Le tre case

La seguente attività è stata ideata da Valentina Barucci in collaborazione con Antonella Marconi, e viene descritta nel libro Matematica per la scuola primaria.

L'attività affronta in senso lato il concetto di permutazione, già visto nell'attività Anagrammi I. L'argomento viene sviluppato in un ambiente a cavallo fra combinatoria e algebra, cioè dando importanza non tanto al numero di permutazioni quanto alle trasformazioni che queste inducono e alle operazioni fra queste.

COSTRUIRE TRE CASE

Come prima attività, la classe deve costruire tre case: una casa di montagna, una casa di città e una casa di mare. Per costruire le tre case si usano materiali di vario genere: scatole di cartone, cartoncini colorati, tempere, pennarelli. Si divide la classe in tre gruppi chiamandoli A, B e C: il gruppo A si occuperà di costruire la casa di montagna, il gruppo B di costruire la casa di città e il gruppo C di costruire la casa di mare.

Un aspetto importante da tenere in considerazione durante la costruzione è che le tre case devono essere abbastanza grandi, almeno quanto una scatola da scarpe.

MUOVERSI FRA LE CASE

In uno spazio ampio, come la palestra o il cortile, si dispongono le tre case come a formare un triangolo equilatero, ben distanziate fra loro, nella disposizione mostrata in figura.

Ciascun gruppo si posiziona in prossimità della casa che ha costruito: il gruppo A in prossimità della casa in montagna, il gruppo B in prossimità della casa in città e il gruppo C in prossimità della casa al mare.

L'idea centrale dell'attività è che questi gruppi si devono muovere fra le tre case, seguendo le indicazioni date dall'insegnante. Gli spostamenti possibili sono 6:

1. si gira in senso antiorario, ossia chi si trova al mare va in città, chi si trova in città va in montagna, chi si trova in montagna va al mare;
2. si gira in senso orario, ossia chi si trova al mare va in montagna, chi si trova in montagna va in città, chi si trova in città va al mare.
3. si scambiano città e montagna, mentre chi sta al mare resta fermo;
4. si scambiano mare e montagna, mentre chi sta in città resta fermo;
5. si scambiano mare e città, mentre chi sta in montagna resta fermo;
6. infine c'è un “spostamento” un po' particolare, che consiste nel rimanere tutti fermi dove si è.

Gli spostamenti appena descritti, che possono essere indagati e scoperti con la classe prima di cominciare l'attività, sono schematizzati nell'immagine qui sotto.

L'insegnante fornisce indicazioni sugli spostamenti da compiere usando determinati strumenti musicali. In particolare, prima di cominciare l'attività, si concorda con la classe un suono da associare a ognuno dei sei spostamenti. Ad esempio:

• il suono di un fischietto per indicare il giro in senso antiorario;
• il suono di una campanella per indicare il giro in senso orario;
• il suono delle maracas per indicare lo scambio fra montagna e città;
• il suono di un tamburello per indicare lo scambio fra montagna e mare;
• il suono di un triangolo per indicare lo scambio fra città e mare;
• un battito di mani per indicare di rimanere fermi.

A questo punto si può cominciare l'attività: l'insegnante fa vari suoni a sua scelta mentre la classe esegue i movimenti richiesti dall'insegnante (ogni suono viene fatto una volta che la classe ha concluso il movimento associato al suono precedente). Nell'immagine seguente, ad esempio, è riportata la situazione in cui l'insegnante fa prima un battito di tamburo, poi fischia, e infine suona le maracas.

Consigliamo di far durare l'esperienza abbastanza a lungo, ricominciando - di tanto in tanto - dalla posizione di iniziale: A in montagna, B in città, C al mare.
Consigliamo inoltre di non scrivere le associazioni movimento-suono per esempio su una lavagna, con l'idea di aiutare la classe, ma di lasciare che gli studenti le memorizzino: delegando l'associazione a un testo scritto si rischia di rendere la classe meno partecipe.

DESCRIVERE L'ESPERIENZA CON LINGUAGGIO MATEMATICO

Una volta terminata l'attività e tornati in classe, si concorda con gli studenti un'icona - ossia un simbolo - che rappresenti ognuno dei sei suoni ideati, come mostrato nell'esempio in figura. Invitiamo a creare simboli che siano il più stilizzati possibile.

Si propone dunque il seguente esercizio. Si disegna alla lavagna la situazione iniziale scrivendo le lettere A, B e C (a questo punto dell'attività è ormai possibile omettere le case, visto che le rispettive posizioni sono ormai chiare). Si traccia quindi una freccia e sopra la freccia l'icona di un suono a piacere, chiedendo alla classe come siano disposte le lettere nel triangolo risultante. Dopo che la classe ha individuato la giusta posizione delle lettere, si procede con una nuova freccia accompagnata da un altro suono, e si chiede ancora alla classe la disposizione risultante. Alla fine dell'esercizio si ottiene alla lavagna un'illustrazione del tipo seguente.

A questo punto l'insegnante traccia una freccia che collega il primo triangolo all'ultimo triangolo, chiedendo quale suono permetta di passare direttamente dalla prima alla terza disposizione di lettere.

Nell'esempio da noi proposto, con campanella come primo suono e maracas come secondo suono, la soluzione è che per passare direttamente dal primo al terzo triangolo si può ricorrere al suono del triangolo (scambiando così B e C).

Si introduce quindi una nuova operazione, che si chiamerà “composizione” e per la quale si potrà usare un simbolo a piacere inventato con la classe, ad esempio una stella ★. La composizione è quindi quell'operazione che fa corrispondere a due suoni quell'unico suono che ha lo stesso effetto di applicare consecutivamente i due suoni. Si propongono alla classe scritture come in figura.

È importante cercare e riconoscere legami con le operazioni a cui la classe è usualmente abituata, come “+” e “×”. Ad esempio, come 0 è l'elemento neutro dell'addizione (perché, ad esempio, 3 + 0 = 3) e 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione (perché, ad esempio, 4 × 1 = 4), anche la composizione ha un elemento neutro, che composto a un altro elemento dà come risultato l'elemento stesso. Nella composizione l'elemento neutro è il battito di mani, come mostrato nell'esempio in figura.

Invece, a differenza di addizione e moltiplicazione, la composizione non è commutativa, come mostrato nell'esempio in figura.

Prima di passare all'attività successiva, suggeriamo di far fare alla classe varie esperienze di composizione fra due suoni o anche fra tre suoni, esplicitando i concetti di elemento neutro e mostrando come la composizione non sia commutativa.

COMPLETARE LA TABELLA

Si fornisce alla classe la tabella presente nel file tabella_composizione.pdf disponibile da stampare nella sezione ALLEGATI e si chiede di completarla. Alla seconda pagina del pdf è disponibile inoltre una tabella vuota in modo che l'insegnante possa completarla con i simboli che sono stati scelti per suoni e operazione di composizione.

La tabella funziona come una sorta di tavola pitagorica, dove bisogna eseguire le varie composizioni incrociando righe e colonne. Poiché, come detto alla fine della sezione precedente, l'operazione di composizione non è commutativa, bisogna scegliere in che ordine eseguire i suoni. Nella scheda da noi proposta, viene detto di fare prima il suono sulla colonna e poi sulla riga. La tabella completata è riportata nella figura seguente.

Nell'osservare la tabella, notiamo che fare due rotazioni in senso orario equivale a fare una rotazione in senso antiorario e viceversa.

IL TRIANGOLO DELLE TRASFORMAZIONI

Quanto appena fatto si collega in maniera naturale con le simmetrie di un triangolo equilatero (simmetrie assiali e rotazioni).
Per prima cosa si scelgono con la classe due concetti opposti: ad esempio giorno e notte, acqua e fuoco, caldo e freddo, ordine e caos. Si prosegue quindi costruendo un triangolo equilatero di cartone e lo si dipinge su entrambe le facce, rappresentando un opposto per faccia. Nell’esempio in figura, una faccia rappresenta il giorno e l’altra la notte.

A questo punto, in prossimità dei tre vertici del triangolo equilatero, si scrivono le lettere A, B, C su entrambe le facce, facendo attenzione che dietro la A ci sia la A, dietro la B la B e dietro la C la C.

Si parte quindi mostrando alla classe la faccia della luce e si chiede a uno studente di fare un suono qualsiasi fra i sei noti, vedendo quale trasformazione avviene nel triangolo. Ad esempio, il fischietto corrisponde a una rotazione di 120° in senso antiorario, mentre la campanella di una rotazione sempre di 120° ma questa volta in senso orario. I tre suoni maracas, triangolo e tamburo corrispondo invece a una simmetria assiale (una per ogni asse di simmetria del triangolo). Il battito di mani corrisponde invece a lasciare il triangolo così come è.

Un altro aspetto interessante da notare è che i tre suoni fischietto, campanella e battito di mani lasciano la faccia che trovano: se si parte dal giorno e si esegue fischietto, campanella o battito di mani allora dopo la trasformazione il triangolo mostrerà ancora la faccia del giorno. Se invece si esegue una simmetria assiale, allora il triangolo cambierà faccia, passando dal giorno alla notte o dalla notte al giorno.

APPROFONDIMENTI

L'ELEMENTO INVERSO

Si consideri un’operazione (per esempio, addizione, moltiplicazione, composizione) e un insieme di elementi su cui l'operazione si applica (i numeri per addizione e moltiplicazione e le trasformazioni per la composizione). Preso un elemento qualsiasi a si chiama inverso di a un elemento b che combinato con a tramite l’operazione restituisce l'elemento neutro. Ad esempio, l'inverso del numero 3 rispetto all'addizione è –3 perché 3 + (–3) = 0, e 0 è l'elemento neutro dell'addizione. D'altra parte, l'inverso del numero 3 rispetto alla moltiplicazione è ⅓ perché 3 × ⅓ = 1, e 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione. Notiamo che l'elemento neutro è sempre inverso di sé stesso, perché 0 + 0 = 0 e 1 × 1 = 1.

Nel nostro caso, l'inverso del fischietto è la campanella e viceversa, mentre gli inversi di maracas, tamburo e triangolo sono proprio, rispettivamente, maracas, tamburo e triangolo stessi. In altre parole, facendo ad esempio due suoni di tamburo si torna alla situazione iniziale (cioè la situazione che si otterrebbe battendo le mani, l'elemento neutro). Questa è un'eventualità interessante, perché con l'addizione non capita mai che un elemento (diverso dall'elemento neutro) sia inverso di sé stesso: non esiste cioè alcun numero che sommato con sé stesso dia zero (tranne zero stesso). Per quanto riguarda la moltiplicazione esiste invece un unico numero - diverso da 1 - che è inverso di sé stesso, ossia che moltiplicato per sé stesso da come risultato 1. Qual è?

LE QUATTRO CASE

Il gioco delle tre case può essere proposto anche con quattro case. Tuttavia, l'esperienza risulta veramente complessa e consigliamo quindi di proporla esclusivamente a studenti motivati e di classe quinta.

Notiamo che i possibili modi di muoversi fra le tre case sono sei proprio perché gli anagrammi di una parola con tre lettere come ABC sono sei (per approfondire la questione, si veda l'attività Anagrammi I). Ciò avviene perché ogni anagramma corrisponde a un particolare movimento. Questo vuol dire che i movimenti possibili fra quattro case (ad esempio mare, città, montagna e deserto) saranno tanti quanti gli anagrammi di una parola con quattro lettere (ad esempio, ABCD), ossia ben 24. In particolare abbiamo - anche in questo caso - rotazioni in senso orario o antiorario e il rimanere fermi. Abbiamo poi tutti gli scambi fra due case che lasciano ferme le altre due postazioni. Abbiamo poi un gran numero di scambi fra tre case che lasciano ferma una postazione e alcuni scambi particolari fra tutte e quattro le case che non corrispondono a una rotazione. In particolare, non è più valida la corrispondenza fra simmetrie del quadrato e movimenti fra le quattro case, perché i movimenti fra le quattro case sono di più.

Come detto l'attività è complessa e probabilmente non vale la pena proporla all'intera classe, ma qualche studente potrà sicuramente divertirsi nel cercare di individuare i vari spostamenti possibili fra le quattro case.