del senso della scomposizione additiva del numero. Il mazzo è inoltre utile per allenare il calcolo mentale, grazie a una rappresentazione che richiama la logica dell'abaco Soroban.

Per scoprire quali giochi possono essere fatti con le carte si rimanda alla pagina dell'espansione blu delle OILER CARDS. È possibile acquistare le carte su Amazon facendo CLICK QUI.