I numeri di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una ben nota successione di numeri interi in cui ogni termine è la somma dei due precedenti (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…). In Europa compare per la prima volta nel Liber Abaci (1202) di Leonardo Bonacci, detto Fibonacci, anche se la successione era nota già da secoli: in India viene descritta in relazione alla metrica della poesia sanscrita da Acharya Pingala, su cui torneremo in seguito.

La successione compare nel Liber Abaci come soluzione a un problema di riproduzione dei conigli:

Un tale mise una coppia di conigli in un posto, che era circondato dappertutto da un muro, per sapere quante paia sarebbero nate in un anno, essendo nella loro natura di partorire ogni mese un’altra coppia, e partoriscono nel secondo mese dalla loro nascita. Poiché la coppia sopra citata partorisce nel primo mese, la raddoppierai, saranno due coppie in un mese. Una di queste, cioè la prima, genera nel secondo mese, e così nel secondo mese ci sono 3 coppie; due delle quali in un mese sono ingravidate; e nel terzo mese sono generate 2 coppie di conigli, e così ci sono 5 coppie nello stesso mese; delle quali in quel mese si ingravidano 3 coppie; e nel quarto mese sono 8 coppie; 5 coppie di queste generano altre 5 coppie: che sommate con 8 coppie, fanno 13 coppie nel quinto mese; 5 coppie di quelle che furono partorite nello stesso mese, non concepiscono in quel mese, ma le altre 8 coppie si ingravidano; e così nel sesto mese ci sono 21 coppie; a queste somma le 13 coppie che nascono nel settimo, ci saranno in questo stesso mese 34 coppie; e sommate a queste le 21 coppie che sono nate nell’ottavo mese, ci saranno nello stesso mese 55 coppie; sommate a queste le 34 coppie che nascono nel nono mese, ci saranno in esso 89 coppie; sommate ancora a queste le 55 coppie che nascono nel decimo mese, ci saranno 144 coppie; sommate ancora a queste 89 coppie, che sono nate nell’undicesimo mese, ci saranno in esso 233 coppie. E sommate a queste anche le 144 coppie che hanno partorito nell’ultimo mese, saranno 377 coppie, e tante coppie ha partorito la coppia sopra citata nel luogo predetto in capo a un solo anno. Puoi infatti vedere in questo margine in che modo abbiamo operato, cioè che abbiamo aggiunto il primo numero col secondo, cioè 1 con 2; e il secondo con il terzo, e il terzo con il quarto, e il quanto con il quinto, e così via, finché abbiamo aggiunto il decimo con l’undicesimo, cioè 144 con 233, e abbiamo ottenuto il totale dei conigli sovracitati, cioè 377; e così potresti fare in ordine per numeri infiniti di mesi. [tratto da Progetto Fibonacci]

La figura seguente riporta il Liber Abaci aperto alla pagina del problema dei conigli. Sulla destra è possibile vedere una colonna dove sono scritti i numeri della successione.

Il manoscritto riportato in figura è una copia risalente al 1400: sono infatti andate perdute le circa cento copie originali che scrisse Fibonacci, e sono a noi pervenute solo copie trascritte nei secoli successivi.

Tornando al problema in questione, sembra - come sostengono Tony C. Scott e P. Marketos nello studio On the Origin of the Fibonacci Sequence (2014) - che i conigli siano uno stratagemma didattico e non la vera fonte d’ispirazione del problema, anche perché nella realtà i conigli non seguono il modello riproduttivo descritto da Fibonacci. Inoltre Fibonacci, come approfondiremo nella sua storia riportata in seguito, è un vero “figlio di frontiera”: nato a Pisa, vive a lungo nella città di Bugia in Algeria a causa del lavoro del padre. Bugia era un grande porto del Mediterraneo islamico e centro di esportazione di cera d’api, anche verso l'Europa. Proprio dalla parola “Bugia” derivano il francese bougie e l’italiano bugia per indicare il candeliere, a testimoniare quanto la cera d’api fosse centrale nel commercio della città. In un ambiente così saturo di alveari, apicoltori e mercanti di cera, è plausibile che dietro ai numeri di Fibonacci ci siano le api e non i conigli. Infatti, mentre la biologia dei conigli - come detto - non ricalca l’esempio riportato da Fibonacci, sorprendentemente lo ricalca il sistema riproduttivo delle api, come vedremo nell'attività proposta nella sezione seguente.

L’ALBERO GENEALOGICO DEI FUCHI

In un alveare tutte le uova sono deposte dall'ape regina. Se l’uovo viene anche fecondato da un maschio, dall’uovo nascerà una femmina, se invece non viene fecondato, dall'uovo nascerà un maschio, cioè un fuco. Un fuco ha quindi una sola madre e nessun padre, mentre ogni femmina ha due genitori, un regina e un fuco.

Dopo aver spiegato questa dinamica riproduttiva alla classe tramite la presentazione presentazione_api.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI, si chiede alla classe di disegnare l’albero genealogico di un fuco, anche lavorando a coppie. L’obiettivo dell’attività è ottenere una struttura come quella riportata in figura, continuandola anche oltre, tornando sempre più indietro nel tempo.

Dopo aver completato la struttura, si conta il numero di api che compaiono in ogni livello: all'inizio il fuco è uno, al livello sopra c'è sua madre, al livello ancora sopra ci sono 2 api (potremmo dire che il fuco ha due nonni), sopra ancora ci sono 3 api (potremmo dire che il fuco ha tre bisnonni), e così via. Il numero di api, partendo dal basso, è dunque: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc., ossia proprio la successione di Fibonacci. Dopo aver contato le api su ogni livello si scrive la successione alla lavagna (arrivando a scrivere, ad esempio, fino al numero 13) e si chiede alla classe di scoprire la legge segreta dietro la successione. La regolarità che si sta cercando è che ogni numero nella successione è la somma dei due precedenti: ad esempio, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, e così via. Si chiede quindi alla classe di proseguire autonomamente nel calcolare i primi 12 numeri della successione di Fibonacci, che sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Sottolineiamo che la regina cambia nell'alveare circa ogni 3 anni e che i fuchi diventano fertili dopo 15 giorni dalla nascita: in altre parole, nell'albero genealogico possono esserci delle ripetizioni della stessa ape.

Quindi, quanto è credibile che Fibonacci abbia scoperto la successione di numeri a lui dedicata grazie alle api? Abbastanza. Scott e Marketos organizzano questa idea in una serie di prove che valutate nel loro insieme costruiscono un mosaico coerente. Anzitutto i conigli non seguono le dinamiche riproduttive descritte da Fibonacci. In secondo luogo, il contesto economico di Bugia, dove la cera d’api è ovunque, rende le api maggiormente presenti nell’ambiente di Fibonacci rispetto ai conigli. Terzo, la rete di traduttori arabo–latini poteva veicolare conoscenze raffinate sulle api dal mondo islamico all’Europa. Quarto, testi aristotelici e arabi parlano delle api come animali speciali, con maschi “senza padre” e forti simbolismi religiosi. Questi indizi rendono coerente come la successione di Fibonacci - più che di conigli - sia una storia di api, fuchi e cera sulle rotte del Mediterraneo medievale. A nostro avviso, ben più interessante!

CHI ERA FIBONACCI?

Dopo l'attività, si presenta alla classe la persona di Fibonacci. La storia è inoltre disponibile da stampare nel file storia_fibonacci.pdf nella sezione ALLEGATI.

Le notizie sulla vita di Leonardo da Pisa detto Fibonacci (ossia “figlio di Bonacci”) non sono molto dettagliate e si ricavano principalmente da quello che lui stesso scrive nei suoi libri. Sappiamo che è nato a Pisa intorno al 1170 ed è morto sempre a Pisa intorno al 1242, anche se la parte più importante della sua vita si è svolta molto lontano da casa. Infatti il padre Guglielmo Bonacci era un mercante e lavorava nella zona di Bugia, in Algeria, come rappresentante dei mercanti della Repubblica di Pisa. Leonardo passò diversi anni a Bugia al seguito del padre, dove si impadronì non solo del modo in cui i mercanti arabi facevano i conti ma anche delle loro conoscenze matematiche. Gli arabi erano infatti ottimi scienziati e matematici, sia nel campo dell’aritmetica sia della geometria. Ricordiamo che siamo nell'epoca d'oro islamica, un periodo di circa 5 secoli dove il mondo islamico divenne un centro intellettuale per la scienza, la medicina e la filosofia. Era attribuita grande importanza alla conoscenza, e quindi all'istruzione e alla traduzione in arabo di opere precedenti. Si devono a quel periodo varie scoperte scientifiche e ingegneristiche, fra cui vanno citate le profonde scoperte nell'ottica, con i primi tentativi di costruire macchine fotografiche; nella chirurgia; nella trigonometria; nella fisica, con i primi tentativi di volo.

Fibonacci attinse da queste conoscenze, imparando - fra le altre cose - le cifre arabe, quelle che usiamo ancora oggi. A quel tempo in Italia e in tutta Europa si usavano infatti ancora i numeri romani e i calcoli si eseguivano con l’abaco. I numeri arabi, che usano un sistema posizionale, si rivelavano assai più comodi per fare i conti, quindi importanti anche nel commercio. Per migliorare le sue conoscenze matematiche - e forse anche per scambi di merci - Fibonacci effettuò un lungo viaggio intorno al Mediterraneo: dall’Algeria all’Egitto, poi in Siria fino a Costantinopoli (oggi Istanbul), per arrivare poi in Grecia e, infine, in Sicilia.

Fibonacci non solo imparò molta matematica, ma sviluppò ed estese quello che aveva imparato. Nel 1202 scrisse una prima versione del suo Liber Abaci (completato nel 1228), un trattato in cui si proponeva di fornire regole pratiche per aiutare i commercianti nel cambio di monete (per esempio come dare il resto in monete d’argento se si veniva pagati in monete d’oro), o per dividere una proprietà fra vari eredi in proporzioni diverse. Nel Liber Abaci, Fibonacci introdusse le dieci cifre da 0 a 9 – a cui giustamente si riferì come numeri indiani (il sistema decimale posizionale è infatti nato probabilmente in India, per essere accolto in seguito dal mondo arabo). Il libro aiutò il diffondersi in tutta Europa dei numeri arabi e dei metodi matematici a loro collegati. La notorietà di Fibonacci giunse anche alle orecchie dell'imperatore Federico II, che regnava in Sicilia. Federico II aveva creato presso la sua corte una scuola di poeti e intellettuali e volle che Fibonacci parlasse con i suoi adepti.

Il Liber Abaci propone in realtà molti problemi che non sono propriamente pratici, come il seguente.

Un uomo compra 30 uccelli per 30 denari: si sa che una pernice costa 3 denari, un colombo due denari e due passeri un denaro. Quanti uccelli di ciascuna specie ha comprato?

In questo caso Fibonacci non è tanto interessato a risolvere un problema pratico, quanto piuttosto a tutte le variazioni nei dati del problema (per quali dati ci possono essere più soluzioni? C’è sempre una soluzione a prescindere dai numeri in gioco?). Fibonacci ragiona dunque da matematico più che da commerciante: è interessato a trovare soluzioni generali e schemi di ragionamento. È infatti rilevante notare che Fibonacci, quando comunicava con gli europei, parlava più di matematica pratica, mentre, quando comunicava con gli arabi, discuteva di problemi più elevati dal punto di vista matematico.

Per approfondire la storia di Fibonacci, consigliamo il libro di Daniele Struppa Fra sequenze di petali e numeri: un autobiografia immaginaria di Leonardo Fibonacci (2025).

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI NELLA MUSICA

Come accennato nell’introduzione, la successione oggi nota come successione di Fibonacci era nota ben prima che venisse trattata da Fibonacci, ad esempio fu studiata in India da Acharya Pingala (circa 250 a.C.), in associazione a cadenze ritmiche della poesia sanscrita. Per svolgere la seguente attività serve un metronomo, che può essere trovato online cercando su Google “metronomo online”. Si scelgono ora con la classe due suoni ben distinti, uno che verrà chiamato suono breve e un altro che verrà chiamato suono lungo. Ad esempio, come suono breve si può scegliere il battito di mani (o i legnetti), mentre come suono lungo si può scegliere il rumore che si ottiene battendo le mani sul banco (o il triangolo). Sottolineiamo che anche se il rumore prodotto dal battito delle mani su un banco dura effettivamente una frazione di secondo, verrà comunque chiamato “suono lungo”. In particolare, il suono breve durerà tanto quanto un battito di metronomo, mentre il suono lungo durerà due battiti di metronomo.

Si imposta quindi il metronomo a 60 bpm (battiti per minuto). La classe comincia suonando - all'unisono e andando a tempo con il metronomo - il suono breve, ripetendo il suono in concomitanza con i battiti del metronomo (come mostrato nella figura seguente, dove i battiti del metronomo sono indicati da lineette verdi).

Si prosegue dunque suonando il suono lungo, questa volta ripetendo il suono ogni due battiti del metronomo, come riportato in figura.

Si invita quindi la classe a eseguire - in modo alternato - suono breve e suono lungo, ottenendo la ritmica riportata in figura.

La classe sarà quindi libera di creare ritmiche personalizzate (sempre usando esclusivamente il suono lungo e il suono breve e rispettando le regole dei suoni).

Si passa quindi alla fase centrale dell'attività, ossia contare - in un certo numero di battiti di metronomo - quante possibili combinazioni di ritmi diversi si possono creare. Vediamo più nel dettaglio i vari casi:

• se si ha a disposizione un solo battito di metronomo, allora si può eseguire esclusivamente il battito di mani;
• se si hanno a disposizione due battiti di metronomo, si possono eseguire due battiti di mani oppure un solo battito lungo;
• se si hanno a disposizione tre battiti di metronomo, si possono eseguire: tre suoni brevi, un suono lungo seguito da un suono breve, un suono breve seguito da un suono lungo.

La classe procede dunque cercando di compilare autonomamente più righe possibile della seguente tabella.

Come si nota, sorprendentemente il numero di ritmi differenti cresce seguendo la successione di Fibonacci. La spiegazione matematica del perché questo accada è complessa ed è lasciata alla lettrice o al lettore che abbiano voglia di perdere un po' di tempo.

CREA LA TUA SUCCESSIONE

La successione di Fibonacci si costruisce sommando ogni volta gli ultimi due numeri trovati. Tale successione si ottiene quindi fissando due valori iniziali (detti generatori) che daranno il via, a cascata, al resto della successione: fissando 1 e 1, si ottiene la classica successione di Fibonacci, successione che si può ottenere anche fissando come generatori 0 e 1. Scegliendo invece come generatori, ad esempio, 3 e 4, si ottiene la successione 3, 4, 7, 11, 18, 29, etc., mentre scegliendo come generatori 8 e 10 si ottiene la successione 8, 10, 18, 28, etc. Notiamo che se i generatori sono 0 e 0 si ottiene la successione costante 0, 0, 0, 0, …

Édouard Lucas, matematico francese nato nel 1842 - che fra le altre cose inventò la torre di Hanoi -, costruì e studiò le proprietà della successione che ha come generatori, nell'ordine, 2 e 1, ottenendo la successione 2, 1, 3, 4, 7, 11, etc. Oggi, la successione è nota come successione di Lucas. Un discorso simile vale per la successione di Padovan, che segue una regola leggermente più complessa: la successione non è ottenuta sommando i due numeri precedenti, ma saltando un numero e sommando i due ancora prima. Vediamo cosa si ottiene cominciando con 1, 2, 5. Il numero ancora successivo è la somma di 1 e 2, dunque 3. Si passa poi alla somma 2 + 5, quindi alla somma 3 + 5. In definitva, la successione è 1, 2, 5, 3, 7, 8, 10, 15, 18, 25, …

Dopo aver presentato alla classe le successioni di Lucas e di Padovan, si invitano gli studenti a creare - lavorando a coppie - una propria successione, che sia in qualche modo ispirata alla successione di Fibonacci. Gli studenti proporranno poi la successione creata al resto della classe che dovrà indovinare la regola soggiacente. Per creare la successione, alcune idee sono:

• sommare gli ultimi tre numeri;
• moltiplicare gli ultimi due;
• sottrarre gli ultimi due (se già sono stati affrontati i numeri negativi).

In qualche caso, potrebbe succedere che si ottenga una successione ciclica, ossia i cui valori si continuano a ripetere indefinitamente. Ad esempio, facendo la divisione dei degli ultimi due numeri (il penultimo diviso l'ultimo).

IL RETTANGOLO AUREO

Il rettangolo aureo è un rettangolo con una particolare proporzione fra base e altezza, proporzione nota già ai greci: esprimendoci in modo rigoroso ma indubbiamente complesso, nel rettangolo aureo l'altezza è il medio proporzionale fra la base e la base meno l'altezza stessa.

Detta in parole più semplici, se si costruisce un quadrato all'interno del rettangolo - in verde nella figura seguente - che abbia come lato l'altezza del rettangolo, allora la parte di rettangolo rimanente (ossia il rettangolo chiaro in figura) sarà simile, ossia delle stesse proporzioni (ma chiaramente più piccolo), al rettangolo di partenza.

Questo procedimento può essere iterato: nel rettangolo rimanente si costruisce un nuovo quadrato e il rettangolo rimanente sarà ancora simile al rettangolo di partenza.

Un aspetto interessante è che questo rettangolo si può ben approssimare costruendo quadrati che abbiano i lati uguali progressivamente ai numeri della successione di Fibonacci e sistemandoli come in figura.

Specificamente, si parte costruendo un quadrato di lato 1 (su un foglio a quadretti), riportato in bianco nella figura sopra. Si prosegue costruendo sotto di lui un ulteriore quadrato di lato uno, verde scuro in figura. Si prosegue ora costruendo un quadrato che abbia per lato la somma dei due lati precedenti, quindi di lato 2 (rosso in figura). Si costruisce quindi il quadrato blu, di lato 3. Si continua costruendo quadrati in modo analogo: ogni volta il lato del quadrato che si sta costruendo sarà la somma dei lati dei due quadrati precedenti (ad esempio, il quadrato verde chiaro in figura ha per lato la somma dei lati dei quadrati blu e rosso).

Una volta costruito il numero desiderato di quadrati, si può proseguire tracciando con un compasso tanti archi di circonferenza, ciascuno corrispondente a un quarto di circonferenza (i centri delle circonferenze sono opportuni vertici dei quadrati, come riportato in figura).

Questa costruzione dà luogo alla spirale aurea, che è spesso associata (insieme al rettangolo aureo stesso) a tante regolarità presenti in natura, associazione - come vedremo nella prossima sezione - molto discutibile.

IL MITO DELLA SEZIONE AUREA

Si sente spesso dire che i numeri di Fibonacci e che il rettangolo aureo abbiano forti legami con la natura e la bellezza. Purtroppo, la quasi totalità di queste informazioni non corrisponde a verità.
Ricordiamo che il rapporto oggi noto come sezione aurea è una proporzione in cui un segmento AB è diviso da un punto C in due parti tali che AB/AC = AC/CB. Il rapporto fornisce il numero aureo φ = 1,618… Si tratta di un numero irrazionale, ossia un numero le cui cifre proseguono all'infinito senza mai ripetersi. Il rettangolo aureo, presentato nella sezione precedente, è un rettangolo in cui il rapporto tra lato maggiore e lato minore è appunto φ. I numeri di Fibonacci sono legati al numero aureo dal fatto che il rapporto fra un numero della successione e il precedente si avvicini sempre più a φ man mano che la successione procede (questo sorprendente legame non fu scoperto da Fibonacci, ma in seguito).

Cominciamo sottolineando che la sezione aurea era già studiata nell’antichità greca, senza alcuna connotazione mistica. Euclide (300 a.C.), nei suoi Elementi, la descrisse trattandone gli aspetti geometrici. Il numero φ compare infatti in alcune costruzioni, per esempio nel rapporto tra diagonale e lato di un pentagono regolare. All'inizio del XVI secolo, il matematico Luca Pacioli (curatore, fra l'altro, di una famosa raccolta di indovinelli) approfondì il rapporto aureo nel trattato De divina proportione (1498), con illustrazioni di Leonardo da Vinci, chiamandola appunto proporzione divina. Tuttavia, Pacioli la chiamò “divina” per motivi spirituali e matematici, vedendovi un riflesso di perfezione divina, non perché fosse legata alla bellezza intesa come valore estetico. Contrariamente alla credenza popolare, Pacioli non proclamò la sezione aurea come segreto universale dell’armonia estetica: la sua opera riguarda soprattutto geometria e prospettiva, e l’autore studia i canoni razionali di Vitruvio più che proporzioni irrazionali. Il termine aureo venne infatti associato alla bellezza a partire dal 1800, interpretando in modo distorto le parole di Pacioli. Da lì ebbe inizio il mito.

Partiamo dal Partenone, il famoso tempio greco costruito ad Atene nel 5° secolo a.C. Anche se si sente spesso affermare che la sua facciata sia un rettangolo aureo, semplici rilievi di misure smentiscono questa idea (Markowsky, 1992) e le immagini che “dimostrano” tale rettangolo sono forzate: tipicamente includono aria vuota sopra il tempio o escludono porzioni della struttura per far tornare le proporzioni auree. In realtà, non vi è alcuna prova che i Greci abbiano impiegato volutamente la sezione aurea nel Partenone - e anzi questa narrazione compare solo in epoca moderna. Anche sulla piramide di Giza, costruita in Egitto intorno al 2500 a.C., esistono affermazioni simili, falsificate da misure effettive. Altri miti diffusi riguardano opere d’arte famose retroattivamente riportate alla sezione aurea. In particolare, si è detto che la Monna Lisa sia stata composta secondo il rettangolo aureo, ma tale idea è priva di fondamento: non esiste alcuna indicazione nei taccuini di Leonardo a supporto, e la Gioconda è un ritratto realistico (di Lisa del Giocondo), non uno studio di canoni ideali. In generale, analisi approfondite mostrano che queste suddivisioni auree sono spesso scelte arbitrariamente a posteriori (cercando su internet, ci si imbatte infatti in spirali o rettangoli aurei posizionati di volta in volta in maniera differente all'interno del quadro di Da Vinci). È facile, infatti, sovrapporre rettangoli aurei a opere di Da Vinci, Michelangelo, Mondrian ecc., scegliendo di volta in volta punti diversi (un bordo, il centro di un soggetto, un occhio) pur di far emergere il “pattern”. Così come sarebbe facile ritrovare nelle opere rettangoli con altre proporzioni. Come notato dal matematico Markowsky (1992), avendo una certa flessibilità è possibile trovare il rapporto di 1,618 ovunque, basta essere abbastanza furbi da guardare solo ciò che si vuole vedere.

Si sente inoltre talvolta dire che la bellezza umana sia legata al fatto che certe parti dal corpo siano in proporzione aurea. Anche il famoso architetto Le Corbusier cedette al fascino della “divina” proporzione, disegnando il suo Modulor con rettangoli aurei che racchiudono parti di un corpo umano in una posizione del tutto arbitraria, per esempio l’altezza dell’ombelico rispetto alla base occupata dai piedi un po’ distanziati (Naini, 2024). Altri architetti si convinsero che costruire secondo il rapporto aureo migliorasse l’estetica di un edificio, tanto che lo stesso Le Corbusier dovette metterli in guardia suggerendo che - se un edificio non appariva esteticamente attraente - era meglio abbandonare la proporzione aurea per qualcos’altro. Nell’ambito del design moderno vi è ancora il luogo comune che vuole che oggetti contemporanei come la carta di credito abbiano proporzioni auree perfette. In realtà, le dimensioni standard di una carta (85,60 mm × 53,98 mm) danno un rapporto di circa 1,59, differente da φ = 1,618. È chiaro che una carta di credito o un biglietto da visita saranno sempre fatti in modo da stare comodamente in un taschino o in un portafoglio, quindi non saranno mai lunghi, ad esempio, 20 cm e alti 2 cm: avranno sempre inevitabilmente proporzioni non lontane dal rapporto aureo (la proporzione 1 è un quadrato, mentre la proporzione 2 corrisponde a un rettangolo che ha la base due volte l'altezza, già probabilmente troppo lungo e sproporzionato).

Un altro mito ricorrente vuole la presenza della spirale aurea (costruita nella sezione precedente) in varie forme della natura. In realtà, la spirale aurea è solo un caso particolare di spirale logaritmica, ossia di spirale che cresce esponenzialmente al crescere della distanza dal centro. Ad esempio, il guscio del Nautilus è un classico simbolo associato a φ, ma misurazioni su centinaia di conchiglie mostrano che il rapporto di crescita reale varia – la curva cresce come una spirale logaritmica, ma assolutamente non aurea. Il problema centrale è che ogni volta che vi è una spirale in natura si cerca di forzarla all'interno di una spirale aurea. Il matematico Keith Devlin ha osservato che l’angolo costante di avvolgimento di una tale spirale naturale non corrisponde affatto alla sezione aurea (Devlin, 2011). Allo stesso modo, i pattern botanici di foglie e petali spesso coinvolgono numeri di Fibonacci e rapporti vicini a φ (ad esempio nel numero di spirali delle infiorescenze), ma per ogni pianta che li esibisce ve ne sono altrettante che deviano da queste proporzioni. Uno studio recente ha dimostrato che su 100 fiori circa il 62% esibisse un numero di petali corrispondente a un numero di Fibonacci, il che non sorprende troppo visto che il 34% dei fiori totali aveva esattamente 5 petali (e che esisteranno sicuramente tanti fiori con 3 petali)! Un errore simile nasce su broccoli, pigne e altre forme naturali.

In conclusione, la sezione aurea merita certamente un posto nella storia della matematica, ma il suo ruolo come canone estetico universale è un mito nato nell’Ottocento e amplificato nel Novecento. Le affermazioni secondo cui essa guiderebbe segretamente la bellezza di templi, dipinti o loghi moderni non trovano conferma né nelle misurazioni né nei documenti storici. Come spesso accade, la realtà è più sfumata: la bellezza non si lascia di certo ridurre a singolo numero.

BIBLIOGRAFIA

1. Devlin, K. (2011). Fibonacci and the Golden Ratio Exposed: Common Myths and Fascinating Truths [https://www.youtube.com/watch?v=JuGT1aZkPQ0]
2. Markowsky, G. (1992). Misconceptions about the golden ratio. The College Mathematics Journal, 23(1), 2–19. [https://doi.org/10.2307/2686193]
3. Naini, F. B. (2024). The golden ratio - dispelling the myth. Maxillofac. Plast. Reconstr. Surg.; 46(1):2. doi: 10.1186/s40902-024-00411-2.